调和数列的n项和

所谓调和数列,就是其倒数成等差数列的数列。我们知道它的最简单情形的n项和有公式:l,二一十j…… 工=c。 l:。 。。其中 l主mn峥 co〔=0,C。是欧拉常数且C。 月一:竺母二(万令一‘二)=。·5772‘566‘’“‘’本文将研究一般的调和数列n项和的公式.设数列1 11可,不,可a,,(l)为调和数列,其中al>0;a。卜z》a二,n二1一2,35则数列a口。=口laZ一口s,’‘’a一,…就成等差数列,设其公差为d=a。*;一a.,并设一d,因此a,二a nd,n=1,2,3,而且a。“ d“子。设P:为调和数列(1)的n项和,即 一,己 一nJ.二一小. 一a 十 。_1上,一一-I- a。 d la。 Zd显…     

复数与三角函数

在复变函数中(如艾里斯歌尔兹著《复变函数与运算微积初步》等),关子指数函数与三角函数的定义如下:。·二1 兰十丝十… 兰 … 1!2!S‘n‘=六一纷之55! (一1)n~一土一一一 (Zn 1)! 。。。cos:二1一丝 丝一 2!4!1,,、·22n.个气一1尹石二一宁’.‘ 乙刀J根据级数理论可推得 ezl·e截=e礼 礼 e‘2二eeez 犷sinz公式(2)称为尤拉公式,于是若!:卜1,则 :二eos夕 isin夕=ei夕(l)(2)万=e。S。一1 5 in。=。一10由此得 fo._一i日厂cos口=一二一竺兰__ 一 ︸︸一万 ︸e一 一一 门口 n、\518一i口(3)由式(1)、理论基础上的。 必须指出:(3)可导出三角…     

关于商高数2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1

已知①商高数2％+l,2n(n+1),2n(n+1)+l在％季0,8(mOd 12)或2n+1含有质因子力季I(rood 8)时;疹 (1)(2祀+1)。+(2竹(铊+1))”=(2犯(记+1)+1)。只有鬈一∥=2=2这一组正整数解. 我们将证明下面的 定理. 除开 + —,.^.,、,(2) n-----O,24,80,104,120,144,200,224(rood 240),(3)而且2彻+】只含有质因子矽三l(rood 16),铊兰48,96,128,176(rood 240), ‘而且2即+1只含有质因子P--1(rood 32)这两种情形外, 。‘√㈣‘_～^-,v_～,、(4) ,(1)式只有茹=Y—z一2这一组正整数解。 ,…帅●……-…J--,州…,’,州.。j蹙孳{譬l‘÷ 。” . ·10、。 +0=¨ …     

和式■及■的计算

引理1设l>1整数,若l一2nl,则田~l 1产、夏、,、,,,八、,。。、、八z少COS‘以~一一下~,万下一I夕七:e0s气l一乙r少皿十t勺丁I 乙一’、,一沪户丫.0成立。若l一Zm+1,则‘AZ)。0 Sla一子二艺C:一(‘一2·,。“0成立,若l二Zm,则(A3)5 in’q=班艺孟〔艺(一1)乃一C:一(‘一Zr〕·+告C;〕r .0成立,若l~Zm号(A‘1,则5 in’a= 12’一l艺‘一1,’‘c/s‘n“一“r’“成立。 证明由三角函数指数定义c。s。一、(一+一及51·。一誉i(··」一当l~Zm J·。5 la一:、(二+一)三1一借二艺C了·‘,目O士e艺+C少旦卜加、,、一e一(l一z‘)“‘ 2于,二+…     

