Desargues逆命题证明的射影几何学方法

藉助射影几何的理论,通过将直线投影到无穷远,将两相交直线投影成两平行直线及任意四边形投影成平行四边形。首先给出Desargues逆命题在平面域内的证明,然后用射影几何方法构造了一个辅助三点形,利用Desargues定理证得了两异面三点形对应边的交点共线,再用如上所述平面域内所得的结论证得了两同面三点形对应顶点的连线共点。最终得到了该逆命题在空间域内的证明。     

Desargues逆命题证明的射影几何学方法

藉助射影几何的理论，通过将直线投影到无穷远，将两相交直线投影成两平行直线及任意四边形投影成平行四边形。首先给出Desargues逆命题在平面域内的证明，然后用射影几何方法构造了一个辅助三点形，利用Desargues定理证得了两异面三点形对应边的交点共线，再用如上所述平面域内所得的结论证得了两同面三点形对应顶点的连线共点。最终得到了该逆命题在空间域内的证明。     

关于内接n点形对边交点的共线问题

内接于二阶曲线的2i点形,如果i为奇数,且i—1对对边的交点共线,则第i对对边的交点也在此直线上。如果i为偶数,且i—1对对边的交点共线。 (ⅰ)若连线A_(i-1)A_(2i-1)过A_1A_(i+1)×A_1A_(2i),则第ⅰ对对边的交点也在此直线上; (ⅱ)若连线A_(i-1)A_(2i-1)不过A_1A_(i+1)×A_iA_(2i),则第ⅰ对对边的交点不在此直线上。     

射影变换下Menelaus定理和Ceva定理的一致表述和证明

引理1 不通过顶点的任一直线与完全四点形的三对对边的交点属于同一对合对应的三对对应点。这是Desargues对合定理。     

Desargues定理及其逆定理的应用推广

Desargues定理及其逆定理揭示了在两个三点形(初等几何中称为三角形)中存在着一种很重要的位置关系,因此,在证明初等几何中一些有关"点共线"或"线共点"的定理或命题时,常常用到它们.在应用Desargues定理(或其逆定理)时,其关键就在于正确确定两个满足定理条件且符合所证命题结论的三点形来.当然,这两个三点形有时并不是唯一的一对,可根据实际情况灵活地加以选用.     

关于变态二阶曲线的两个定理

本文用通俗的方法,给出了下面两个结果的证明: 定理1 变态二阶曲线要么表示二实直线(包括二者重合的情况),要么表示二共轭虚直线。定理2 若二阶曲线包含复射影平面上共线的三点,则为变态二阶曲线。     

巴卜斯(Pappus)定理的应用与推广

文章首先证明了巴卜斯定理的特殊情况,然后利用此特殊情况及巴卜斯定理作了四个推广应用,最后将巴卜斯定理的原来三点共线推广到了六点共线,再推广到1/2n(n-1)个交点共线。     

Menelaus逆定理浅探

l定理钱探Menelaus定理是初等几何中证明共线点的一个有力工具，为了证明它，一般我们先证明了以下的Menelaus逆定理．定理1设面ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB被一直线分别截子点X、Y、Z（图1），则有：此定理在初等几何中有很广泛的应用，介于接受能力，中学数学并未提及此定理．下面，我们由它得出如下一个易于中学生接受，同时在中学几何又很有用的定理，以体现高等数学对中学数学的指导．定理2设过凸ABC的一个顶点C任作一直线，分别分对边AB及不过此顶点的中线AD（或BM）为两部分，其分点分别为F、E，则（如图2）：此定理…     

3维射影空间中笛沙格定理的推广

本文将笛沙格定理推广到３维射影空间，证明了空间两个四面体对应顶点的连线交于一点，则其对应侧面的交线共面．     

关于非退化二阶曲线上的射影变换及对合

将文献[1]中的结果推广到非退化二阶曲线的情况,得出非退化二阶曲线到自身的双射成为射影变换及对合的充要条件:非退化二阶曲线Г到自身的双射为射影变换的充要条件是下的全部交错点共线;非退化二阶曲线Г到自身的一个双射为对合的充要条件是下的全部交错点及全部对应三点形对应边的交点共线.然后,再将非退化二阶曲线到自身的双射为对合的充要条件推广到退化二阶曲线两相异点列的情形.     

