离散正则方法在一维热传导方程寻源反问题中的应用

热传导方程寻源反问题具有不适定性.应用离散正则化方法即用一族与原问题相邻近的适定问题的解去逼近原问题的解,来克服这种不适定性.以一维热传导方程为例,对离散正则化方法进行了阐述,并进行了数值模拟.结果表明离散正则化方法的数值模拟结果与真实结果之间的误差较小,并且随着离散密度的增加,误差越来越小.这种方法避免引入泛函,使用起来较方便,可作为解决热传导方程寻源反问题的有效方法.     

一个反源问题的极小化能量泛函正则化方法

针对分子成像领域中的反源问题,利用Tikhonov正则化方法,构造了一种通过求解一个极小化问题来重构源函数的新方法.利用目标泛函的严格凸性等性质,证明了极小化问题解的存在惟一性.由有限元方法的误差估计及细致分析,证明了离散化后极小化问题解的收敛性和误差估计,并通过数值实验验证了该方法的有效性.     

拟逆正则化方法结合离散随机扰动反演初值问题

利用离散随机扰动探讨时间分数阶扩散方程的反演初值问题,这类问题是不适定的,即问题的解(如果存在)不连续依赖于测量数据.利用拟逆正则化方法,得到问题的一个正则近似解,并且给出在先验正则化参数选取规则下的收敛性估计.数值结果表明拟逆正则化方法解决此类问题是有效和稳定的.     

决定热传导方程源项的一个正则化策略

确定热传导方程中的线性源项是一类有重要应用背景的反问题,它在Hadamard意义是不适定的,讨论了获得其稳定数值解的计算方法,给出一种新的离散正则化策略.理论分析与数值试验结果表明给出的算法是稳定和有效的.     

平面弹性柯西问题的一种数值解法

利用最优控制方法和Tikhonov正则化方法导出了求解平面弹性柯西问题的一种数值方法.在连续情形,证明了正则化解在L2(Γid)范数下的收敛性,并给出了在一种弱范数下的误差估计.通过有限元方法得到离散化极小化问题,同时证明了有限元解的收敛性.数值算例验证了该方法的有效性.     

带有Riemann-Liouville导数的分数阶热传导方程逆源问题的正则化方法

首先, 用Tikhonov正则化方法求解带有Riemann-Liouville导数的分数阶热传导方程逆源问题, 得到了包含Mittag-Leffler函数的正则解; 其次, 对正则解进行收敛性分析, 给出先验参数选取下正则解和精确解的误差估计及后验参数选取下正则化参数的取值范围. 数值实验结果表明了该正则化方法的有效性.     

时间反向热传导问题的拟逆正则化方法及误差估计

该文讨论了时间反向热传导问题,该问题是严重不适定问题,它的解在一定条件下存在但不连续依赖于数据,这给数据处理带来了很大的不便.该文给出一个简单便捷的拟逆正则化方法来恢复解对数据的连续依赖性.根据拟逆正则化问题构造正则解,在先验正则化参数选取规则下,给出了该问题的近似解和精确解之间的误差估计,并用数值算例表明该方法是有效的.     

边界约束正则化下的双网格迭代方法

由不适定问题离散化得到的大规模不适定线性方程组的正则化过程可通过对解加一个上界约束转化为有约束条件的最小值问题.为有效求解此类问题,考虑用双网格迭代方法求解转化得到的对称正定线性方程组.试验问题的数值结果表明,双网格迭代方法求解正则化后的对称正定线性方程组效果很好.     

一类Helmholtz方程Cauchy问题的最优误差界

考虑一类Helmholtz方程Cauchy问题,给出这个问题的最优误差界.用谱正则化方法和修正的Tikhonov正则化方法来求解这个问题,得到Holder型误差估计.根据正则化的最优理论,误差估计是阶数最优的.     

高炉和二次污染物的对流扩散反问题

对工业区中高炉烟囱、地面煤堆和屋顶积尘等产生的烟尘污染建立对流扩散模型,对源进行离散化后给出正问题的解.从理论上阐明了单点源反问题的适定性和多点源反问题的不适定性,为了克服不适定性,采用Tikhonov正则化方法.适当选取正则化项和正则化参数,并用NNLS算法求解.为减少观测点的实际需要,采用了多种风速下的测量数据,数值模拟结果表明,采用的模型与方法是可行与精确的.