欧拉不等式的一个分隔链

欧拉曾提出如下著名不等式R≥2r其中 R、r 分别为三角形的外接圆半径和内切圆半径,等号当且仅当三角形等过时成立(下同).本文给出它的一个分隔链.命题1 在△ABC 中(2(ab+bc+ca)-(a~2+b~2+c~2))/(3~(1/2)(a+b+c))≥2 <1>     

DUI YI DAO LI TI DE YAN SHEN LIAN XI

△ABC中，AB＋AC=12，AD=3，则AABC的外接圆的最大直径是多少？ 【延伸4】已知：如图6，在⊙O的内接△ABC中，AB＋AC=12，AD⊥BC，垂足为D（点D在BC边上），且AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x.     

Dn群与Dnh群的正规子群

Dn群的生成关系为an=b2=e,(ab)2=e;Dnh群的生成关系为an=b2=c2=e,(ab)2=(bc)2=e,ac=ca且有Dnh=Dn×{e,c}.研究了Dn群和Dnh群的正规子群.证明了Cri为Dri的正规子群,Dri不是Dn的正规子群.指出Cn与Cri为Dnh的正规子群,Crih为Drih的极大正规子群,但不是Dnh的正规子群.     

直角三角形及其斜边上的高组成的一个基本图形

如图1,CD 为 Rt△ABC 斜边上的高,这个图形有如下性质:1)∠ACD=∠B,∠BCD=∠A;2)AC~2+BC~2=AB~2;3)AC·BC=AB·CD;4)sinA=BC/AB=CD/AC,cosA=AC/AB=AD/AC,tgA=BC/AC=CD/AD,ctgA=AC/BC=AD/CD(三角函数定义),5)CD~2=AD·BD,AC~2=AD·AB,BC~2=BD·AB(射影定理).这个图形是一个常见的图形,也是一个基本图形,应该     

合理推广 具体应用

对于一道课本例题我们不能以听懂老师的讲解为标准,应当掩卷想一想,是否有别的方法?能否将特殊点改为一般点,从而推广到一般情况呢?这样做对提高我们的证题水平扩大知识面和形成技能都有好处,现举例说明:图1人教版初中几何第三册94页例1　如图,1AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径.求证:AB.AC=AE.AD该题的证明见课本图2　一、合理推广变化1　参照图1将△ABC变为等腰三角形”.如图2,结论变为:AC2=AD.AE(易证)变化2　将变化1中的条件减弱,变为“AE不经过△ABC外接圆的圆心”,如图3。图3此时,AE与等腰三角形底边BC的变点D可能…     

三个优美不等式的推广

对以下三个优美不等式进行了推广:若ab,c,∈R 且a b c=1,则a2 b2 c2≥13;a1 b1 c1≥9;√a √b √c≤√3     

D_n群与D_(nh)群的正规子群

Dn 群的生成关系为 :an=b2 =e ,(ab) 2 =e ;Dnh群的生成关系为 :an=b2 =c2 =e ,(ab) 2 =(bc) 2 =e ,ac =ca且有Dnh=Dn× {e ,c} .研究了Dn 群和Dnh群的正规子群 .证明了Cri为Dri的正规子群 ,Dri不是Dn 的正规子群 .指出Cn与Cri为Dnh的正规子群 ,Crih为Drih的极大正规子群 ,但不是Dnh的正规子群 .     

类比思想方法的应用

所谓类比 ,是对两个或几个相似的对象进行“联想” ,把它们中某个较熟悉的性质转移到和它相似的对象上去 ,从而导致发现新规律。常用的类比有 :数与形的类比、特殊与一般的类比、平面与空间的类比、有限与无限的类比等等。一　数与形的类比例 1 :证明等式 :a -b1 +ab+ b -c1 +bc+ c -a1 +ab=a -b1 +ab· b -c1 +bc· c -a1 +ab分析 :联想到在△ABC中 ,tgA+tgB+tgC =tgA·tgB·tgC其中A+B+C =π再令a=tgα,b=tgβ ,c =tgγ即可。证明 :在△ABC中 ,有tgA+tgB+tgC =tgA·tgB·tgC其中A+B+C =π在等式证明过程中 ,主要用到tgC=tg(π-…     

一道竞赛题的若干解法

题　分解因式 :a2 +2 b2 +3c2 +3ab+4ac+5bc( 1991年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题 )。　　一、赋值法解 :令 a=0 ,则原式 =2 b2 +3c2 +5bc=( b+c) ( 2 b+3c)令 b=0 ,则原式 =a2 +3c2 +4ac=( a+c) ( a+3c)令 c=0 ,则原式 =a2 +2 b2 +3ab=( a+b) ( a+2 b)∴原式 =( a+b+c) ( a+2 b+3c)　　二、双十字相乘法解 :原式 =a2 +3ab+2 b2 +( 4 a+5b) c+3c2 =( a+b) ( a+2 b) +( 4 a+5b) c+3c2 =( a+b+c) ( a+2 b+3c)　　三、待定系数法解 :原式 =( a+b) ( a+2 b) +3c2 +4ac+5bc设原式 =( a+b+m) ( a+2 b+n) ,则原式 =a2 +3ab+2 b2 +a( n+m) +( n…     

