三维Minkowski空间中的伪球面曲线

在三维Minkowski空间中讨论伪球面曲线.首先给出Minkowski空间中伪球面曲线的Frenet标架,然后利用伪球面曲线的特殊性,给出它的一种新的Frenet标架形式,并进一步研究了该曲线为一些特殊曲线的情况.     

Frenet公式的几个简单应用

讨论由三维欧氏空间中的光滑曲线和其Frenet标架场的线性组合生成新曲线的曲率和挠率,并给出它们的计算公式.     

七维欧式空间球面曲线的一个几何性质

本文主要利用推广至7维欧式空间的Frenet公式探讨球面曲线的几何特征,并给出了判定一条空间曲线是球面曲线的充要条件.     

5-维欧氏空间球面曲线的一个几何性质

利用Frenet公式讨论了5-维欧氏空间中球面曲线的几何特征,给出了判定一条空间曲线是球面曲线的一个充分必要条件．     

三维Minkowski空间中的类光Bertrand曲线

在三维Minkowski空间中,为了讨论伪正交标架下Bertrand曲线的性质以及对三维Minkowski 空间与三维欧式空间中Bertrand曲线的性质作比较,类似于三维欧式空间,首先给出伪正交标架下曲线的Frenet公式,然后针对不同标架的特点及Bertrand曲线的定义,系统地讨论不同情况下类光Bertrand曲线的性质.最后得到了在三维Minkowski空间中当一条挠曲线有常挠率,则它是一条Bertrand曲线以及Bertrand 曲线对的对应点之间的距离为弧长的线性函数等结论.     

球面上的Erdǒs-Mordell不等式

引进球面三角形的可行点的概念，把平面上的Erdǒs-Mordell不等式推广到三维欧氏空间R^3中的球面上．     

三维Minkowski空间中的圆纹曲面

在三维闵可夫斯基(Minkowski)空间中定义了以类时曲线为脊线的圆纹(canal)曲面,并对温加顿(Weingarten)圆纹曲面进行了分类.与三维欧氏空间类似,首先以类时曲线的伏雷内(Frenet)标架为基础,结合圆纹曲面的几何定义,得到了伪正交标架下以类时曲线为脊线的圆纹曲面的参数方程.然后,建立此类圆纹曲面的基本理论,包括第一、第二基本量,高斯曲率和平均曲率等.在此基础上,得到了高斯曲率和平均曲率之间的关系,并对Weingarten圆纹曲面进行了详细的讨论.得到了三维Minkowski空间中以类时曲线为脊线的Weingarten圆纹曲面是管道曲面或者旋转曲面的结论.     

球面上的两个公式及其运用

得到了欧氏空间中,单位球面上坐标函数关于某一特定标架场的协变微分的两个等式.它们有非常重要的应用.首先它们可以用来求出球面上作用在形式上的拉普拉斯算子的谱及重数,而在文献中这些结果并不清楚.其次还可以用这两个等式来计算欧氏空间中某些特殊类型凸超曲面的各阶平均曲率.     

一种任意曲线曲率中心、半径及Frenet标架的图解算法

通过分析现有曲线曲率中心、曲率半径的求解方法,与微分几何中Frenet标架的定义及求解方法,提出了一种基于离散点分段构建平面曲线逼近空间任意曲线的方法,并以此建立以两中垂面与密切平面求交的方式求解曲线曲率中心和Frenet标架的图解及解析模型.所给出的求解任意曲线曲率中心、曲率半径及Frenet标架的图解算法简便可行,试验证明,该算法稳定可靠,适应性广.     

球面上的Erds-Mordell不等式

引进球面三角形的可行点的概念,把平面上的Erd¨os Mordell不等式推广到三维欧氏空间R3中的球面上.     

六维欧式空间球面曲线的一个几何性质

为了探究球面曲线的几何特征,对欧式空间的公式进行了研究,将欧式空间的公式推广至6维欧式空间,给出了判定一条曲线是球面曲线的充分必要条件.     

三维Minkowski空间中伪零曲线的表达形式

三维闵可夫斯基(Minkowski)空间中的类空曲线根据其主法向量的性质分为第一类类空曲线、第二类类空曲线和伪零曲线.讨论了三维Minkowski空间中伪零曲线的表达形式.首先,由伪零曲线的定义给出两个结构函数,并用结构函数将伪零曲线的Frenet标架以及曲率函数表达出来,同时找到所定义的两个结构函数之间满足的关系.最后,讨论曲率函数为常数的伪零曲线及其结构函数的表达形式,并给出相应的例子及图形表示.     

任意参数形式下的Frenet公式

Frenet公式是空间曲线论的基本公式,在经典微分几何中占有十分重要的地位。但由于受到弧长参数的制约,经典Frenet公式难以应用于弧长发生变化的诸多变形问题。对此推导出了任意参数形式下正则曲线的Frenet公式,并给出了新公式的一个应用实例。结果表明,新公式是经典Frenet公式在任意参数形式下的拓展,可极大简化变形问题的求解过程。     

三维欧氏空间中的达布曲线

在三维欧氏空间中,经过空间曲线上的一点,且与该点的达布向量平行的直线称为曲线在此点的达布线.如果一条曲线和另一条曲线的点之间建立这样的一一对应关系,使得在对应点的达布线重合,则这2条曲线被称为达布曲线对,其中一条叫做另一条的达布侣线.主要研究了三维欧氏空间中达布曲线对的一些性质,并得到了如下结论：2条曲线的主法线平行的充分必要条件是它们的达布线平行;2条曲线的主法线平行,则它们在对应点的切向量成固定角;2条曲线为达布曲线对的充分必要条件是在对应点它们的从切平面重合.同时研究了三维欧氏空间中一条空间曲线具有达布侣线时它的曲率和挠率需要满足的关系.     

管状曲面的奇点

研究管状曲面和它的平行曲面的奇点问题.所谓管状曲面,是沿着E3里一条曲线的双参数空间运动产生的.选定曲线的Frenet向量T作为旋转轴,用不同的方法得到了运动管状曲面的特征.然后,给出管状曲面奇点的一些定理和结果.     

三维欧氏空间中主法线曲面的结构函数

在三维欧氏空间中,主法线曲面作为特殊的非可展直纹面具有良好的代数和几何性质.运用微分几何的方法研究主法线曲面的结构函数.根据三维欧氏空间中不可展直纹面的定义和标准方程,给出曲线的主法线曲面的定义和标准方程.从主法线曲面的定义和标准方程出发,得到主法线曲面的结构函数之间满足的关系,以及曲线的主法线曲面的结构函数、准线和腰曲线三者之间的联系.讨论Mannheim曲线和一般螺线的主法线曲面,得到Mannheim曲线的主法线曲面是其侣线的副法线曲面,一般螺线的主法线曲面是正螺面.