垂足三角形的性质

1986年全国高中数学联赛的第二试第二题是这样的:“已知锐角三角形ABC 的外接圆半径是 R,点 D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上。求证:AD、BE、CF是△ABC 的三条高的充要条件是S=R/2(EF+FD+DE)式中 S 是△ABC 的面积。”     

面积坐标及其应用

本文由文(1)的结论给出面积坐标的定义,运用点与三角形之间的关系,为解决竞赛题中的几何问题提供了一个有效的方法。 一面积坐标的定义 文(1)运用面积比证实,若P是△ABC所在平面上的任一点,直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB或延长线相交于D、E、F,则 PD/AD+PE/BE+/PE/CF=1     

Simson线的两个性质

从三角形外接圆圆周上的任一点,向三角形三边引垂线,则三个垂足共线;此线称simson线。如图1,点P是△ABC外接圆圆周上任一点,点A_1、B_1、C_1分别是P点到BC、CA和AB的垂足;由于P、A、B_1、C_1,和p、C、A_1、B_1都四点共圆,得到么∠1=∠2和∠3=∠4,又P、A、B、C在同一圆周上,得到∠PAB=     

西姆松定理的推广

西坶松定理是:如(图1)所示,三角形ABC是一圆的内接三角形,P是圆上任意一点,过P点分别向边AB,BC,CA,作垂线,垂足分别是A1,B1,C1,则顺次连接A1,B1,C1,可得到A1,B1,C1三点共线。     

关于一个几何不等式的进一步探讨

著名学者杨学枝先生在文 (1 )中证明了由他提出的猜想设 P为△ ABC内一点 ,点 P到△ ABC三边的距离分别为 h1 ,h2 ,h3 ,△ ABC的边长分别为 a,b,c,则有 :　 1h2 h3 1h3 h1 1h1 h2≥ 1 2 (1bc 1ca 1ab)　 1等号当且仅当△ ABC为正三角形且点 P为其中心时成立 .文 (2 )将 1式加强为设 P为△ ABC内一点 ,∠ BPC,∠ CPA,∠ BPA的角平分线分别交 BC,CA,AB于点 D,E,F ,记 PD =w1 ,PE =w2 ,PF =w3 ,BC =a,CA =b,AB =c,则有1w2 w3 1w3 w1 1w1 w2≥ 1 2 (1bc 1ca 1ab)　 2等号当且仅当△ ABC为正三角形且点 P为其中心时成立 .…     

一类有关四边形证明题的证题技巧

有关四边形的证明题，常常因为图形复杂，条件特殊，不易找到与已有知识的联系，更没有多少能直接应用的现成定理，而使证明无法下手．本文总结出一套行之有效而简明的证明方法．呈“一组对边相等，另一组对边中点已知”的题型的证明法该法通过添辅助线，将四边形的问题转化为人们熟知的三角形中位线的问题来解决‘例1在四边形ABCD中，AB=CK，E、F分别是AD、BC的中点，延长BA、CD分别交于FE的延长线于H、G，求证：LBHF=LCGF．证明：连结BD，取BD的中点M，连结ME，MF．因为E是AD的中点，F是BC的中点．此法紧紧抓住了题目中…     

关于一九八一年全国二十五省市自治区数学竞赛试题第五题的一个解答

原题:五、(20分)一张台球桌形状是正六边形ABCDEF。一个球从AB 的中点P 击出,击中BC边上的某点Q,并且依次碰击CD、DE、EF、FA 各边,最后出中AB 边上的某一点。设∠BPQ=θ,求θ的取值范围。提示:利用八肘角等于反射角的原理。     

多功能逐步回归程序

条l程序(用BCY语言编写)始过程NUCLE(M,N,XY,Fl,FZ,L,B,Tl,RYM,F,SY,E612五63,E64,FAIL); 值M,万,F一,FZ,E612,E63,E64: 简变L,RYM,F,SY,FAIL, 场xy,B,T八 始简变K,K12,F12,Y,D,S,MAX, H,RYY,NN,AAA, 场R〔1,M+1,1,M+l〕,XBA,SGM,月BC, 左I丫〔1,M+1〕, 过程MA, 始若R〔K,K〕<小一5则始(一l)今FAIL, 661303030303030(8)今AAA, 传码J犷,月A月,咨J犷(2,K), 转L15终否则, 尸〔尤,K〕半D;1净R〔K,K〕,’ 对子了‘1步长1次数Y执行 R〔K,月/刀令R〔K,了〕, 对于i=l步长1次数Y执行 若i=K则否则始R〔i…     

多目标规划的像问题及其应用

设X,Y,Z皆为拓扑向量空间,C和D分别是Y和Z中的闭凸锥.Z中由D规定的偏序如下:对任意z_1,z_2∈Z,当且仅当z_2-z_1∈D时,z_1≤z_2考虑下述多目标规划问题min f(x);s.t.x∈R(?){x ∈X且g(x)∈C},其中,f:X→Z;g:X→Y.定义1 设(?)∈R,如果(f(?)-D)∩(f(R)\{f(?)}=?,则f(?)称为(1)式的有效点.当f(?)是(1)式的有效点时,称(?)是(1)式的有效解.任给(?)∈R,作映射F(?):X→Z×Y为F(?)(x)=(f(?)-f(x)),g(x)).记H=(D\{0})×C,K(?)={F(?)(x)|x∈X},E(?)=K(?)-c1H.定义2称     

