高斯思想在初等数学中的渗透

通过高斯思想在初等数学的代数、三角等方面的渗透，从而启迪学生的思维，培养学生的能力。     

等比等差数列

本文利用取整符号并结合初等方法给出了等比等差数列的定义、通项公式及前ｎ项和的公式。     

两种类型级数前n项和公式的一种简捷推导法

以等差，等比数列有序ｋ项乘积或乘积的倒数为通项的级数是二类重要的级数，其前ｎ项和公式推导，一般高等数学书中总是回避。本文利用该类型级数的通项构造一个整标函和相邻项的差与级数的通项相比较的方法，可快速准确地推导出前ｎ项和公式。     

关于John Beebee的一个问题

回答了John Beebee关于不相交同余覆盖的一个问题。     

等差分拆的三个基本问题

本文讨论了正整数的等差分拆问题，给出了正整数n可以表为三项或三项以上的正整数等差数列的和的充要条件和不同和式的种数公式，以及表n为三项或三项以上的正整项等差数列的和的一种具体方法。     

r阶等差数列的通项及求和

本文主要介绍用两种方法求每阶等差数列的通项,以及导出r阶等差数列的求和法则。     

两类与等差数列有关的组合恒等式

巧妙地构造出一个多项式,利用著名的Lagrange插值公式和L′Hospital法则,得到了两类与等差数列有关的新颖而深刻的组合恒等式.     

高阶等差数列的前n项求和

对高阶等差数列前n项和的求法，为了与本文提出的方法进行比较。首先，简要介绍了三种主要的求和方法。然后，根据高阶等差数列通项的特性，利用新定义的形式导数列对其进行了有效的探讨。成功地得到了一种比较简捷的求和方法。     

