论2p+1形素数

王健真的《论费尔马大定理》(中国统计社1987年7月出版)提出了猜想: 如p是奇素数,则 f(p):(2~p+1)÷3 是素数。 经他初步验算,当p=3,5,7,…41时,f(p)是素数,其实 f(29)=178956971=59×3033169 f(41)=733007751851=83×8831418697 所以王健真的验算和猜想都是错误的, 事实上,只要p是4k+1形,且q=2p+     

关于Hughues-Shallit猜想——自然数乘法分拆之个数的上界问题

以f(n)表自然数N的乘法分拆的个数。本文证明了:当n=p~a及n=p_1p_2…p_l时,Hughues-Shal-Lit的第一猜想:f(n)≤n/logn,(n≠144)成立。其中p为素数;p_1,p_2,…,p_1为互异素数。第二猜想:f(n)相似文献   

关于高维纽结的Alexander不变量

本文对高维纽结的Alexander不变量作了一些研究,给出如下结果。定理1 A(t)是任一Laurent多项式,A(1)=±l,对任意自然数n≥2,自然数p、q,使得p+q=n+1,则存在一个n维纽结KS~(n+2),它的Alexander不变量为 (1)p≠q,H_p(z)=∧/A(t),H_q(z)=∧/A(t~(-1)); (2)p=q,H_p(z)=H_p(z)=∧/A(t)∧/A(t~(-1)),其中z是z=S~(n+2)-K的无限循环复盖。定理2 如果A_1(t)……A_m(t)是Laurent多项式,且Ai(1)=±1(i=1…m),对任意自然数n和p+q=n+1,存在纽结K cS~(N+2)使得它的Alexander不变量为:     

自然数幂次阶差猜想

笔者发现了一个自然数幂次阶差猜想。定义:自然数幂次阶差被定义为:D_(P;1)(N;M)=(N+M)~P-(N)~P,N=1,2...∞,M=1,2...∞,P=1,2...∞;(1.1)D_(P;i)(N;M)=D_(P;i-1)(N+M)-D_(P;i-1)(N),N=1,2...∞,M=1,2...∞,P=1,2...∞,i=2,3,...P.(1.2)其中N为自然数,M为两自然数N+M与N之差,P为自然数N+M与N之幂次。猜想:自然数幂次阶差猜想是:D_(P;P)(N;M)=P!×M~P,N=1,2...∞,M=1,2...∞,P=1,2...∞.(2)猜想的一些数值例子列于表2、表3和表4。自然数幂次阶差猜想等待被证明为定理。     

费马数与伪素数

如果合数N满足2N≡2(modN),则称N为伪素数.本文运用数论中的一些简单结果,如任何费马合数都是伪素数以及费马小定理(若p为素数,a为整数,且(a,p)≡1,则ap-1≡1(modp))等,给出了N=FS1FS2…FSk为伪素数的充要条件:S1≤2S2-1且Sk≤2S1-1,这里S1＜S2＜…＜Sk,FS=22S+...     

关于丢番图方程x6±y6=Dz2

设正整数D无平方因子且不被 6k +1形素数整除 ,证明了丢番图方程x6±y6=Dz2 ,(x ,y) =1除开x6±y6= 2z2 仅有解x=y =z=1外 ,其他情形均无正整数解 ;同时获得了方程x6±y6=PDz2 (P为奇素数 )无正整数解的一些判据     

