二次曲线的奇点及过奇点的切线

在平面上,任给二次曲线Γ:F(x,y)≡a_(11)x~2+2a_(12)xy+a_(22)y~2+2a_(12)x+2a_(23)y+a_(33)=0 (1)和一点 M_0(x_0,y_0),则过 M_0的直线 l 的方程可写为x=x_0+Xt,y=y_0+Yt.X:Y 是 l 的方向,-∞相似文献   

对直线合成二次曲线族问题的讨论

我们知道,在平面上由二元二次方程F(x,y)a_(11)x~2+2a_(12)_xy+a_(22)y~2+2a_(13)x+2a_(23)y+a_(33)=0 (1)所表示的曲线叫做二次曲线.而把具有某种性质的曲线的集合称为曲线族.利用曲线族解决有关问题,体现了参数变换的数学观点、整体处理问题的解题策略、待定系数的解题方法.本文就直线合成二次曲线族的问题作些讨论.     

一阶微分方程的几个可积类型-兼谈广义黎卡提微分方程的一个猜想及两个结论

本文拟给出一阶微分方程的几个可积类型。这些方程只要通过适当的变 量变换,就可以化归为变量可分离方程,从而可积。可以着出,通常意义下的 一阶齐次微分方程、线性微分方程,和伯努里(Bernoulli)微分方程,是本文 所给几个可积微分方程的特例。 本文还定义了广义黎卡提方程(Gene rdized Riccati′s eguation): dy/dx+q(X)y=a_0(y)y~n+a_1(X)y~(n-1)+…+a_(n-1)(X)y+a_n(X),(a_0(X)≠0,n≥2):并提出了一个猜想:广义黎卡提方程一般是不能用初等积分法求解的;同时,作者给出了有关广义黎卡提方程的两个结论: (i)在条件a_n(x)≠0,a_(n-1)(X)=c_(n-1) a_(x) (i= l,2,…,n; C_(n-1)为常数)之下,广义黎卡提方程是可积的。 (ii)如果a_(n-1)(X)=0(0≤j(x)=c_(n-i)a_(n-i-1)(x)(i>j+1),则广义黎卡提方程也是可积的。     

具有相异奇性的拟线性边界退化椭圆边值问题正解的存在性及正则性

考虑如下塑性流体的边界退化椭圆边值问题:{uauxx+ubuyy+p(x,y)r2α(x,y)=0,(x,y)∈Ω,u│αΩ=0,(x,y)∈αΩ解的存在性与正则性估计,其中:Ω={(x,y):x2+y21}R2;ab0;α≥0;r(x,y)为点(x,y)∈Ω到Ω边界aΩ的距离;p(x,y)为定义在Ω上具有正的上、下界的光滑函数.应用正则化方法及估计技巧,得到了上述问题解的存在性及正则性估计.结果表明:如果(1+α)/(1+a)21,则上述问题的解具有指标为2(1+α)/(1+a)的Hlder连续性;如果(1+α)/(1+a)≥1/2,则上述问题解的梯度是有界的.     

二阶非线性变系数微分方程组的全局稳定性

考虑系统 x=-a_1(t)f(x)+a_2(t)ф(y) y=a_3(t)x-a_4(t)y,f(0)=0,ф(0)=0 (1)定理1 假设成立条件(假定本文所考虑的函数均连续可微): 1)x·f(x)>0,(x≠0),且|f(x)|≥|x|; 2)对于一切t≥t_0,有a_1(t)≥a_1(>0);a_2(t)≤a_2(>0),a_3(t)≤a_3(0),a_4(t)≥a_4(0),(a_2+a_3)/(a_1~(1/2)·a_4~(1/4))<2 3)|φ(y)|≤|y|; 4)lim |x|→integral from n=0 to x (f(x)dx=+∞)则非线性系统(1)的零解是全局渐近稳定的。     

一类高阶非线性微分方程解的稳定性

本文对高阶非线性微分方程组x=f_1(x,y,x,y,x,y)…y=f_2(x,y,x,y,x,y)的某些特殊类型,研究了平凡解的全局渐近稳定性[1],用类比法[2]构造李雅普诺夫函数,得到了全局渐近稳定性的一些充分条件。主要结果为定理2、定理3和定理4。文中具体研究了如下三种类型的方程:和x a_1x a_2y a_3x a_4y f(x)=0…y b_1x b_2y b_3x b_4y g(y)=0x a_1x a_2y f(x) a_4y a_3x=0…y b_1x b_2y b_3x g(y) b_6y=0x f(x) a_2y a_3x a_4y a_5x=0…y b_1x g(y) b_3x b_4y b_6y=0其中ai,bi(i=1.2.…,6)均为常数,f和g具有保证解对初值唯一性的条件。     