构造法解题浅析

纵观一些数学竞赛题 ,要求知识面广 ,难度大 ,题型新颖 ,具有创新性特征 ,有不少试题在形式结合上独有其特征。如果善于抓住其内在特征进行联想、发散 ,将欲解的问题恰当地构成另一个数学模型 (如方程、复数、不等式、函数、图形等 ) ,那么往往可以化繁为简。这种解题方法 ,习惯称为构造法。下面分类举例浅析。　　一、构造方程解题例 1　已知 a、b、c是实数 ,试确定最大的 c,使 a+b+c=5,ab+bc+ca=3分析 :由题设条件可变为 a+b=5- cab=3- c( 5- c) 联想根与系数关系构造一元二次方程 ,然后用判别式即可获解。解 :由题设构造以 a、b为两根的…     

Simson线的两个性质

从三角形外接圆圆周上的任一点,向三角形三边引垂线,则三个垂足共线;此线称simson线。如图1,点P是△ABC外接圆圆周上任一点,点A_1、B_1、C_1分别是P点到BC、CA和AB的垂足;由于P、A、B_1、C_1,和p、C、A_1、B_1都四点共圆,得到么∠1=∠2和∠3=∠4,又P、A、B、C在同一圆周上,得到∠PAB=     

垂足三角形的性质

1986年全国高中数学联赛的第二试第二题是这样的:“已知锐角三角形ABC 的外接圆半径是 R,点 D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上。求证:AD、BE、CF是△ABC 的三条高的充要条件是S=R/2(EF+FD+DE)式中 S 是△ABC 的面积。”     

向量在平面几何中的若干应用

新编高中数学试验教材增加了一些有着广泛应用的而且是学生能够接受的新知识。其中平面向量便是新增内容之一，它在研究其它许多问题时获得广泛应用。本文仅从来弦定理及垂心定理的证明谈谈向量在平面几何中的作用，以见一班。余弦定理的证明在中学平面几何中是一个难点内容，用纯几何和三角的方法讲解需要一节课时。若到高中阶段学习了向量知识后再回头处理这一内容，就显得居高临下，且十分简洁，回味无穷。1金弦定理的证明。如图1，在△ABC中，AB、BC、CA的长分别为c，a，b2求证△ABC三边上的高相交于一点（垂心定理）。已知：△AB…     

用极坐标距离公式证几何题

本文应用极坐标系中两点P_1(ρ_1,θ_1)、P_2(ρ_2,θ_2)的距离公式来证明部分几何题。 一、证明两线段相等 例1 在△ABC中,∠A≤ 90°,在AB、BC上分别作正方形ABDE、BCFG, 求证:|GA|=|DC|。     

直角三角形的内接正方形的面积问题

类似于圆内接四边形 ,我们把正方形的四个顶点落在直角三角形三边上的正方形 ,称为这个直角三角形的内接正方形。直角三角形的内接正方形有以下两种情况 :如图 1,△ ABC中 ,∠ C =90°,四边形 CFED是△ ABC的一个内接正方形 ,记Rt△ ADE、Rt△ BEF的面积分别为 S1 ,S2 ,正方形 DCEF的面积为 S正 ,△ ABC的面积为 S△ ,则有 :(1) S△ =S1 +S2(2 ) S正 =2 S1 . S2证明 :由相似三角形的性质易得 S1 S△=AE2AB2 　 S2S△=BE2AB2即　　 S1S△=AEAB　 S2S△=BEAB∴ S1S△+S2S△=AE +BEAB =1∴ S△ =S1 +S2把上式两…     

面积坐标及其应用

本文由文(1)的结论给出面积坐标的定义,运用点与三角形之间的关系,为解决竞赛题中的几何问题提供了一个有效的方法。 一面积坐标的定义 文(1)运用面积比证实,若P是△ABC所在平面上的任一点,直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB或延长线相交于D、E、F,则 PD/AD+PE/BE+/PE/CF=1     

M_3的一个求法

令α,β,γ为非负整数.κ是使 κα=lβ+mγ,l≥0,m≥0成立的最小正整数.上式叫做α关于β,γ的范式 本文主要结论为下述定理 定理 设a,b,c为三个正整数(a,b,c)=1.令 (a,b)=d_3, (b,c)=d_1, (c,a)=d_2 c=αd_2d_3,b=βd_1d_3,c=γd_1d_2又α关于β,γ;β关于α,γ的范式分别为 κα=lβ+mγ uβ=να+wγ如果m,w不全为o,则不能由线性式 αx+by+ca,X≥0,y≥0,z≥0 表出的最大整数M_3为 M_3=max(λα+wγ,uβ+mγ)d_1d_2d_3-a-b-c 根据本定理,本文设计出一种较简明的求M_3的算法.     

三个优美不等式的推广

对以下三个优美不等式进行了推广若a,b,c∈R+且a+b+c=1,则a2+b2+c2≥1/3;1/a+1/b+1/c≥9;√a+√b+√c≤√3     

三个优美不等式的推广

对以下三个优美不等式进行了推广:若a,b,c∈R+且a+b+c=1,则a2+b2+c2≥1/3;1/a+1/b+1/c≥9;√a+√b+√c≤√3     

三角形外接圆半径必大于或等于内切圆直径——由一个错题引发的思考

在初三年级的教学中,一次讲圆的复习课,我准备了这样一道题：直角△ABC,∠C=90°,△ABC的外接圆半径为3,内切圆半径为2,求△ABC的周长。