关于丢番图方程|6x2y2-x4+3y4|=2z2

证明了丢番图方程|-x4+6x2y2+3y4|=2z2,(x,y)=1的全部正整数解为(Ⅰ)若z＞2y2,则x=|m21n21-6m22n22|,y=m21m22+2n21n22,z=z(±)=(±)[24m21m22n21n22-2(|m21m22-2n21n22|±2m1m2n1n2)2],其中m2,n1满足-n41+6m22n21+3m42=2(D/2)2,2(×)n1m1m2;z=z-时,n2,m1满足(D-4m2m1)n2=m1(m22-n21)和(D+4m2n1)m1=2n2(n21+3m22),z=z+时,n2,m1满足n2(D±4m2n1)=(m22-n21)m1和m1(D(±)4m2n1)=2n2(3m22+n21).(Ⅱ)若z＜2y2,则x=|m21n21-6m22n22|,y=m21m22+2n21n22,z=±z0,z0=24m21m22n21n22-2(|m21m22-2n21n22|±2m1m2n1n2)2,其中m2,n1满足-n41+6m22n21+3m42=2(D/2)2,2(×)n1m1m2;z=z0时,n2,m1满足n2(D±4m2m1)=(m22-n21)m1和m1(D(±)4m2n1)=2n2(3m22+n21),z=-z0时,n2,m1满足(D(±)4m2n1)n2=m1(m22-n21)和(D±4m2n1)m1=2n2(n21+3m22).从而更正了梁莉莉,王云葵[1]关于上述方程仅有正整数解(x,y,z)=(1,1,2)的结果.     

求任意正整数m的缩系的新方法

一引言熟知,缩系的概念和构造缩系都是很重要的。通常,求一正整数m的缩系主要依据如下定理[1]:若(m_1, m_2)=1(m_1m_2=m),x_1过m_1之一缩系,x_2过m_2_之一缩系,则m_1x_2 m_2x~1过m之一缩系.或在特殊情形,即m=2,4,p~l及2p~l(此处p为素数)时,先求出模     

关于二阶线性递归序列的一些恒等式

设ωn+2＝Aωn+2-Bωn(B≠0) (n＝0,±1,±2,…),我们完全确定了何时有恒等式ωpn+r＝nΣk＝0(nR)i n-kskωqk+r (n∈N＝{0,1,2…}).设u0＝0,u1＝1,且u+2＝Aun+1-Bun(n＝0,±1,±2,…),对l,m∈N及函数fN→{k∈Zωk≠0},我们证明了关于l,m对称的恒等式1-1Σk＝0Bf(k)uf(k+m)-f(k)ωf(k)ωf(k+m)＝m-1Σk＝0Bf(k)uf(k+l)-f(k)ωf(k)ωf(k+l)它可用于计算无穷级数+∞Σk＝0Bf(k)uf(k+m)-f(k)/(ωf(k)ωf(k+m).本文的结果推广了南献[1]、[2]、[3]、[7]、[8]中相关的工作.     

对哥德巴赫猜想(1,1)的证明

1．构建辅助命题在自然数列1,2,3,…,S(S∈N)中,能被所有小于等于√S的素数P1,P2,P3,…,Px,…,Py,…,Pn,…,Pm,(X≥1,Y≥1,n≥1,m≥1,X∈N,Y∈N, n∈N,m∈N,Pm是小于等于√S的最大素数)中的任意一个素数Py整除的合数数字个数与该数列的全部数字个数的比值小于该素数的倒数1/Py;并且,依次除去该数列中分别能被若干个小于等于√S的素数整除的所有合数后,在全部剩余数字中能被任意一个小于等于√S的素数Py整除的合数数字个数与该全部剩余数字个数的比值依然小于该素数的倒数1／Py。     

关于Diophantine方程x3+1=13qy2的整数解

设D 是无平方因子的正整数,D =∏si=1pi(s≥2),pi≡1(mod6)(1≤i≤s)为奇素数。关于Diophantine方程x3+1=Dy2的初等解法至今仍未解决。主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列,证明了q≡7(mod12)为奇素数,且q( )13=-1时,Diophantine方程x3+1=13qy2当q=7时有整数解(4367,±30252),(-1,0);当q≠7时仅有整数解(x,y)=(-1,0)。
     

关于丢番图方程x6±y6=Dz2

设正整数D无平方因子且不被6k+1形素数整除,证明了丢番图方程x6±y6=Dz2,(x,y)=1除开x6±y6=2z2仅有解x=y=z=1外,其他情形均无正整数解;同时获得了方程x6±y6=PDz2(P为奇素数)无正整数解的一些判据。     

