两类非连通图（P2∨■）（0,0,r1,0,…,0,rn）∪St（m）及（P2∨■）（r1+a,r2,0,…,0）∪Gr的优美性

对自然数n,m,i∈N,设Ki表示i个顶点的完全图,■表示Kn的补图,St(m)表示m+1个顶点的星形树,Gr为有r条边的优美图,Pn为n个节点的路,P2∨■是P2与Kn联图。给出了非连通图(P2∨■)(r1,r2,0,…,0)∪St(m)及(P2∨■)(r1+a,r2,0,…,0)∪Gr的定义,并论证了当n≥2时,这两类图都是优美图。     

非连通图（P3∨■）∪G及（C3∨■）∪G的优美性

将k-优美图的概念进行了推广,引入A～B优美图的概念,并以此为基础,得到了非连通图(P3∨■)∪G及(C3∨■)∪G是优美图的一个充分条件。证明了对任意正整数k,m,n,t,当k≤n≤t,n+k-1≤m时,图(P3∨■)∪(∪kj=1Kn,t)和(C3∨■)∪(∪kj=1Kn,t)是优美图;当k=1,2,2≤n<2m+1时,图(P3∨■)∪∪kj=1P(j)n,(C3∨■)∪∪kj=1P(j)n和(P3∨■)∪Pn∪St(t)是优美图;当2≤n≤2m+1时,(C3∨■)∪Pn∪St(t)是优美图。本文的结果推广了现有的一些结论。     

关于图ω5,6的（r1,r2,…,r10）)-冠的优美性

给出了ω5,6的(r1,r2,…,r10)-冠的定义,讨论了ω5,6的(r1,r2,…,r10)-冠的优美性,用构造性的方法给出了一些特殊的ω5,6的(r1,r2,…,r10)-冠的优美标号。     

非连通图（P2∨Kn）(r1,r2,…,rn+2)∪Gr的优美性

对自然数n∈N,设Kn表示n个顶点的完全图,Kn表示Kn的补图,Gr为有r条边的优美图,Pn为n个节点的路,P2∨Kn是P2与Kn的联图.给出了非连通图(P2∨Kn)(r1,r2,…,rn+2)∪Gr的定义,论证了当n≥1时,这类图是优美图.     

两类非连通图(P2∨(Kn))(0,0,r1,0,…,0,rn)∪St( m)及(P2∨(Kn))(r1+a,r2,0,…,0)∪Gr的优美性

对自然数n,m,i∈N,设Ki表示i个顶点的完全图,(Kn)表示Kn的补图,St(m)表示m+1个顶点的星形树,G,为有r条边的优美图,Pn为n个节点的路,P2 ∨(Kn)是P2与(Kn)联图.给出了非连通图(P2 ∨(Kn))(r1,r2,0,…,0)∪St(m)及(P2∨(Kn))(r1 +a,r2,0,…,0)∪Gr的定义,并论证了当n≥2时,这两类图都是优美图.     

两类非连通图(P2∨Kn)（0，0,r1,0,…,0,rn)∪St(m)及(P2∨Kn)（r1+a,r2,0,…,0)∪Gr的优美性

 对自然数n, m, i∈N,设K_i表示i个顶点的完全图,K_n表示K_n的补图,St(m) 表示m+1个顶点的星形树,G_r为有r条边的优美图,P_n为n个节点的路,P₂∨K_n是P₂与K_n联图。 给出了非连通图(P₂∨K_n)（0,0,r₁,0,…,0,r_n)∪St(m)和(P₂∨K_n)（r₁+a,r₂,0,…,0)∪G_r的定义,并论证了当n≥2时,这两类图都是优美图。     

非连通图C_4(m,0,0,0)∪G的优美性

讨论了非连通图C4(m,0,0,0)∪G的优美性,给出了非连通图C4(m,0,0,0)∪G是优美图的两个充分条件.其中C4(m,0,0,0)表示圈C4的(m,0,0,0)-冠.     

非连通图C_(16)(r_1,0,r_2,0,…,r_8,0)∪F_(k,4)的优美标号

讨论了非连通图C16(r1,0,r2,0,…,r8,0)∪Fk,4的优美性,证明了a,k,ri(i=1,2,…,8)为任意自然数,且当r6=r7=r8=0,k=4;r7+r8=2,k=5;r8=a,r7≥4-a,k=6;r8≥6,k=7时,非连通图C16(r1,0,r2,0,…,r8,0)∪Fk,4是交错图。     

图Fm（t）的k-强优美性

文章通过对图Fm(t)的k-强优美性研究,利用k-强优美图的定义,给出对任意自然数t≥1,m≥2,当k=[m/2]时,Fm(t)是k-强优美图,非连通图Fm(t)∪Gk-1是优美图。当m≥2p+2时,非连通图Fm(t)∪Kn,p是优美图,其中,Fm是有m+1个顶点的扇形图,Fm(t)是合并t个扇Fm,F2 m,…,F2t-1m的中心顶点构成的连通图,Gk-1是有k-1条边的优美图。     

两类非连通图优美性的研究

给出了两类非连通图(K2〖TX-〗∨Cn)∪[DD(]3[]i=1[DD)]St(mi)和(K2〖TX-〗∨C2n+k)∪St(m)∪G(k)n-1(k=1,2), 并证明了如下结论:对自然数n, m, m1, m2, m3, 设s=〖JB(［〗〖SX(〗n〖〗2〖SX)〗〖JB)］〗, n≥9, m1≥s+2, 则图(K2〖TX-〗∨Cn)∪[DD(]3[]i=1[DD)]St(mi)是一个优美图; 对 k=1,2,设n, m≥3, G(k)n-1是一个具有n-1条边的k-优美图,则图(K2〖TX-〗∨C2n+k)∪St(m)∪G(k)n-1是一个优美图。 其中,K2是一个具有2个顶点的完全图,K2〖TX-〗是图K2的补图,K2〖TX-〗∨Cn是图K2和n圈Cn的联图, St(m)是一个具有m+1个顶点的星形树。     