具有奇性的拟线性边界退化椭圆边值问题正解的存在性及正则性

主要研究来自于塑性流体的下列边界退化椭圆问题{u~γu_(xx)+u~γu_(yy)+p(x,y)r~(2α)(x,y)=0,(x,y)∈Ω u|(e)Ω=0, (x,y)∈(e)Ω (P)解的正则性的估计. 其中Ω={(x,y):x~2+y~2＜1}(∪)R~2,γ＞0 ,α≥0,r(x,y)是点(x,y)∈Ω到Ω的边界(e)Ω的距离,p(x,y)定义在Ω(-)上的具有正的上、下界的光滑函数. 本文应用正则化手段及精细的估计技巧,得到了问题(P) 解的存在性及正则性估计.具体的结果是:如果1+α/1+γ＜1/2, 问题(P)的解具有指标为2(1+α)/1+γ的 H(o)lder 连续性;如果1+α/1+γ≥1/2, 问题(P)的解的梯度是有界的. 显然,本文得到的正则性结果比经典的结果更好.     

关于Diophantine方程nx(x+d)(x+2d)(x+3d)=y(y+d)(y+2d)(y+3d)的一点注记

设d是大于1的正整数.本文运用初等数论方法证明了:如果d的素因数P都适合P=2或者p=±3(mod 8),则方程2x(x+d)(x+2d)(x+3d)=y(y+d)(y+2d)(y+3d))仅有正整数解(x,y)=(4d,5d).     

捕食与被捕食种群具有常数收获(存放)率的二维Volterra模型的全局分析

文[1,231-232]、[2]、[3,279-280]提出具有常数收获(存放)率的二维 Volterra 模型:(dx)/(dt)=x(a_(10) a_(11)x a_(12)y)-h=P(x,y)(E)(dy)/(dt)=y(a_(20) a_(21)x a_(22)y)-h=Q(x,y)文[1,29-231)(a_(22)=0)、[4](k=0,h>0)、[5],[6]、[7]等讨论了(E)为不同情况时的定性性质.本文讨论了(E)为捕食与被捕食关系(h,k≠0)时的全局性质,得到了如下的结果:系统(E)具有常数收获率时,当h<(a_(10))/(4a_(11)),(g_1~2-4a_(22)k)~(1/2)0,k_1,k_2分别为平衡点处等倾线P(x,y)=0,Q(x,y)=0的斜率,((2k_2-k_1)k_2)>0)时,四个平衡点(若存在的话)中两个相对的平衡点是鞍点,另两个平衡点一个是稳定结点,另一个不稳定的结点,此时不存在极限环,渐近稳定的区域为趋向于鞍点的两个相对鞍点的分界线所夹的角域。系统(E)具有常数存放率时唯一的正平衡点是全面渐近稳定的。并通过无限远点的分析相应的作出了轨线的全面结构图。     

椭圆Diophantine方程(x+p)(x2+p2)=y2的本原解

设p是素数.在此给出了方程(x+p)(x2+p2)=y2有适合gcd(x,y)=1且y为奇数的正整数解(x,y)的充要条件.     

负数无对数吗?

负数无对数是在实数范围内而说的,而在复数范围内负数是有对数的,下面就简述一下复数的对数,并以e为底说明之。先从指数谈起: 一、复数指数: 1.定义:若z=x+yi为任意复数。(其中x,y为任意实数)则e是用下式规定的: e~z=e~(x+yi)=e~x(cosy+isiny) 例:e~(7+2i)=e~7(cos2+isin2) e~(4-3i)=e~4[(cos(-3)+isin(-3)]=e~4(cos3-isin3)。 2.性质: ①上述规定是实数指数的自然推广。因为当y=0时,有e~z=e~(x+0)=e~x(cos0+isin0)=e~x。     

应用初等方法讨论曲线的对称性

本文讨论曲线的中心对称和轴对称。曲线F(x,y)=0就是坐标满足方程F(x,y)=0的点的集合,因此研究曲线F(x,y)=0的对称性,首先要讨论点的对称性。根据点的中心对称和轴对称的定义,容易建立以下定理。定理1 设已知点P(x,y),则它(1)关于y 轴的对称点为P_1(x,y);(2)关于x 轴的对称点为P_2(x,y);(3)关于直线y=x 的对称点为P_3(y,x);(4)关于直线y=-x 的对称点为P_4(-y,-x);     

正则Fuzzy数

<正> 定义1 设a∈F(R)(R为实数全体),如果对Aλ∈(0,1),a_λ={x|μ_a(x)≥λ}是一闭区间,且a_1={x|μ_a(x)=1}是单点集,则称a为正则Fuzzy数。 定义2 设a是一正则Fuzzy数, (1)如果suppa={x|μ_a(x)>0}R~+,则称a为正的正则Fuzzy数。 (2)如果suppa={x|μ_a(x)>0}R~-,侧称a为负的正则Fuzzy数。 本文规定,对任一正则Fuzzy数a,都有μ_a(a)=1。     