КОММУТАТИВНЫЕ ПОДАЛГЕБРЫ НАИВЫСШЕЙ РАЗМЕРНОСТИ АЛГЕБР Ли. Вn,Cn и Dn

n.班yp(1.Sehur)。1905 r.及aKa3;:,:To RoMM尹缸朋R邸11叭a迎e6PaH“nB班c也e益--------------一,一刀「(怜+12、飞____________p挂谷M匕pliUU1’且d涯1、eUp址月,1—卜找挂p违吕皿七p胜扬社, ‘一‘’L 4J--Ha eT的Roe几田兀。时ToMoP中113,[aa刃e6Px还A,;.B即且,。M Bc二y叹ae怜>2 oHae八nHcTB!- 1944 r.N.Jaeobson从a涯仄Pyroe60江ee nPoeT0e八oKa3缸e汕c几。,n PacTP0e邓alla皿Pe3y江bTaT址IICK皿刃,eHneM Hello皿Horo 110服,XaPaKTePllcTllKa KOToP叮0 PaBHaIllyPa只a皿D6oe no油aa 2. KoMll拙KeHa只A…     

关于Weyl函数的逼近

设甲(x+2二)二甲(x),P)1,甲任L。(一“,二)。当r)0时,称 山L ,d ‘、少兀一Q尸2,,__、1I气x,=_ 艺一ao+E n=1六丁甲(X+t)Cos(nt+ r为由甲所产生的w“yl函数,简记f〔W日H。·,己!!、,}p一(么一丁1甲(入)}dx),,也记{!甲j}p为11甲(x)I}p.令。(甲,t)。=supll甲(x+h)一rp(x) !h}《t (n>1)}Ip,Rn(f,x)=E1】1=n扩、丁兀口~ 口JL、t. rp‘X+t)c0s又mt+一2一)Q〔 叶非莫夫(A.B.E小HM〕B)于193。年证明了〔1〕中第272页上的定理1。本文将其中w勺l函数的定义拓广如上,在Lp(一二,兀)(’P》1)的范数}·}。下考察逼近速度,得到如下的事实: 定理…     

一个无限P—群性质及其推广(续)

定理3·G不可解‘。定理4叫_(G)不幂零。为了证明此定理,先证明引理。弓「理令一一D(尸1 az:〔)1O()OO“12口 la、l‘’·at…0沙!!!之。!|l、 一一 卯l,.t、rl卫矛 扎几 \\a,:二O 2刁一2,幼’D八)为G的正规子群;】i)D(2)为幂零的。证明,_’‘J)显然D(i)为G的于群。现在证明D(2     

有关multiply from k=1 to n(1+x_k)的几个不等式及其推广

设x:、’二二,。“十(正实数集),记‘I、(劣)套告乏二·,口。(·,匀、云下妥二H·(二)丘01垒,:设劣:,…,x:任R、,则〔‘+G·(x,〕·、n(‘+x*,、〔‘+A,(x,〕 k一1当且仅当x:二…=劣:时取“二”号。卜、月少犷证。。,、一。、(二)。·、fi〔,、二;,驾逃,In(,十,、二、k一1买 ,.日,上O刀︸、/:主, r d..k仁1令x*“e“专=~合,产,__,1上n仁1十e孟P气— nf*)〕毛1、屯,,,;1..不乙‘n气上+己(A)当且仅当x:=·一x。即t:=·一t。时取“二” k·1而In(l+。)在(一co,+co以格下凸,根据凸函数基本不等式‘”,不等式(A)成立,从而不等式以十G:(劝〕)…     

关于MORDELL定理的改进

设多项式F袱二)二买一尸为素数,Ox,口2,…aN为任意整数,尸矛a、,若l为F,(劣)(,od,)最小的正的剩余,Mordell〔1〕证明 l相似文献   

关于Goldbach问题

令r(N)二logPi logP:(1N=习P: 九这里N为偶数,P:,P:为素数,Gold西ach猜想就是要证明当N》4时恒有 了(N)>0(2) 在本世纪廿年代英国数学家Hard夕及Little势ood利用他们所创造的“园法”提出了下面更强的猜想n|A了(N)~ZN且(P>2\1一 1(P一1)么 /二1、,,[l —.ZV\P一2/,2(3)此处N为大偶数. 本文的目的是要从另一个途径来研究Gold白ach猜想,主要结果如下: 定理.设N为大偶数,A二订N 109一”N, e.=习产(d)logd ‘}” d>A则犷(N)=ZN nP>2__1____、IJ(P一1)“/PI P> 了二1N气二宁)二.厄2) R这里R==习效(,)a;一。 0(Nlog一,N) 称成N…     