关于巴斯卡定理的证明

巴斯卡(Blaise Pascal)出生于法国克勒芝(Clermont),他从小就对数学感到兴趣。在青年时代,他把相当多的时间和精力用来研究射影几何。1639年他16岁时,就用投射法写出圆锥曲线的专著。在射影几何里,有一个用巴斯卡名字命名的著名定理,用现代的语言可叙述为:若一六边形内接于一条二次曲线,那末它的三双对边的交点共线。如图示     

关于Pappus定理和Pascal定理的透视问题

Pappus定理和Pascal定理分别是退化和非退化二阶曲线中关于三点共线的重要定理,应用广泛。笔者主要介绍常见资料均未提及的关于Pascal定理中的透视问题,文中将在Pappus定理中的三双对应点成透视的充要条件,这样一个定量的基础上,介绍借助于由两三点形成透视的概念得出的Pascal定理的一个相应定理。即得出顶点在非退化二阶曲线上的两个透视三点形透视轴与Pascal线重合的充要条件。     

关于非退化二阶曲线上的射影变换及对合

将文献[1]中的结果推广到非退化二阶曲线的情况，得出非退化二阶曲线自身的双射成为射影变换及对合的充要条件：非退化二阶曲线Г到自身的双射ψ为射影变换的充要条件是ψ下的全部交错点共线；非退化二阶曲线Г到自身的一个双射ψ为对合的充要条件是ψ下的全部交错点及全部对应三点形对应边的交点共线。然后，再将非退化二阶曲线到自身的双射为对合的充要条件推广到退化二阶曲线两相异列的情。     

关于Pappus定理和Pascal定理的透视问题

Pappus定理和Pascal定理分别是退化和非退化二阶曲线中关于三点共线的重要定理,应用广泛.笔者主要介绍常见资料均未提及的关于Pascal定理中的透视问题,文中将在Pappus定理中的三双对应点成透视的充要条件,这样一个定理的基础上,介绍借助于由两三点形成透视的概念得出的Pascal定理的一个相应定理.即得出顶点在非退化二阶曲线上的两个透视三点形透视轴与Pasc8l线重合的充要条件.     

巴斯加和布利安香定理的代数证明及其应用

《高等几何》教材（刘世泽编）中用综合法证明了巴斯加和布利安香定理，为了使学员进一步熟悉射影坐标系，本文采用代数方法给予定理证明及其应用。一、巴斯加和布利安香定理的证明1．巴斯加定理的解析证明巴斯力。定理设一六角形内接于一条二次曲线，则三对边的交点共线，该直线称为巴斯加线。证明如图1所示，设1（l，0，0），2（0，1，0），6（0，0，1），3（l，1，1），4（a；小；，l）‘5（aZ，八，1），取三点形162为坐标三角形，并使直线34，45均不平行于直线16，从而A学P。，Pl一旦，则二次曲线S的方程为：AQg十BX么十叶上一o（…     

关于色数的两个定理

本文证明了以下两种特殊情况下的色数定理:1.设V_i、V_j是两个不相邻的顶点,且V_i、V_j不存在奇数条边的道路,则:r(G)=r(G_(ij))2.设V_i、V_j是两个不相邻的顶点,且V_i、V_j不存在偶数条边的道路,则:r(G)=r(G_(ij))在适用这两个定理的情况下,可使色数计算量大为减少.     

边色数的点与边临界性质

关于边色数的点与边临界我们得到如下结论: 定理1 设图G是边色数边临界的。d(v)=2。N(v)={u,w}。且(u,w)∈E(G)。令G′=G·v,若x是G′中分离u,w之割点,则必存在y∈V(G′),使得(x,y)∈E(G′)且d(x)=d(y)=△(G)。定理2 若图G是边色数边临界的,且边集{e,f}为G的二边割,又设e=(x,y),f=(u,w)则二边割e,f边分别关联G的最大次顶点。     

关于向量共线和共面的充要条件

二向量共线和三向量共面的充要条件有多种表述形式,其中用线性组合表述的形式在运用中有其特别方便之处。但在一般文献和教材中,有关这种线性组合表述形式的定理,都把基底既视为必要条件的前提之一,也视为充分条件的前提之一(注)。 本文把二向量共线和三向量共面的充要条件的线性组合表述形式略加改变,写成下面的定理一和定理二。这里,我们把基底仅视为必要条件的前提之一;对于充分条件而言,基底不是前提,相反,是结论的一个部份。 定理一 两个向量(?),(?)共线,且(?)≠(?)的充要条件是存在唯一的实数,使 成立。 证明 这里我们仅给出充分条件满足     

用极限方法巧证一道平面几何命题

<正> 众所周知,一般证明一个三角形的三条中线交于一点的方法,往往先设两条中线交于一点,再将交点与第三顶点连线,证此直线即为第三条中线,本人欲用极限方法证明上述命题。 命题:给定一三角形ABC,如图,其三边中线为AA_1、BB_1、CC_1。 证明:AA_1、BB_1、CC_1交于一点。     

德萨格定理与点共线及线共点问题

德萨格定理及其逆定理是证明"点共线"和"线共点"问题实用性很强的理论工具,讨论了在"点共线"和"线共点"问题中应用德萨格定理及其逆定理的基本方法与思想。