关于数论函数σ(n)的一个注记

对于两个不相同的正整数m和n,如果满足σ(m)=σ(n)=m+n,则称之为一对亲和数,这里σ(n)=∑d|nd。本文给出了f(x,y)=x2x+y2x(x>y≥1,gcd(x,y)=1),当x,y同为奇数时,f(x,y)和f(x2,y)不与任何正整数构成亲和数对的结论。     

关于Diophantine方程xp—2p=pDy2

设P是奇素数,D是无平方因子正整数.本文证明了:当P＞3时,如果D不能被P或2kp+1之形素数整除,则方程xp-2p=pDy2没有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y).     

满足f(x,d(x))=0的素环的导子d等于零的条件

设 R 是一个中心为 C 并且特征不等于2的素环,d 是 R 的一个导子,N 是 R 的一个非零理想,令 P 为 R 的一个导子,N 是 R 的一个非零理想,令 P 为 R的特征,Z 表示整数环,H=Z 或 C。设 f(x,y)=a_1x~2 a_2y~2 a_3xy a_4yx a_5x a_6y a_7,其中 a_1∈H。本文将证明下列结果:假设 R 至少存在一个非零导子 d_o,H=C(或 Z),那么 f(x,d(x))=0(x∈N)蕴含 d=0的充要条件为 a_1=a_7=0(或 p|a_1,p|a_7),a_2,a_3,a_4,a_5和 a_6不全为零(或 a_2,a_3,a_4,a_5和 a_6不全被 p 整除);并且当 R 是交换环时,如果 a_2=a_5=a_6=0(或 p|a_2,p|a_5,p|a_6),则 a_3 a_4≠0(或 pa_3 a_4)。     

关于变系数线性方程组零解的稳定性的某些反例的构造方法

考察线性常微分方程组 X=a_(11)(t)x+a_(12)(t)y,y=a_(21)(t)X+a_(22)(t)y。设a_(11)+a_(22)=p=常数,a_(11)a_(22)-a_(12)a_(21)=q=常数,本文首先在上述方程的一个特解x=ψ_1(t),y=ψ_2(t)的条件下,给出了系数a_(ij)(i,j=1,2)的公式和求通解的公式。其次,利用这些结果,给出了构造某些方程组的简便方法,这些方程组可以说明具有变系数的线性组的零解的稳定性质不依赖于方程组的特征方程的根,文内特别讨论了构造具有有界系数的方程组的方法.     

两点边值问题的双向迭加法

考虑二阶线性常微分方程的两点边值问题: Lu=f(x),a≤x≤b (1) (I){ a_1u′(a)+a_2u(a)=α,b_1u′(b)+b_2u(b)=β (2) (a_1~2+a_2~2≠0,b_1~2+b_2~2≠0)不失一般性,算子L可看作 Lu=u″(x)-q(x)u(x) (3) 众所周知,方程(1)的通解具有如下迭加结构: u(x)=c_1u_1(x)+c_2u_2(x)+u_f(x) (4)其中u_1,u_2为对应(1)的齐次方程     

非正规边值条件下的二阶非自伴边值问题

(一)常型的二阶边值问题(E)y″ q(x)y=-λy U_1y=a_(11)y(0) a_(12)y′(0) a_(13)y(1) a_(14)y′(1)=0 U_2y=a_(21)y(0) a_(22)y′(0) a_(23)y(1) a_(24)y′(1)=0 q(x)∈c[0,1]常分为自伴与非自伴二类,在自伴情形(即当 q(x)为实值函数且 U_1y、U_2y 为自伴边值条件时),系一古典问题,此时(E)恒有可数个实的单重特征值,且其特征展开式的收敛性质与它的富氏展开式是同等的。至于(E)在非自伴情形(即当 q(x)是复值函数,U_1y、U_2y 系一般边值条件时),其特征值分布状况及其特征展开式的性质,亦已有所讨论(关于更高阶的一     

具有密度制约的一类微分生态系统的定性分析

本文研究捕食者——食饵种群相互作用中的微分生态系统其中参数α、b、γ_1、γ_2、d、F、λ人均为正数.x、y分别表示食饵种群与捕食者种群的密度,F示表食饵种群的存放率.p(x、y)与Q(x、y)均定义在区域R={(x,y)|x>0,y>0}或R~*={(x、y)|x≥0,y≥0}上.1 无闭轨线存在的充分条件水平等倾线Q(x,y)=0,即x=x~*=(d/r_2)~(1/λ),y=0(x轴).铅直等倾线P(x,y)=0,即y=1/(γ_1x~λ)(αx-bx~2+F),它有两个极值点