形变映射法及在一类MKdV方程中的求解应用研究

形变映射法是求解非线性发展方程的一种有效方法,借助于计算机代数几何系统,得到了一类非线性波动方程与非线性Klein-Gordon(NKG)方程特殊类型解之间的代数映射关系,由此给出方程的许多显示精确解。并且由这些解再次映射出了一类MKdV方程的行波解,在物理学的研究方面具有重要的指导意义。     

用形变映射法求KdV方程的显式精确行波解

利用形变映射法建立KdV方程与非线性Klein-Gordon(NKG)方程的一类特殊类型解的代数变换关系.根据NKG方程的已知解,获得KdV方程系统丰富的显式精确行波解,包括孤波解、周期波解,Jacobi椭圆函数解.     

带有导数项非线性Schrodinger方程行波解的存在性

研究了一类带有一阶导数摄动项的非线性Schrodinger方程行波解的性质,利用Lyapunov-Schmidt方法及压缩映射原理,证明了非线性Schrodinger方程行波解的存在性和集中性质,即相当于Planck常数的摄动参数趋于零时,证明了该非线性Schrodinger方程的行波解的存在性,且这些解集中在其势函数的非退化临界点处.     

一类超弹性杆波动方程行波解的研究

讨论了一类新型的弹性杆波动方程(即非线性超弹性杆波动方程)的行波解.根据零点因子定理利用行波法把非线性超弹性杆波动方程转化成常微分方程形式并得到此类方程解的对称及反对称的性质.通过讨论方程的极限零点与非极限零点和方程解的正负变化得到非线性超弹性杆波动方程行波解存在的唯一充分条件.     

带有导数项非线性Schrdinger方程行波解的存在性

研究了一类带有一阶导数摄动项的非线性Schrdinger方程行波解的性质,利用Lyapunov-Schmidt方法及压缩映射原理,证明了非线性Schrdinger方程行波解的存在性和集中性质,即相当于Planck常数的摄动参数趋于零时,证明了该非线性Schrdinger方程的行波解的存在性,且这些解集中在其势函数的非退化临界点处.     

修正的Camassa-Holm及Degasperis-Procesi方程的精确解

运用扩展的双曲函数方法,借助计算机代数系统Mathematica or Maple 10,求出了修正的Camassa-Holm及Degasperis-Procesi方程的精确孤子解和精确行波解,其中有一些新的精确孤子解和行波解.这种方法也适用于求解其它非线性波方程.     

形变映射法求非线性薛定谔方程的显示精确行波解

利用形变映射法,建立NLS方程与Klein-Gordon(NKG)非线性方程的一类特殊类型解的代数变换关系,根据NKG方程的已知解,获得NLS方程系统丰富的显式精确行波解,包括孤波解,周期波解,雅可比椭圆函数解.     

广义Burgers-Fisher方程的精确孤立波解

利用双曲函数方法，求解了一类非线性波动方程的精确行波解，得到了若干其他方法不曾给出的新精确解。这种方法的基本原理是利用非线性波方程孤立波解的局部特点，将方程的孤立波解表示为双曲函数的多项式，从而将非线性波动方程的求解问题转化为非线性代数方程组的求解问题。     

应用首次积分法求解非线性波动方程

利用首次积分法求解一类非线性波动方程的行波解, 得到了行波解的精确表达式. 数值算例表明, 对于同类的双曲型发展方程, 该方法仍然有效.     

一类非线性发展方程行波解的不稳定性

利用tanh函数与计算机代数,可以找到许多具有实际背景的非线性发展方程精确行波解的存在性,但对它们稳定性的研究,目前还很少见.利用谱分析与半群理论的方法,对一类描述浅水波在对流中运动的非线性发展方程,就其行波解的非线性不稳定性进行详细的讨论,并得到其行波解在H2(R)扰动下的非线性不稳定性.     

形变映射法求Hamilton方程的行波解

利用形变映射法,建立Ham ilton方程与K le in-Gordon(NKG)非线性方程的一类特殊类型解的代数变换关系,根据NKG方程的已知解,获得Ham ilton方程系统丰富的显式精确行波解,包括孤波解,周期波解,雅可比椭圆函数解.     

含任意次非线性项变系数长短波相互作用方程组的精确解

利用二次线性微分方程的解,构造了一个高次辅助方程的精确解,借助于该高次辅助方程,研究了含任意次非线性项变系数长短波相互作用方程组,求出了其双曲函数、三角函数及有理函数精确解。     

广义哈密顿振幅方程的精确解

借助于齐次平衡原则和一高次辅助方程,研究了广义哈密顿振幅方程,求出了该方程的双曲函数、三角函数及代数形式的精确解。     

积分微分KP层次方程的精确行波解

对KP层次方程进行积分变换和行波变换得到常微分方程,利用扩展试验方程法把求解常微分方程的问题转化为求解代数方程组的问题,根据不同情况得到了KP层次方程的钟状解、三角函数解、双曲函数解和椭圆函数解的精确表达式,这些解的显示表达式是首次求出的.这种方法对于求解非线性偏微分方程十分有效并且能够得到许多新的精确解.     

高阶非线性长短波共振方程的显式精确解

借助于尚亚东最近提出的扩展双曲函数法和精确求解非线性数学物理方程的计算机符号代数软件包"PDESolver",求出了一个描述长短波相互作用效应的高阶非线性方程的丰富的显式精确解,包括多个孤立波解、奇异行波解和三角函数周期波解.     

二维广义色散长波方程的显式行波解

用辅助方程法构建二维广义色散长波方程的精确解.经行波法约化方程,根据领头项分析,给出了这个模型的一个变换,利用非线性立方Klein-Gordon方程的解,获得二维广义色散长波方程丰富的显式行波解(包括孤波解,周期波解,雅可比椭圆函数解和其他精确平面波解).     

改进的截断展开法及其在变系数非线性方程中的应用

本文对截断展开法进行了改进.首先,通过行波变换,将偏微分方程(PDE)转化为常微分方程(ODE).然后,在截断展开中,采用了非线性Riccati方程F′=p qF rF2将复杂的变系数非线性方程转变为一组超定代数方程组.再利用计算软件mathematic求解出代数方程组.从而得到变系数非线性演化方程的精确解.我们将这种方法应用于第一类变系数KdV方程和广义变系数KdV方程,得到了一系列精确解,其中包括一组Weierstrass椭圆函数解.这组解可以表示成Jacobi椭圆函数解,在模数m→1或m→0时这组解又可以分别退化为双曲函数解和三角函数解.