非连通图(P3∨(Km))∪G及(C3∨(Km))∪G的优美性

将k-优美图的概念进行了推广,引入A～B优美图的概念,并以此为基础,得到了非连通图(P3∨(Km))∪G及(C3∨(Km))∪G是优美图的一个充分条件.证明了对任意正整数k,m,n,t,当k≤n≤t,n+k-1≤m时,图(P3∨(Km))∪(k∪j=1Kn,t)和(C3∨(Km))∪(k∪j=1Kn,t)是优美图;当k=1,2,2≤n＜2m+1时,图(P3∨(Km))∪k∪j=1P(j)n,(C3∨(Km))∪k∪j=1P(j)n和(P3∨(Km))∪Pn∪St(t)是优美图;当2≤n≤2m +1时,(C3∨(Km))∪Pn∪St(t)是优美图.本文的结果推广了现有的一些结论.     

两类非连通图(P2∨(Kn))(0,0,r1,0,…,0,rn)∪St( m)及(P2∨(Kn))(r1+a,r2,0,…,0)∪Gr的优美性

对自然数n,m,i∈N,设Ki表示i个顶点的完全图,(Kn)表示Kn的补图,St(m)表示m+1个顶点的星形树,G,为有r条边的优美图,Pn为n个节点的路,P2 ∨(Kn)是P2与(Kn)联图.给出了非连通图(P2 ∨(Kn))(r1,r2,0,…,0)∪St(m)及(P2∨(Kn))(r1 +a,r2,0,…,0)∪Gr的定义,并论证了当n≥2时,这两类图都是优美图.     

有关图(P(1)1∨Pn)∪(P(2)1∨P2n)和(P2∨n)∪Gn-1优美性研究

文章给出了非连通图(P1∨Pn)∪St(m)和(P(1)1∨Pn)∪(P(2)1∨P2n)及(P2∨n)∪Gn-1,证明了对任意自然数n,设s=(n)/(2),则当n≥3,m≥s时,非连通图(P1∨Pn)∪St(m)是优美图;当n≥3时,非连通图(P(1)1∨Pn)∪(P(2)1∨P2n)是s-优美图;当n≥2时,非连通图(P2∨n)∪Gn-1是优美图;其中,Pn是n个顶点的路,P1、P(1)1和P(2)1均是只有一个顶点的平凡图,G1∨G2是图G1与G2的联图,St(m)是m 1个顶点的星形树,Kn是n个顶点的完全图,n是Kn的补图,Gn-1是任意一个n-1条边的优美图.     

非连通图(P_1∨P_m)∪C_(4n)∪P_2的优美性

讨论非连通图(P1∨Pm)∪C4n∪P2的优美性.证明如下结论:设m、n为任意正整数,当m≥2,1≤n≤2m-2时,非连通图(P1∨Pm)∪C4n∪P2是优美图,其中Pn是n个顶点的路,G1∨G2是图G1与G2的联图,C4n是4n个顶点的圈.     

非连通图(C_(n_1)⊙r_1K_1)∪(C_(n_2)⊙r_2K_1)∪P_2的优美性

讨论非连通图(Cn1⊙r1K1)∪(Cn2⊙r2K1)∪P2的优美性,证明如下结论:设n1,n2,r1,r2是任意自然数,n1≥1,n2≥1,当n1(r1+1)=n2(r2+1)或3n1(r1+1)=n2(r2+1)时,(C4n1⊙r1K1)∪(C4n2⊙r2K1)∪P2是交错图;当n1(r1+1)=n2(r2+1)或(3n1-1)(r1+1)=n2(r2+1)时,非连通图(C4n1-1⊙r1K1)∪(C4n2⊙r2K1)∪P2是优美的,其中P2是2个顶点的路,Cn是n个顶点的圈,Cm⊙rK1是圈Cm的r-冠.     

非连通图(P1∨Pn)∪Gr和(P1∨Pn)∪(P3∨r)及Wn∪St(m)的优美性

讨论非连通图((P₁∨P_n)∪G_r和(P₁∨P_n)∪(P₃∨_r)及W_n∪St(m)的优美性, 证明了如下结论： 设n,m为任意正整数, s=［n/2］, r=s-1, G_r是任意具有r条边的优美图, 则当n≥4时, 非连通图((P₁∨P_n)∪G_r和(P₁∨P_n)∪(P₃∨_r)是优美图； 当n≥3, m≥s时, 非连通图W_n∪St(m)是优美图. 其中, P_n是n个顶点的路, K_n是n个顶点的完全图, n是K_n的补图, G₁∨G₂是图G₁与G₂的联图, W_n是n+1个顶点的轮图, St(m)是m+1个顶点的星形树.     

两类非连通图(P_2∨)∪St(m)及(P_2∨)∪T_n的优美性

对自然数n,m,i∈N,设Ki表示i个顶点的完全图,Kn是Kn的补图,St(m)表示m+1个顶点的星形树,Tn为n个节点的优美树,Pn为n个节点的路,P2∨Kn是P2与Kn联图.给出非连通图(P2∨Kn)∪St(m)和(P2∨Kn)∪Tn,并论证了当n≥2时,这两类图都是优美图.     

