浅谈计算方法课程的教学改革与实践

计算方法是一门与计算机应用紧密结合、实用性很强的数学课程,在科学研究与工程设计中发挥着越来越大的作用.本文将笔者对计算方法课程多年的教学改革与实践经验做简要的总结,并介绍在课堂教学、上机实习、教材建设等方面的一些做法和经验.     

关于多元函数极限与连续性定义的探讨

多元函数的极限、连续以及间断,是数学分析中最基本的概念。然而,到目前为止国内流行的教材中对这些概念还没有统一的定义。为此,本文探讨了以上几个概念,并提出了合理的定义,特别是给出了二元函数间断点的合理定义。     

解电报方程的高精度差分法

设计出解电报方程的高精度绝对稳定的三层隐式差分格式，其截断误差阶为O(J2+J2h2+h4)．     

解二阶微分方程的Runge-Kutta-Nystrom方法的正则性

研究Runge-Kutta-Nystrom方法平衡点与二阶常微分方程系统平衡态一致的条件,该方法称为正则的.给出了一些推断正则性和强正则性的准则并给出一个例子.     

关于RLW方程的初始值和周期边界值问题的精细时程积分法

对于RLW方程初始值与周期边界值问题,提出局部截断误差阶为O(△x4)的精细时程积分法.由于这种方法是半解析方法,在时间域上可以精确计算,所以本方法不仅精确度高,而且还绝对稳定.数值算例进一步表明,精细积分法对大的时间步长(例如△t=10)和长时间计算(例如1万步)均有效,因此是一种很实用的方法.     

解二维波动方程的一类有限差分并行算法

对于二维波动方程初边值问题,提出了一种新的求解思想,利用斜向隐式差分格式和边界条件,巧妙地设计出一类显式计算的并行算法。这种思想也可用于求解其它方程的二维初边值问题。文末的数值算例表明,本方法具有良好的实用性。     

解中立型时滞抛物方程的隐式差分格式

构造了求解中立型时滞抛物方程的一个隐式差分格式,该格式在离散L2范数意义下是无条件稳定的,局部截断误差阶为O(Δt²+Δx²)。该格式在每一个时间层上可以化为三对角线性方程组,用追赶法很容易求解。数值算例表明该差分格式是有效的。     

时间分数阶扩散方程的三次样条差分格式

提出求解时间分数阶扩散方程的三次样条差分格式,证明该格式是无条件稳定的,其局部截断误差阶为O(Δt+Δx2)。该分数阶扩散方程是将一般的扩散方程中的时间一阶导数用α(0<α<1)阶导数代替所得到的。数值算例表明三次样条差分格式是有效的。     

时间分数阶色散方程的有限差分方法

提出求解时间分数阶色散方程的一类隐式差分格式,并证明其无条件稳定性和收敛性,收敛阶为O(τ+h2).该分数阶色散方程是将一般的色散方程中的时间一阶导数用α(0＜α＜1)阶导数代替所得到的.数值算例表明本方法是有效的.