球面中常平均曲率子流形

本文将陈省身和Yau的定理推广到完备子流形的情形和M~n是全脐子流形的情形,得到如下定理。定理1 设M~n(n≥2,是S~(n+p) (1) (P>((n-1)(n-2))/2)中完备的极小子流形,如果supS≤n/(2-(2/((n-1)(n-2))))则M~n是全测地的或supS=n/(2-(2/((n-1)(n-2)))) 定理2 设M~n(n≥2)是S~(n+p) (1) (P>(((n-1)(n-2))/2)中具有平行平均曲率向量的紧致子流形,如果M~n的截面曲率为正且S<((((1+H~2)n)/2-(1/(q-1)))+nH~2),则M~n是全脐子流形。(q=((n-1)(n+2))/2) 其中M~n是浸入在单位球面S~(n+p) (1)中的n维子流形,S是M~n的第二基本形式长度平方,H是M~n的平均曲率。     

S~(n·p)(1)中平均曲率平行的子流形

S~(n+p)(1)是n+p维单位球面,M~n是S~(n+p)中的平均曲率平行的紧致子流形,P>1。在[4]中Simons证明了:M~n是S~(n+p)(1)中的紧致极小子流形,其第二基本形式长度处处不大于n/(2-(1/p)),则M~n是全测地的。文[1]推广了这个结果。本文将改善[1]的结果并给出数量曲率,李奇曲率和截面曲率的限制条件。     

空间形式S^n＋p（C）中的全脐子流形

设M~n是空间形式S~(n p)(c)中具有平行中曲率向量的正曲率紧致子流形,其中p>1。在[1]中,我们给M~n的数量曲R率以下界,即R≥n/(3p-5)[(3p-5)n-(4p-6)](c H~2)则M~n是S~(n p)(c)的全脐子流形。本文给R以上界,则仍有M~n是S~(n p)(c)的全脐子流形。     

全脐子流行的几个充分条件

设M~n是常曲率空间N~(n p)(c)中具有平行中曲率向量ξ(≠0)的紧致正曲率子流形。设K和Q分别是M~n上每点截面曲率和Ricci曲率的下确界,R是M~n的数量曲率,本文利用三种内在量K,Q和R所满足的适当关系,给出这种子流形是全脐子流行的三个充分条件。     

具有常平均曲率的曲率子流形上一类Schr?dinger算子的特征值估计

研究曲率子流形中一类Schr?dinger算子的第一个特征值,并给出一些估计.具体地,假设φ:■是■中具有常平均曲率H的曲率子流形,■的主曲率的绝对值■,S为M~n的第二基本形式模长的平方,我们得到了如下结论:(1)当H=0,即M~n为极小曲率子流形,μ_1是Schr?dinger算子■的第一特征值,则■;或者μ_1=0,如果M~n为全测地的.(2)当余维数p=1时,M~n为具有非零常平均曲率的曲率超曲面,λ_1为算子L_2=-Δ-S的第一特征值,则有(i)若2≤n≤4,或者n≥5,■,则■ii)若n≥5,■,则■该结果推广了Wu~([4])、Chen-Cheng~([5])的部分结论.     

关于黎曼流形的共园对应

§1 引言和予备知识黎曼流形 M~n 的曲线 C 具有下列性质者称为园:C 关于 M~n 的第一曲率为常数,第二曲率恒为零。若{M~n,g}与{(?)(n>3)的共形对应使 M~n 的园对应于(?)的园,则称为共园对应。文〔2〕指出,共形对应     

单位球面S~(n+1)(1)中有常数平均曲率的紧致闭超曲面的全脐性

设M~n是单位球面S~(n+1)(1)中的紧致闭超曲面,且M~n及其Gauss映照像均落在S~(n+1)(1)的一个开半球面内.利用一个已知的积分公式,证明了:如果M~n的平均曲率H1是常数,则M~n是全脐的.     

局部对称伪黎曼流形中的伪脐类空子流形

研究局部对称伪黎曼流形N_p~(n+p)中的伪脐类空子流形M~n.当M~n是完备非紧且具有平行平均曲率向量场时,得到M~n的第二基本形式的模长平方的一个拼挤定理.当M~n是紧致且具有平行平均曲率向量场时,证得M~n是全测地的.     

球面上k-极值子流形的特征值问题

通过选取适当的测试函数,估计单位球空间S~(n+p)(n≥3)中n维闭的k-极值子流形(k≥1)M~n上Schrdinger型算子L=-Δ-k(2-1/p)(S-nH~2)的第一特征值的上界,并基于特征值给出子流形M~n的特征,其中H和S分别为M~n的平均曲率和第二基本型模长平方,Δ为M~n上的Laplace算子.     