非连通图Wmk∪G的优美性

文章证明了对任意自然数n≥1,p≥1,k≥1,当m1=2p+3或2p+4时,图W(k)m1∪Kn,p为优美图,其中Wm1(k)为由k个轮Wmi(i=1,2,…,k)的中心顶点合并后构成的连通图;当m1≥3,n≥[m1/2]时,非连通图Wm1(k)∪St(n)为优美图;对任意自然数p≥1,图W2p+2+i(k)∪Gip为优美图,其中,Gpi表示p条边的i-优美图(i=1,2);对任意自然数n≥1,当m1=2n+5时,图Wm1(k)∪(C3∨■)为优美图。     

非连通图C_8(r_1,0,r_2,0,…,0)∪G的交错标号

讨论非连通图C8(r1,0,r2,0,…,0)∪G的优美性,证明当r1,r2为任意自然数、G是特征为k且缺k+3标号值的交错图(3≤k+3|E(G)|)时,非连通图C8(r1,0,r2,0,…,0)∪G存在缺标号值k+1的特征为k+5的交错标号,其中C8是具有8个顶点的圈,C8(r1,0,r2,0,…,0)是圈C8的(r1,0,r2,0,…,0)-冠.     

非连通图C_(11)(r_1,0,r_2,0,r_3,0,…,0)∪G的优美标号

讨论了非连通图C11(r1,0,r2,0,r3,0,…,0)∪G的优美性,给出了非连通图C11(r1,0,r2,0,r3,0,…,0)∪G是优美图的一个充分条件.     

图C7 (r1,r2,r3, r4,r5,0,0)∪St(m)的优美性

圈C₇的(r₁,r₂,r₃,r₄,r₅,0,0)-冠简记为C₇(r₁,r₂,r₃,r₄,r₅,0,0),St(m)表示有m+1个顶点或有m条边的星型树.讨论了C₇(r₁,r₂,r₃,r₄,r₅,0,0)与St(m)的非连通并集C₇(r₁,r₂,r₃,r₄,r₅,0,0)∪St(m)优美性,用构造性的方法给出了一些特殊的C₇(r₁,r₂,r₃,r₄,r₅,0,0)∪St(m)的优美标号.     

两类非连通图(P_2∨)∪St(m)及(P_2∨)∪T_n的优美性

对自然数n,m,i∈N,设Ki表示i个顶点的完全图,Kn是Kn的补图,St(m)表示m+1个顶点的星形树,Tn为n个节点的优美树,Pn为n个节点的路,P2∨Kn是P2与Kn联图.给出非连通图(P2∨Kn)∪St(m)和(P2∨Kn)∪Tn,并论证了当n≥2时,这两类图都是优美图.     

非连通图(P1∨Pn)∪Gr和(P1∨Pn)∪(P3∨r)及Wn∪St(m)的优美性

讨论非连通图((P₁∨P_n)∪G_r和(P₁∨P_n)∪(P₃∨_r)及W_n∪St(m)的优美性, 证明了如下结论： 设n,m为任意正整数, s=［n/2］, r=s-1, G_r是任意具有r条边的优美图, 则当n≥4时, 非连通图((P₁∨P_n)∪G_r和(P₁∨P_n)∪(P₃∨_r)是优美图； 当n≥3, m≥s时, 非连通图W_n∪St(m)是优美图. 其中, P_n是n个顶点的路, K_n是n个顶点的完全图, n是K_n的补图, G₁∨G₂是图G₁与G₂的联图, W_n是n+1个顶点的轮图, St(m)是m+1个顶点的星形树.     

关于圈C4h+3的(r1,r2,…,r4h+3)-冠的优美性

给出了圈C4h+3的(r1,r2,…,r4h+3)-冠的定义,讨论了圈C4h+3的(r1,r2,…,r4h+3)-冠的优美性,用构造性的方法给出了一些特殊的圈C4h+3的(r1,r2,…,r4h+3)-冠的优美标号.     

非连通并图的优美标号研究

设图G3是长度为3的圈C3或为含3个顶点的路P3,文章给出了非连通图(G3∨Km)∪Kn,t和(G3∨Km)∪Pn,并证明了对任意正整数m,n,t,如果min{n,t}≤m,则图(G3∨Km)∪Kn,t是优美图;如果2≤n≤2m+1,则图(G3∨Km)∪Pn是优美图;同时证明了对任意正整数m,n,图(G3∨Km)∪St(n)和(G3∨Km)∪W2n+5是优美图.其中,Pn是n个顶点的路,G1∨G2是图G1与G2的联图,Km是m个顶点的完全图,m是Km的补图,Kn,t是具有二分类(X,Y)的完全偶图,且|X|=n,|Y|=t,St(n)是具有n+1个顶点的星形树,Wn是具有n+1个顶点的轮图.     

非连通图(P_1∨P_m)∪C_(4n)∪P_2的优美性

讨论非连通图(P1∨Pm)∪C4n∪P2的优美性.证明如下结论:设m、n为任意正整数,当m≥2,1≤n≤2m-2时,非连通图(P1∨Pm)∪C4n∪P2是优美图,其中Pn是n个顶点的路,G1∨G2是图G1与G2的联图,C4n是4n个顶点的圈.     

圈C3的(r1,r2,r3)-冠都是优美的

讨论了圈C3的(r1,r2,r3)-冠的优美性,用构造性的方法给出了圈C3的(r1,r2,r3)-冠的优美标号.证明了圈C3的(r1,r2,r3)-冠都是优美的.