Menelaus逆定理浅探

l定理钱探Menelaus定理是初等几何中证明共线点的一个有力工具，为了证明它，一般我们先证明了以下的Menelaus逆定理．定理1设面ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB被一直线分别截子点X、Y、Z（图1），则有：此定理在初等几何中有很广泛的应用，介于接受能力，中学数学并未提及此定理．下面，我们由它得出如下一个易于中学生接受，同时在中学几何又很有用的定理，以体现高等数学对中学数学的指导．定理2设过凸ABC的一个顶点C任作一直线，分别分对边AB及不过此顶点的中线AD（或BM）为两部分，其分点分别为F、E，则（如图2）：此定理…     

一个平面几何问题的证明及推广

1问题的提出 如图1,△ABC是⊙J的外接三角形.过切点D作圆的直径交圆于点E',连接AE'并延长BC交于点E,过J作EE'的平行线交BC于点M,求证:点M是BC的中点.     

三等分线段

作法:①以AB为对角线作正方形ABCD(作AB的垂直平分线交AB于E,在CD上截取EC=ED=EA=EB,连结CA、AD、DB、BC,则四边形ABCD为正方形)。     

有限向量空间中子空间的计数公式及其应用

设F(n)q是有限域Fq上的n维向量空间,P,Q分别是F(n)q的m维和r维子空间,并且dim(P∩Q)=i.计算了F(n)q中满足dim(P∩R)=j和dim(P∩R)=k的s维子空间R的个数.此外,给出了用子空间构作认证码的示例.     

拟阵Q_6与W~4可F-线性表示的构造

对拟阵 Q6与W4可F-线性表示的构造进行了研究.用E(G)在R上的链群F0(G,R)表示G的圈拟阵M(G);用松弛拟阵M的极小圈超平面X的方法得到拟阵M′.得到主要结果为:(1)用链群表示了M(K4),M(W4);(2)用松弛极小圈超平面的方法从M(K4)构造了Q6,从M(W4)构造了W4,找出了W4可线性表示的所有域F.     

以扁圆拟似椭圆的误差分析

已知扁圆的长、短半轴分别为为a,b(a>b>0)求作扁圆,其常见画法如下:(只作其四分之一) 1.作垂直O点的二直线段OA,OB且有OA=a,OB=b,在线段AB上取BD=a-b。 2.作线段AD之中垂线分别交直线AO,BO于E,F。 3.分别以E,F,为圆心,以r=EA,R=FB,为半径作二弧使其内接于直线EF的点T。此扁圆是由四段圆弧内连接,且长、短半轴为已知值的     

DUI YI DAO LI TI DE YAN SHEN LIAN XI

△ABC中，AB＋AC=12，AD=3，则AABC的外接圆的最大直径是多少？ 【延伸4】已知：如图6，在⊙O的内接△ABC中，AB＋AC=12，AD⊥BC，垂足为D（点D在BC边上），且AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x.     

图是λ4-最优的一个充分条件

设G=(V,E)足有限简单无向图,U,是一个边割.若G-U的每个分支的阶至少是4,则称U为G的4阶限制边割.G的4阶限制边连通度λ4(G)是C的4阶限制边割之中最少的边数.对图G的一个子图F,令a(F)表示恰好有一个点在F上的边的数日,定义ξ4(G)=min{a(F):F是G的连通的导出子图,|F|=4}为F的4阶最小边度,用D,g,δ 分别表示G的直径,围长和最小度.本文证明了:如果|G|≥11,D≤g-6且δ≥3,那么λ4(G)=ξ4(G).     

梅内劳斯定理及其应用

我们知道,笛沙格定理、巴斯加定理及其特殊情形帕普斯定理的条件与结论只涉及点与直线的结合关系,甚至与顺序也无关,因此属于“射影”性质,它们在射影几何中都占有很重要的地位,特别笛沙格定理的成立与否影响到整个射影几何的结构。这三个定理在射影几何中有各种各样的证法,本文统一用梅内劳斯定理进行证明,一方面说明梅内劳斯定理在解决“三点共线”问题中的作用,同时介绍射影几何中这三个著名定理.我们先来介绍梅内劳斯定理.梅内劳斯(MeneIaus)定理:设 D、E、F 各是△ABC 的三边 AB、AC、BC 或其延     

线段相等的射影几何证法

利用射影几何知识证明两线段相等,有时是很方便的。下面通过一些例子来说明线段相等的射影几何证法。 一、利用交比相等 例1 设M为已知圆的定弦PQ的中点,过M任作两弦AB和CD。 (1)若AD和BC分别交弦PQ于T和     

二次扩域的性质

设F,K是两个域,且FK。显然K可以看作是域F上的线性空间,此时,如果K是二维的,那么就说域K是域F上的二次扩域。 比如,复数域C是实数域R上的二次扩域;而域Q(2~(1/2))则是有理数域Q上的二次扩域。 二次扩域具有许多简单、和谐而且有趣的性质。 为方便起见,下面的讨论均假定域K是域F上的二次扩域。