关于拟常曲率流形的平行中曲本子流形的一个积分不等式

本文的目的是证明如下的定理:设V~(n+p)是拟常曲率黎曼流形,即V的黎曼曲率张量可表为K_(ABCD)+a(g_(AC)g_(BD)-g_(AD)g_(BC))+b(g_(AC)V_BV_D+g_(BD)V_AV_C-g_(AD)V_(BC)-g_(BC)V_AV_D)(sum from n=(A,B)(g_(AB)V_AV_B=1),若M~n是V~(n+p)的具有平行平均曲率的紧,致无边子流形,则integral from n=M~n({(2-1/p)S~2-[na+(1/2)(b-|b|)(n+1)]S+n(n-1)b~2+nH(anH+S~(3/2)+2|b|S~(1/2))}*1≥0)式中S=const是M~n的第二基本形式的长度之平方,H=const是M~n的中曲率.当M~n是V~(n+p)的极小子流形时(H=0),得到白正国教授[1]中的相应不等式     

球空间的超曲面全脐的几个特征

设 M~n 是具正常曲率 c 的空间形式的超曲面,本文在其 Ricci 曲率≥(n-1) c 的条件下,确定了M~n 全脐的几个新特征,它们可看作 yau,S.T.的一个定理的推广.证明方法上与处理这类问题的通常方法不同.     

球面中的极小浸入子流形

通过对第二基本形式的长度平方‖h‖~2 的取值的研究,证明了 ‖h‖~2 的值仅依赖于 Ricci 曲率在这个浸入的梯度方向的值,应用此结论证明了:如果那么 M~n 是全测地的,或 M~n 是 Veronese 曲面,或 M~n 是 S~(n+1)(1)中的超曲面S~k((k/n)~(1/2))×S~(n-k)(((n-k)/n)~(1/2))。其次研究了法曲率平坦的子流形。     

常曲率空间中的极小子流形和Gauss映照

设V~(n+p)(K)是常曲率为K(K≠0)的(n+p)维空间形式,M~n是n维连通的Riemmann流形。M~n在V~(n+p)(K)中极小的充要条件是M~n的广义Gauss映照为调和映照,本文利用此结果,通过对Gauss映照能量的Laplacian作下界估计,得到极小子流形的一些性质。文中出现的有关概念和记号及指标约定,请参考文[1～4]。定理1 设S~(n+p)(K)是正曲率的空间形式,M~n是等距浸入在S~(n+p)(K)中的紧致极小的     

存在共圆Killing向量场的拟共形黎曼流形

本文推广了《关于无穷小共圆运动几个定理》(罗崇善)的若干结果,得到:若一个拟共形平坦(拟共形半对称或拟共形循环)流形M~n(n≥4)存在一个共圆Killing向量场,则M~n是常曲率流形,或拟常曲率流形或ρ的梯度是M~n的平行向量场。     

伪黎曼空间形式中完备类空子流形的余维数约化

设M~n为等距浸入到伪黎曼空间形式N_p~(n+p)(c)中的完备类空子流形,平均曲率H有界且具有平行单位平均曲率向量场.如果M~n的平均曲率H满足相应条件,证明了该子流形的余维数p-可约化的问题.     

关于拟共形平坦黎曼流形的超曲面

本文研究拟共形平坦黎曼流形的超曲面,得到两个结果:定理1、拟共形平坦黎曼流形的全脐点超曲面是常曲率的充要条件是:M′(y′,z′)=-a/2(k+λ~2)g′(y′,z′)+λh′(y′,z′)定理2、当〔a+(n-1)b〕≠0时,拟共形平坦黎曼流形 M~(n+1)的超曲面 M~n 满足:1、在 M~(n+1)里 M~n 的第一平均曲率是常数2、内积 a=<▽V,N>在 M~n 上有固定正负号。则 M~n 是全脐点超曲面。     

Sasakian空间形式的C-全实子流形（英文）

研究Sasakian空间形式中具平行平均曲率向量的C-全实子流形M~n,得到一个Simon's公式以及M~n的第二基本形式的模长平方S如果满足:■;■,则M~n是全测地的.改进并推广了XUAN等的相应结果.     

关于拟常曲率空间中的一般紧致超曲面

设M~n是n+1维单连通完备拟常曲率空间N~(n+1)中的一般紧致超曲面,应用J.Simons的方法,建立了关于拟常曲率空间中紧致无边超曲面的积分不等式及刚性定理.     

黎曼流形的测地映射

Weyl 引进射影曲率张量W_(ijk)~h,且证明它在测地映射下保持不变。本文考察在什么条件下它的一阶协变导数和二阶协变导数的表达式W_(ijk)~h,lm—W_(ijk)~h,m(?)保持不变。设(M~n,g)和((?),(?))是两个n 维黎曼流形,又设Ψ:(M~n,g)→((?),(?))是一个微分同胚。经Ψ把这两个流形恒同,局部有共同的坐标系x~1,x~2,…,x~n。在此坐标系下,流形M~n 的度量张量,度量联结,黎曼曲率张量,Ricci 张量和数量曲率分别为g_(ij),R_(ijk)~h,R_(ij)和R。而M~n 的相应的张量在相应的记号上打一横“一”。如果在映射Ψ下,M~n 的测地线和M~n 的测地线互相对应,则称Ψ是一个测地映射。M~n 和(?)能存在测地映射的充要条件是     

球面上k-极值子流形的Pinching定理

令M~n是n维单位球空间S~(n+p)(n≥3)中的紧致k-极值子流形(1≤kn/2),证明当(∫_(M~n)ρ~ndv)2/nC时,|A|~2=nH~2且M~n全脐,其中C依赖于n,p,M~n.记ρ~2=|A|~2-nH~2,H和|A|~2分别表示Mn的平均曲率和第2基本型模长平方.