n阶等差数列的隐蔽公差

摘要 等差是等差数列最核心的本质特征。高阶等差数列（或称n阶等差数列）是等差数列的普遍形式,一阶等差数列是n阶等差数列当n=1时的特例。研究表明,高阶等差数列的差分性质在经济计量领域有明确的体现。例如,单整序列数据I(n)的差分性质即与n阶等差数列密切相关。遗憾的是,以往所见关于等差数列的讨论,大多围绕其一阶情况展开。有些常见的关于等差数列的定义也仅仅适用于一阶条件的假定,不能确切描述等差数列的高阶（二阶及以上）情况。为了适应经济计量研究与实践的发展,有必要重新研讨关于等差数列术语的定义问题。本文尝试提出高阶等差数列“隐蔽公差”的概念,同时给出n阶等差数列的形式表达以及n阶等差数列公差与其相对应一阶等差数列公差的换算关系式D=dⁿn！,其目的在于放宽约束条件,给出能够涵盖n阶等差数列情况、具有普适性的术语定义。高阶等差数列的差分性质在经济计量领域有明确的体现。例如,单整序列数据I(n)的差分性质即与n阶等差数列密切相关。对于单整序列数据来说,即使原变量数列不服从正态分布,经过数次差分之后也会“剔除掉某种固有的规律”而使数列趋于正态分布。事实上,差分剔除掉的这种“固有的规律性”即是n阶等差数列的主要成分,而所谓“经过数次差分”的次数,就是高阶等差数列的阶次n^[1]。一、关于等差数列术语的定义和描述以往关于等差数列的讨论,大多围绕其一阶情况展开。目前常见的关于等差数列的定义(例如《辞海》乃至《数学辞海》当中的解释)也仅仅适用于一阶条件的假定,不能涵盖等差数列的高阶(二阶以上)情况。为了适应经济计量研究与实践的发展,有必要重新提起关于“等差数列”术语的定义问题。本文提出关于等差数列的一个术语：隐蔽公差,并以此为线索展开讨论。本文讨论的数列,仅限于单调递增的正整数序列。作为这些讨论的背景,首先需要了解什么是“等差数列”,以及“n阶等差数列”。顾名思义,等差数列应该是数列的一种。那么什么是数列呢？数列(定义1.0)：序贯之数,谓之数列。一组数按第一个、第二个等等排下去就成为数列。其中第一数称为第一项,第二数称为第二项等等。当项数是有限时称为“有限数列”,否则称为“无限数列”。例如,1,10,100,1000,10 000,...和-1/2,-1/3,-1/4,...都是无限数列。经济研究当中涉及的数列大多是有限数列,但若以经济发展的延续论,这些数列则将体现出无限数列的性质。等差数列(定义1.1^*)：据《辞海》,若有数列从第二项开始,每一项与前一项的差均为常数d,则称该数列为“等差数列”,d,称为“公差”,等差数列的一般形式可以写成a,a+d,...,a+nd,...的形式。任一等差数列的前n项的和为n(首项＋末项)/2。例如,自然数列1,2,...,n,...是等差数列,它的前n项之和为n(n+1)/2。显然,所谓“等差数列”的“等差”,就表现在它们具有常数公差d,通常讨论的等差数列为按照从小到大顺序排列的整数序列,故d为大于0的整数。公差(定义1.1.1^*)：根据《辞海》和《数学辞海》^[2]的解释,在以“等差数列”为背景的讨论中,“公差”指的是“等差数列中相邻两项的差”。但是严格说来,这个定义不确切,或者说是不完全的。事实上,等差数列是有阶次的,例如数列1,2,3,4,5,6,...是一阶等差数列,其公差等于(2-1)=(3-2)=(4-3)=...=1;将一阶等差数列中的各个元素平方,则得到1,4,9,16,25,36,...,这是一个二阶等差数列。服从术语层次概念,二阶等差数列当然也是等差数列。但是(4-1)=3,(9-4)=5,(16-9)=7,(25-16)=9,(36-15)=11,...,也就是说,这个数列“相邻两项的差”不相等。这与前文所引“等差数列(定义1.1^*)”存在冲突。在严格的意义上,对“公差”这个术语来说,应该是“一阶公差”的简称,其确切的定义表达应该是：(定义1.1.1)“一阶等差数列中相邻两项的差”。二、隐蔽公差和N阶等差数列的形式表达同样,上述所引工具书中关于“等差数列”的定义,实际上也是仅仅针对“一阶等差数列”而言。在高阶情况下,即当n大于1时,等差数列前n项之和的计算公式与一阶情况下的计算方法有所不同。如果按照前述所引关于“等差数列”的定义(定义1.1^*),则相当于拒绝承认“高阶等差数列”是“等差数列”,因为根据高阶(二阶以上)等差数列的直观表现,其相邻两项的差并不相等。但是,二阶等差数列经过一次“差分”运算,即以数列的后项减去前面一项,可以得到一个一阶等差数列,这个一阶等差数列具有常数公差。我们称这个“公差”为二阶等差数列的“隐蔽公差”。以最常见的自然数列为例,该数列是具有公差d=1的一阶等差数列,记作{A¹(d)},其中d=1,紧随字母A之后的上标数字表示该数列的阶次。对应地,将该数列中各项元素分别做平方运算,则构成一个二阶等差数列,{A²(D)}。定义D为这个数列的“公差”。如是,则分别有：{A¹(d)}=1,2,3,4,5,6,7,8,9,… (1.1){A²(D)}=1²,2²,3²,4²,5²,6²,7²,8²,9²,… =1,4,9,16,25,36,49,64,81,… (1.2)数列{A²(D)}没有明显可见的“公差”。但若对其施行一次差分,则得到：{A^2-1(D)}=3,5,7,9,11,13,15,17,… (1.3)这是一个一阶等差数列,其公差等于2。对于这个经过一次差分得到的新数列,我们将其记作{A^2-1(D)},其中紧随字母A之后的上标算式(2-1)表示对二阶等差数列进行了一次差分。