几类和扇有关图的优美性

证明下面的结论:对任意自然数n≥2,图(K_1∨(P_n∪P_(n+1)))是(n-1)-强优美图.对任意自然数n≥3,图(K_1∨P_n~((1))∪P_n~((2))))∪G是优美图;对任意自然数n≥4,图(K _1∨(P_n~((1))∪P_n~((2))∪P_n~((3)))∪H是优美图,其中k=[n/2].P_n是n个顶点的路,G_i为含有i条边的优美图.给定优美图G_(n-1)和其优美标号f,G_(k-1)和其优美标号g,设u∈G_(n-1),v∈G_(k-1)且f(u)=g(v)=0,取不同的两边xy和x′y′,点x与u合并后得到的图记为G,点x′与v合并后得到的图记为H.     

非连通图2C_(4m)∪C_(8m-1)∪G的优美标号

讨论了非连通图2C4 m∪C8 m-1∪G的优美性,给出了非连通图2C4 m∪C8 m-1∪G是优美图的一个充分条件.     

关于图P_(6k+33)~3∪P_n~3的优美性

在n个顶点的路Pn上,当且仅当两点的距离为3时增加一条边,所得的图称为P3n.作者讨论了形如P63k+33∪P3n非连通并图的优美性,用构造性的方法给出了P63k+33∪P3n的优美标号,并证明了P63k+33∪P3n是交错图.     

Gracefulness of disconnected graphs W(k)m∪G

文章证明了对任意自然数n≥1,P≥1,K≥1,当m1=2p+3或2p+4时,图W(k)m1U Kn,p为优美图,其中W(k)m1为由k个轮Wmi(i=1,2,…,k)的中心顶点合并后构成的连通图;当m1≥3,n≥[m1/2]时,非连通图W(k)m1∪St(n)为优美图;对任意自然数P≥1,图W(k)2p2+i∪Gpi为优美图,其中,Gpi表示p条边的i-优美图(i=1,2);对任意自然数n≥1,当m1=2n+5时,图W(k)m1∪(C3VKn)为优美图.     

关于图n∪i=1(～P)4和n∪i=1(～P)8的优美性

棱柱图(～P)n是由2个回路v1,v2,v3,…,vn和u1,u2,u3,…,un,加上边uivi后所组成的图形.图n∪i=1(～P)4是n个(～P)4的不交并图,图n∪i=1(～P)8是n个(～P)8的不交并图,证明了2类非连通图n∪i(～P)4和n∪i=1(～P)8是优美图且是交错图.     

非连通图C_(4m-1)∪G的优美标号

讨论了非连通图C4 m-1∪G的优美性,给出了非连通图C4 m-1∪G是优美图的2个充分条件.     

三探非连通图C_(4m-1)∪G的优美标号

讨论了非连通图C4 m-1∪G的优美性,给出了非连通图C4 m-1∪G是优美图的2个充分条件.     

再探非连通图C_(4m-1)∪G的优美标号

讨论了非连通图C4 m-1∪G的优美性,给出了非连通图C4 m-1∪G是优美图的2个充分条件.     

非连通图2D_(3,4)∪G的优美标号

讨论了非连通图2D_(3,4)∪G的优美性,给出了非连通图D3,4∪G是优美图的二十一个充分条件.证明了非连通图2D_(3,4)∪G(k)+a(a=2,3,4,5,6,8,9,…,23)都是优美的.     

非连通图C_5⊙K_1∪G的优美性

讨论了非连通图C5⊙K1∪G的优美性,给出了非连通图C5⊙K1∪G是优美图的一个充分条件.     

两类非连通图优美性的研究

给出了两类非连通图(K2〖TX-〗∨Cn)∪[DD(]3[]i=1[DD)]St(mi)和(K2〖TX-〗∨C2n+k)∪St(m)∪G(k)n-1(k=1,2), 并证明了如下结论:对自然数n, m, m1, m2, m3, 设s=〖JB(［〗〖SX(〗n〖〗2〖SX)〗〖JB)］〗, n≥9, m1≥s+2, 则图(K2〖TX-〗∨Cn)∪[DD(]3[]i=1[DD)]St(mi)是一个优美图; 对 k=1,2,设n, m≥3, G(k)n-1是一个具有n-1条边的k-优美图,则图(K2〖TX-〗∨C2n+k)∪St(m)∪G(k)n-1是一个优美图。 其中,K2是一个具有2个顶点的完全图,K2〖TX-〗是图K2的补图,K2〖TX-〗∨Cn是图K2和n圈Cn的联图, St(m)是一个具有m+1个顶点的星形树。     

两类非连通图(P2∨Kn∪St(m)及P2∨Kn ∪Tn的优美性

对自然数n,m,i∈N, 设K_i表示i个顶点的完全图, K_n 是K_n的补图, St(m)表示m+1个顶点的星形树, T_n为n个节点的优 美树, P_n为n个节点的路, P₂∨K_n是P₂ 与K_n联图. 给出非连通图(P₂∨K_n)∪St(m)和(P₂ ∨K_n∪T_n, 并论证了当n≥2时, 这两类图都是优美图.     

关于G∪K_(m_in_i)from i=1 to k的优美性

为加强对非连通图的优美性的研究 ,对于自然数 k,mi,ni,给出一类非连通图∪ki=1 Kmi,ni,通过构造标号函数的方法 ,证明了当 max{mi,ni}≥ 3 ,min{mi,ni}≥ 2 ( i =1 ,2 ,… ,k)时 ,这类图既是优美图 ,也是交错图 ;并进行了推广 ,得出由满足一定条件的交错图 G和 Gi( i=1 ,2 ,… ,k)并起来的非连通图 G∪ni=1 Gi 是优美图 ,从而给出构造一类任意个交错图的并图是优美图的一种方法