与差集有关的一个不定方程

的一组解(p,q),可构作一类差集.当r=s=1时,(1)的解就是所有的孪生素数对.Hall提出方程(1)在r>1,s>1时,除5~2+2=3~3外是否还有其他解?[2]证明了定理1 设q=p+2,-2模q的次数l满足3|l,且f=p~2+p+1是一个素数,满足q~(p+1)≠1(mod f),则方程(1)在r>1或s>1时无解.最近,文[3]证明了     

9个几乎相等的素数的立方和

证明了每个充分大的正整数N都是 9个几乎相等的素数的立方和 .即N可表为N =p3 1+… + p3 9,pj- 3 N/ 9≤U ,j =1,… ,9,其中 pj,j=1,… ,9是素数 ,U =N13 - 13 ×165+ε,ε>0充分小     

费尔玛猜想

法国数学家费尔玛曾经猜想:凡用2~(2~n)+1表达的数皆为素数。并且验证了:当n=1,2,3,4,时,这个猜想是正确的。因此费尔玛便建议英国的数学家们去证明这个猜想的结论。但后来,殴拉发现当 n=5时 2~(2~5) +1表示的数不是素数,而是一个合数,因为它是可以用641整除。那么,为什么2~(2~5) +1能被641整除呢?我们没有见到殴拉的证     

关于丢番图方程组x-1=3pqu2,x2+x+1=3v2 的整数解

设p,q是互异的奇素数,p≡q≡1(mod6),本文主要利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序等证明了丢番图方程组x-1=3pqu2,x2+x+1=3v2 除开p=7,q=181有非平凡解(x,u,v)=(60817,±4,±35113)外,仅有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1)。
     

关于不定方程x~2+49~n=y~3的唯一整数解

文章利用代数数论方法证明了不定方程x~2+49~n=y~3 n∈N,x■7的整数解仅(x,y,n)=(±524,65,1)并且证明了x~2+(P~2)~n=y~3,p是素数的一般解.     

关于Diophantine方程x~3±1=Dy~2

利用数论中的同余,勒让德符号的性质及其它一些方法,研究丢番图方程x3±1=Dy2(D=D1p,D是无平方因子的正整数,其中D1是不能被3或6k+1之形的素数整除的正整数,p=3(12r+7)(12r+8)+1,r是正整数)的解的情况。证明了当D1≡7(mod12)时,方程x3+1=Dy2无正整数解;当D1≡5,8(mod12)时,方程x3-1=Dy2无正整数解。     

幂级数的和函数在收敛圆周上性质定理的一种证法

复的幂级数sum from n=0 to ∞(C_n(z-a)~n)在收敛圆k:|z-a|＜R(0＜R≤+∞)内的和函数f(z)具n=0有一些很好的性质,如:①,f(z)在k内解析;②,f(z)在k内具有任意阶导数,且可逐项求导至任意阶,即:f_(Z)~(m)=sum from n=m to ∞(n(n-1))……(n-m+1)·C_n(z-a)~(n-m),(z∈k,m∈N)等。但其和函数在收敛圆周|z-a|=R(0相似文献   

一个用无理数幂表示整数的公式

设 Q =4l +1 ,l是非负整数 ,a、b是奇偶性相同的整数 ,则对于任意的非负整数 n,　　　　 f ( n) =1Qa +b Q2n+1-a -b Q2n+1　　　　 ( * )都表示整数。特别 ,当 a、b是自然数时 ,f ( n)也是自然数 ;当 a、b是偶数时 ,f ( n)也是偶数。( * )式就是一个用无理数幂表示整数的公式。证 :当 n =0时 ,f ( 0 ) =b,命题成立 ;假设对一切小于 k的自然数 n命题均成立 ,则f ( k) =1Qa +b Q2k+1-a -b Q2k+1=1Qa +b Q2k a +b Q2 -a -b Q2k a -b Q2=1Qa +b Q2k -a -b Q2k a +b Q2 +a -b Q2　 -1Qa +b Q2k a -b Q2 -a -b Q2k a +b Q2=af ( k -1 ) …