观察{A^2-1(D)},显然D=2,这就是高阶等差数列的“公差”,虽然这个公差不能从高阶等差数列的原始形态中直接观察得到,但它却是肯定存在的,由此我们称其为“隐蔽公差”。高阶等差数列具有数值确定的“隐蔽公差”。若非如此,便不能称呼这个数列为“等差数列”。仿照上述方法,继续再对{A^2-1(D)}进行一次差分,则可以得到{A^2-2(D)},这是一个所有元素都等于D=2的0阶“等差数列”。可以把这种情况看作是n阶等差数列的特例。对于{A^2-3(D)}而言,数列当中所有元素皆为0,是更为极端的特例。不失一般性,我们给出关于“隐蔽公差”的定义以及适合所有阶次等差数列的形式表达。隐蔽公差(定义1.1.2)：在等差数列中,需要经过一次以上差分运算才能观察得到的高阶等差数列的公差称为“隐蔽公差”,记作D。高阶等差数列具有数值确定的隐蔽公差。等差数列的形式表达(定义1.1.3)：对于阶次为N,公差为G的等差数列A,记作{A^N(G)},其中上标N可以是数字、算式或字母符号;G是等差数列的广义公差。高阶(二阶以上)等差数列的隐蔽公差D和一阶等差数列的公差d(可以对称为显见公差)统称为等差数列的广义公差。三、 等差数列与算术级数的概念比较为了继续以下的讨论,需要简单回顾关于初等级数当中算术级数的概念并与等差数列的概念加以对照^[1]。一般来说,初等级数包括算术级数(也称等差级数)和几何级数(也称等比级数)。所谓等差数列,是一组数据按照一定(等差)规律依次排列的形式。这种形式类似于数学定义的等差级数,亦即算术级数,但是数列与级数二者所关心的具体侧面有所不同。数学定义的等差级数系指一和,即数列当中所有相关数项的加总值,而关于等差数列的研究似乎更关注数列各元素之间的关系,甚至不同阶次数列间数据变换的内在联系。如果考虑等差数列“前n项的和”,则与算术级数的关注点近似相同。通常意义上数列研究的对象是确切的数量关系,而不考虑随机变量的影响。经济计量学研究涉及的数据序列则表现为常规等差数列与随机变量的叠加,甚至等差数列的公差也可能存在随机扰动。例如,从1到100的自然数的和是一阶算术级数,其首项a=1,末项z=100,公差d=1,这个算术级数的值S=1+2+…+100=5050。显然,自然数构成公差为d=1的等差数列。相对应的,所有自然数的平方构成另一数列,这个数列的元素分别为1²,2²,3²,4²,5²,…,即1,4,9,16,25,…,我们称其为2阶等差数列。同理,所有自然数的立方构成另一高阶等差数列,这个数列的元素分别为1³,2³,3³,4³,5³,…,即1,8,27,64,125,…,我们称其为3阶等差数列。余此类推。等差数列的元素中可以含有截距因素。为简化起见,在本文的讨论中假定各数列元素的截距为0。记一阶等差数列为{A¹(d)},d>0,其中包含数列元素a_i,i=1,2,3,…,I。记2阶等差数列为{A²(D)},D>0,其中包含数列元素,i=1,2,3,…,I。记3阶等差数列为{A³(D)},D>0,其中包含数列元素,i=1,2,3,…,I。一般地,记n阶等差数列为{Aⁿ(D)},D>0,其中包含数列元素,i=1,2,3,…,I。在这些记述中,D均为隐蔽公差,需要通过对数列内各相邻元素进行n-1次差分后得到。在n次及n次以上的差分过程中,各次所得之差均为0。四、隐蔽公差与对应一阶等差数列公差的关系高阶等差数列(或n阶等差数列)是等差数列的普遍形式,一阶等差数列是n阶等差数列当n=1时的特例。一阶等差数列具有常数公差d。对n阶等差数列而言,各相邻项的差乍看起来并不相等,只在第n-1次差分(后项减去前项)时才是常数。定义这个常数为n阶等差数列的公差,记作D。由于n阶等差数列的公差D不能从原数列中直接观察得出,故称其为隐蔽公差。高阶等差数列之“等差”即源于此。高阶等差数列的公差虽然“隐蔽”却是“确定的”。对n阶等差数列进行差分,其过程产生的结果即为n-1阶数列。称为“对等差数列的降阶运算”。按照上述定义,一阶等差数列记作{A¹(d)} 。当公差d=0时,{A¹(d)}退化成为{A⁰(0)},即所有元素相等的0阶数列。如果对应于数列{A⁰(0)}当中的每一元素a_i=a分别加上随机误差项ε_t,则数列可表为截距水平在a的随机过程。这是一个I(0)即0阶单整过程。如前所述,对于{A¹(d)},d>0,若取数列当中各元素a_i(a_i=a_i-1+d)之平方构成另一数列,即可得到一个2阶等差数列。记作{A²(D)}。陈列{A²(D)}可知,直观上这个数列已经不再是等差数列。即a_i-a_i-1≠a_i+1-a_i。但是,对{A²(D)}进行一次差分得到的新数列{A^2-1(D)},则是公差为D的1阶等差数列。n阶等差数列的隐蔽公差D是与其相对应的一阶等差数列公差d和数列阶次n的函数,即D=f(d,n)。此时满足关系D=dⁿn！。其中：D为n阶等差数列的公差(当n>1时即为隐蔽公差);d是与该n阶等差数列相对应的一阶等差数列的公差^[4]。按照这个公式可以求出,对应于自然数列(公差d=1)的2阶等差数列和3阶等差数列的隐蔽公差D分别是D=1²2！=2和D=1³3！=6。同理,对应于公差d=2的数列(例如奇数数列或偶数数列)的2阶等差数列和3阶等差数列的隐蔽公差分别是D=2²2！=8和D=2³3！=48。总之,“等差”是等差数列最核心的本质特征。所谓等差数列,必有“等差”存在。对阶次n>1的等差数列而言,非经运算不能见其等差。因此,在高阶情况下,数列之等差是隐蔽行为。阶次越高,其公差隐蔽越深。另一方面,这个公差虽则隐蔽,却有明确的数值,并与与其相对应的一阶等差数列公差存在有稳定的换算关系。人们把“高阶算术数列”称为“高阶等差数列”,即是对其本质特征的宣言。