猜想σ(ф(n))/n≥1/2

本文证明了当k≤7,a1＞a2＞…＞ak＞1,且ai 1(i=1,2,…,k)是素数时,σ∏ki=1ai≥∏ki=1(ai 1)成立,进而证明了当n素因子个数不超过7时,猜想σ((n))/n≥1/2成立.     

星形函数的开始多项式

1.引言,记s*={厂左(·卜· 名a纬21二‘。 ’在}z,相似文献   

SINE—GORDON方程的迭加公式

在应用sine一Gordon方程 中x。=5 in小(1)的B aeklund变换厂工2(小一小)x- 1asln舀.L中+中。 ‘)(2 .1)韶‘+小。’七-(小一小。)(2 .2)i一2 n Slla!昭1 .1、第一期 S INE--GORDON方程的迭加公式 35时,一般会迂到Riccati方程。为了消除这一困难,本文引入辅助方程组学李肠山东矿业学院学报19合专年年于是,(1)有迭加公式 小=小1+连aretgu 取小。一0,(3 .1)为(5)合(小1)·一‘n晋一2一in誓。。S小14’(t:免,)x一。t:华, 任任二一小,__,‘、_一axL丛一万-一‘1、L,‘ 任‘卜1=4 arct、c;(t)e同样,(3.2)有解 t小1=4 arctgc:(x)e“。取el(…     

关于某些公式的作图

在这篇短文中, a乙e劣二石不品诬不万我俩研究公式: 11_1=一十二一十一 a OC的雨种筒便作圆法。 这个公式在各种阴题中常会碰得着。除了这个公式的作国而外,还能够得到公式:△MBP的面积=警s,noo。·△BPN的面积一警s,n60。·警。in印。二争;n60。+替s‘n“。·,1一x或ab二公x+bx aba+b-一二些一一或生一生一李一生 aoee了C一口C工C OU假如覆者不境得公式s二等就nc,那末可 ‘‘以及别的一些公式的筒便作1颤。为了作找段‘二变换 abcab+ae+be 2S可以先作似提出如下的定理征明: 刃口// BD丈国1);八刃口B是等边的, 自乃对口N~乃PBN,得…     

数论函数方程tφ(n)+φ2(n)=S(SL(nk))的正整数解

设t∈N,n∈Z⁺,其中N和Z⁺分别是所有非负整数集合和所有正整数集合，利用欧拉函数φ(n)、广义欧拉函数φ₂(n)、Smarandache LCM函数SL(n)和Smarandache函数S(n)的性质以及初等数论的方法，得到了方程tφ(n)+φ₂(n)=S(SL(n¹³))只在t=0、1、2、3、4、5、7、10、13、15时有正整数解n及方程tφ(n)+φ₂(n)=S(SL(n¹⁸))只在t=0、1、3、6、7、9、14、18、19时有正整数解n,并给出了这两个方程的所有正整数解n。     

二元Конторович算子的逼近性质

一元函数厂(x)的KoHTopoB。二多项式是、、,;X)一(·+1)艺,‘k(·,Jn“r(t)Jtk.0击其中pnk(x)=c气xk(1一x)一k我们定义两种不同的三角形区域上的二元RO二。p。。。J多项式如下1十k(i)艺2(·+:)2厂万I 兀丁 LI+k,+1——U(f;x,y)=n+f(u,,)dud,月+e k le几2x”,“(z一x一,)一kl一kZ(x,夕)任△,“{(x,岁)】x,万)o,1一x一夕(1}k,+! rwe,一二一一ru一2(n+1,‘J,1’J止kl一kZk‘“(f;x,夕)-艺1产2 f(u,,)dud公n+c:‘c::(1一x)n_卜(x一,)k,一’“,’: (x,夕)任△:={(x.刀)}0(习(x(1}显然k三‘’(1,x,夕)二i,k{:“’(1;x刃)二1本文讨论k;‘’…     

