满足方程xy-yx=(xy-yx)~nz的环的结构

借助于某种换位子等式,给出SZC环的定义,研究SZC环的一些性质.主要证明了如下结果:①SZC环是CN环和ZC环;②R为强正则环当且仅当R为SZC环和正则环;③设R为SZC环且C(R)≠R,若R为素环,则R为交换环;④R为Abel环当且仅当对任意e∈E(R),任意x∈R,存在n=n(e,x)>1,z=ze,x∈R,使得ex-xe=(ex-xe)nz;⑤R为CN环当且仅当对任意x∈N(R),任意y∈R,存在n=n(x,y)>1,z=zx,y∈N(R),使得xy-yx=(xy-yx)nz.     

GWCN环的一些研究

本文主要讨论了GWCN环的若干性质以及它与一些特殊环的关系,研究了GWCN环的强正则性,证明了:若R是有Abelian极大左理想的GWCN环,那么下列条件等价:(1)R是强正则环;(2)R为左GP-V’-环,且R的极大本质左理想均为广义弱理想;(3)R是左GP-V’-环,且R的极大本质右理想均为广义弱理想.     

AP-内射环与连续环

主要研究了AP-内射环成为连续环的条件.在AP-内射环满足C2条件的基础上,结合Baer环、duo环、半完全环、MI环等,探索了何时AP-内射环也满足C1条件,从而成为连续环,得到了一些相关结果:(1)设R是左AP-内射、左duo环,若R又是局部Baer环,则R是左连续环;(2)设R=i∈IRi是左AP-内射环,其中Ri是一致左理想,若R是Baer环且左duo,则R是左连续环;(3)设R是左AP-内射、左duo环,若R又是半完全的Baer环,则R是左连续环;(4)设R是左AP-内射环,RR是弱内射的,则R是左连续环;(5)设R是左AP-内射、左MI环,则R是左连续环.     

NCI环的多项式环未必是NCI环

环R指的是结合环但未必含有单位元.环R称为NCI环如果当它的幂零元集合N(R)≠0时那么N(R)包含R的一个非零理想.主要研究有关NCI环的性质,证明了存在NCI环R但是R的多项式环R[x]非NCI环,这否定地回答了S.U.Hwang 等人(Bull.Korean Math.Soc.44(2007), No.2) 的一个公开问题.进一步证明了如果环R的多项式环R[x]是NCI环则R是NCI环.此外还证明了存在NCI环但它的幂级数环不是NCI环,而如果环R的幂级数环为R[[x]]是NCI环那么R是NCI环.最后证明了如果环R存在非零的局部幂零理想I那么R的全矩阵环Mn(R)是NCI环.     

强自反环

设R为一个环,如果对任意a,b,c∈R,aRbRc=0蕴涵aRcRb=0,则称R为强自反环.给出强自反环的一些性质,利用强自反环给出对称环的一个刻画.证明了如下结果:①R是symmetric环当且仅当R是强自反环和IFP环;②半素环是强自反环,但反之不成立;③R是强自反环当且仅当对任意a1,a2,…,an∈R(n≥3),a1Ra2Ra3…Ran=0蕴涵ai1Rai2Rai3…Rain=0,其中i1i2i3…in是1,2,3,…,n的任意一种排列;④设R为quasi-Abel环,x∈R为exchange元,则x为clean元.     

中整环的构造

若结合环R对其任一真理想I,R/I恒为整环,则称R为中整环,本文给出了一些中整环的构造定理,从而基本上解决并推广了文〔1〕中提出的中整环结构问题。     

相对半遗传环与半遗传环

用余平坦模和M-半遗传环刻画了半遗传环,得到:R是半遗传环,当且仅当E(R)的商是余平坦模,当且仅当R是R-半遗传环,当且仅当每个模的任意两个同构内射子模的和是余平坦模.还用余平坦模刻画了QF-环和正则环,证明了:R为QF-环,当且仅当余平坦模是投射模,当且仅当投射模是余平坦模且R是Noether环;R为正则环当且仅当R的每个循环左理想余平坦.     

弱角环

设尺为一个环,e2=e∈R.若对于左R-模Re的每个子模N,有ReN=N,则称R的子环eRe为弱角环,e是弱角幂等元.证明了如下结果:①若R为左MC2环,则弱角环eRe也是左MC2环;②若R为左min-abel环,则弱角环eRe也是左min-abel环;③若R为左mininjective环,则弱角环eRe也是左minin jective环;④若R为左universally mininjective环,则弱角环eRe也是左universally mininjective环.     

J#-Uc-clean环与强J#-Uc-clean环

设R是一个环,如果U(R)=U_c(R)+J^#(R),则称R是GU_cJ环;如果对于任意a∈R,都存在g∈U_c(R),p²=p∈R,d∈J^#(R)使得ag=p+d(且ap=pa),则称R是(强)J^#-U_c-clean环。GU_cJ环和J^#-U_c-clean环分别是GUJ环和GJ-clean环的真推广。文章研究了GU_cJ环的基本性质,证明了R是GU_cJ环当且仅当R/J是U_cU环且U_c(R/J)=(U_c(R)+J)/J,R是U_cJ环当且仅当R是GU_cJ环且R/J是reduced的。此外,给出了(强)J^#-U_c-clean环的例子,得到了(强)J^#     

DI—环

Boyle·A·K在文献[4]中分别研究了QI—环(假如每个quas(?)-injective R—模都是内射模)和V—环(假如每个单纯R—模都是内射模).本文定义并研究了DI—环,即:假如每个可除R—环都是内射模.得到: (1) 可换环R是DI—环的充要条件是R为HN—环(Hereditary Noether—环) (2) DI—环R的构造为R是阿丁环与质环的直和. (3) DI—环R的一些其它性质.