曲线积分计算中奇偶性、对称性的应用

一般的教科书中,关于奇、偶函数的定积分在对称区间上有很好的结论,文章对奇、偶函数在对称曲线上的曲线积分得出了相应的结果。将其应用于对一些较难处理的积分,可得出较为简便的计算方法。     

对称性在积分计算中的应用

积分学是《高等数学》中最基础,最重要的内容之一．在一元函数定积分中,奇偶函数在对称区间上的积分具有很好的性质,利用这些性质,将会大大简化某些积分的运算．事实上,对多元函数重积分、曲线积分和曲面积分而言,奇偶函数在相应对称积分域上也有类似结论．本文就针对这方面的问题进行了探讨并举例说明．     

对称弧段上的对弧长的曲线积分的研究

主要讨论平面上对弧长的曲线积分的计算。首先利用曲线c关于坐标轴奇偶函数的定义,给出了曲线c关于任意直线的奇偶函数的定义,将奇偶函数在对称于坐标轴的曲线弧段上的对弧长的曲线积分计算公式推广到了在对称于平面上任意一条直线的曲线弧段上的对弧长的曲线积分计算公式,并且给出了证明。其次利用此公式,讨论了某些函数在封闭曲线弧段上对弧长的曲线积分的计算问题。可以看出,这一公式的使用,简化了繁杂的计算过程,有明显的实用价值。     

奇偶函数的积分性质

本文介绍并证明了奇偶函数在对称区间上的积分性质以及它的应用。     

对称图形函数的定积分问题研究

对以原点为对称的区间[-a,a]上的奇、偶函数的定积分问题及以点x=a＋b/2为对称的一般区间[-a,b]上的对称图形函数的定积分问题作了研究.研究的结论可用于简化计算某些定积分,尤其在简化计算合三角函数的定积分方面显得尤为重要.     

对称性在重积分中的应用

本文给出二元函数的偏奇偶函数、奇偶函数以及轮换奇偶函数的定义，根据函数的特性结合积分区域图形具有对称性得出性质来解积分问题，这样能使一些较繁、较复杂的问题变得简单化，使问题不攻自破，还可以节约时间，达到事半功倍的目的。     

利用对称性、奇偶性求积分

对称积分区域以及被积函数有与之相匹配的奇、偶性的积分，均可用对称性简便计算。     

积分区域的对称性在重积分计算中的应用

一般数学分析教科书中,给出了在对称区间上当被积函数为奇偶函数时,定积分计算的两种简便方法,本文将这一条件作进一步扩充,给出在对称区域上当 被积函数为奇或偶函数时,重积分,线积分,面积分的简便计算方法.     

一个判定Hoelder条件引理的再推广

用一种特别的添辅助项技巧和一系列不等式估计，给出奇异积分方程中一个经典引理的再推广及其在广义差商函数和高阶奇异积分中的应用，这个推广表明：在曲线上定义的两个函数其中之一不满足Ｈｏｅｌｄｅｒ条件甚至在曲线上有高阶奇性时，其乘积何时满足Ｈ条件。     

利用对称性、奇偶性求积分

对称积分区域以及被积函数有与之相匹配的奇、偶性的积分,均可用对称性简便计算。     

三元奇偶函数在对称区域上的积分公式及其证明

将奇偶函数在对称区间上的定积分公式进行了推广,得到了三元奇偶函数在对称区域上的三重积分公式,并给出了积分公式的证明,以简化某些积分的计算.     

积分中值定理的推广及其应用

本文将积分中值定理推广曲线积分和典面积分上，得到了相应的曲线积分和曲面积分的中值定理，并给出了证明，最后列举了应用。     

n维空间上一类对称区域的n重积分性质及其应用研究

n重积分与定积分的概念在数量关系上的一致性使它们具有诸多类似的性质,单变量奇偶函数在对称区间上定积分的运算性质,能够推广到n维空间一类对称区域的n重积分。通过讨论空间对称点的坐标轮换,以及对称点从对称区域Ω_1到Ω_2映射变换的Jacobian行列式,性质推广得以严格证明。结论作为基础理论具有实际应用价值:简化n维球体的面积公式推导;巧用对称性提高工程计算效率;帮助人们更好地理解和讨论n维空间的数学问题,构建良好的数学思想方法与数学解题行为。     

利用变量轮换对称性计算积分

给出了变量轮换对称的定义,讨论了二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的计算公式及应用实例。     

分形曲线和曲面上的第二型积分

将经典意义下在可求长曲线上的第二型曲线积分和分片光滑曲面上的第二型曲面积分推广到较一般的曲线和曲面上，给出了存在定理且减弱了格林公式，奥高公式和斯托克斯公式中关于边界的条件。     

利用对称法求定积分

利用对称原理计算对称区间上的奇函数、偶函数的定积分,对称区间上非奇非偶函数的定积分,以及非对称区间上的定积分。     

界面裂纹问题中M积分与功共轭积分的关系

给出了无限大体界面裂纹的特征展开式。该特征展开式表征了裂尖的应力振荡奇性，并满足裂面应力自由条件和界面上的应力位移连续条件。将Betti互等定理应用到界面裂纹问题中得到了新的路径无关积分，证明了M积分和Bueckner功共轭积分之间的关系。这个关系不受界面裂纹尖端应力振荡奇性的影响。对给定的辅助位移应力场，给定了相应的M积分与应力强度因子的关系。     

关于元素法应用的一点探索

本探讨了元素法在解决重积分化累次积分，对弧长的曲线积分化为定积分及对面积的曲面积分化为二重积分的应用。     

曲线积分和曲面积分不等式的构造与证明

积分不等式是数学分析的一个重要内容。针对曲线积分和曲面积分不等式问题，本文利用条件极值及曲线积分和曲面积分的性质建立几个不等式，并给予证明，旨在培养学生的创新和发散思维能力，也为教师在教学过程中提供一些思想方法。     

第一型曲线积分中值定理“中间点”的渐近性

文章研究了第一型曲线积分中值定理“中间点”的渐近性，获得了一些重要结果，得出它也是定积分中值定理相应结果的推广。