(一)双曲型偏微分方程的混合问题

1.我仍考惫一般的灰曲型方程混合简西〔兑(1〕〕(A)… 竺口‘户_如.,,口、_,分少u.1‘u=‘抢:石八”又人)石十U、入夕u~“L入)石万十“(X)F(1)U!仁T‘「』竺〔口v 口u飞瓦毛T、”u’(2)+aU飞,一。(3〕P(X)夕0此地(1)的定义域为平滑曲面S所包阂成的n推匹域习,而且A .J=A(P)二 ll一系产,,p,p,>“,v代表曲面s蜘“OHo“a”‘06方向,__,-_._』__二_.二二__,,、__。。_,L .au职然对士一版阴边植余汗兀”少找jrjPJ化乙刀丙不二。‘_au即石犷台 tIVAJ,,A IJ 一卜分” _了、、夕‘‘CO日L双,11少爪乏,, Ul,n刃扣~,.。,~,~~~_、,_,,,~~f …     

可见光引发体系中促进剂N,N,3,5—四甲基苯胺的合成研究:1.中间体—3,5—二甲基苯甲酸的合成(简报)

N,N,:,:二四甲基笨胺是可见光引发体系的优良促进剂,根据文献可有两种合成路夕灸: (1)由1,、3,5一三甲基苯出发”:。_,二.,。二二、「O刁。,,、~,_~__,,~了二、~,,_,,,~,,一,~,,、C福H。t(CH。):,其兰妻(CH:);CoH。COoH一(CH。)。C。H。NHZ一C。H3N(CH,);-(卜3瓜一三甲基苯)·(3声一二甲,钱苯甲酸)(3,5一二甲基苯胺)(N,N,3.,斤一四甲基苯胺) (2)由间二甲苯出发浮l:「’ ’NC13一AIC】3C oH;(CH。):‘份一一一一一份(CH3卜C。H。NHZ一一一一一一。CoHoN(C引。)‘(间二甲苯)(3,5一二甲基苯胺)(N,N,3,5一四甲基苯胺) ”近…     

关于数列｛（1＋1／n）^n｝收敛性的证明

为了完成这个证明,我们先建立一个不等式。 设x>0,m是自然数,则 f(x,m)~xm一mx+m一1)0(1) 证明(i)当x=1或m=1时,(1)式等号成立。 (11)假定x护1,m并l f(x,m)一xm一mx+m一1 =xm一l一mx十m =(x一1)(xm一,+xm一2十…+1)一m(x一l) 一(x一1)(xm一‘十xm一“十…十1一m) 显然,无论是O1,均有f(x,m)>0 综合(i)、(11)可知,(1)式成立。下面我们来证数列即要证 1、。Ll十,,~)‘- Il严格增 1、。二1_气1」一--下.万,‘”J‘> fi州卜1 1、,火1,卜—)’(2)(2)式可变形为(哗)·+1>碑土2)· n州卜In(3)(3)式可变形为产nZ+Zn、。、:、七丁.一下…     

公式sum from k=1 to n (k~3)=[n(n+1)/2]~2的几种建立方法

关于自然数组成的级数sum from k=1 to ∞ (k)和自然数平方组成的级数sum from k=1 to ∞ (k~2)的前n项求和公式: S_1(n)=sum from k=1 to n (k)=n(n+1)/2 S_2(n)=sum from k=1 to n (k~2)=1/6n(n+1)(2n+1) (2)我们大家非常熟悉,并且在一些文献中分别给出不同的证明。本文利用公式(1),(2)介绍几种自然数立方组成的级数sum from k=1 to ∞ (k~3)的前n项和公式: