Li谱问题的超化及其自相容源

基于Loop Lie超代数和超迹恒等式先构造超Li方程族, 并给出超Hamilton结构; 再构造带自相容源超Li方程族, 并通过引入变量F和G构造超Li方程族的守恒律.     

超HU方程族的自相容源及其守恒律

基于超矩阵李代数和超迹恒等式,建立了超HU方程族.然后又构造了超HU方程族的带有自相容源方程.最后通过引入两个变量F和G,获得了超HU方程族的无穷多个守恒律.     

一族孤立子系统的规范变换

立足于一个2×2谱问题, 推出了一类新的(1+1)维孤子方程族, 对该方程族中的参数取不同的值, 可得到广义TD族, TD族, 广义C-KdV和C-KdV, 另外, 此2×2谱问题与AKNS谱问题存在着规范变换, 位势函数之间也存在广义Miura 变换, 进而, 两孤子方程族之间满足一定的等价关系。     

超耦合Burgers方程族及其超Hamilton结构

在李超代数B（0,1）的基的基础上,得到了超耦合Burgers方程族.与此同时,利用超迹恒等式给出了超耦合Burgers方程族的超Hamilton结构.此外,超耦合Burgers方程族具有超双Hamilton结构.     

一类孤立子系统的无穷守恒律及其精确解

通过一个谱问题得到了一类孤子族方程:包括广义TD(k=1),TD(k=1,α=0),广义C-KdV(k=0)与C-KdV(k=0,α=0)等,进而利用Riccati方程及相容条件得到了此类孤子方程的无穷多个守恒量及其连带流。并且针对特定的非线性发展方程,给出了其精确的孤子解及椭圆函数解。     

广义TD族及一些非线性演化方程的显式解

借助于Darboux交换和分解,获得了广义TD族和一些(2 1)维或(1 1)维非线性演化方程的显式解(包括孤立子解),特别得到了KP方程的新解.     

具有2n个解的绝对值方程问题

利用矩阵的性质, 得到了绝对值方程存在2ⁿ个解的条件, 并构造了一些具有2ⁿ个解的绝对值方程.     

两类等谱问题及其应用

构造两类等谱问题,给出其对应的广义零曲率方程.分别得到广义AKNS方程族、广义Burgers方程族及Sine-Gordon孤立子方程族.     

一类弱非线性奇摄动微分差分方程的阶梯状空间对照结构

利用边界函数法和分步法构造一类弱非线性奇摄动微分差分方程的阶梯状空间对照结构的渐近解, 得到了产生对照结构的时刻t=t*, 并借助缝接法证明内部层光滑解的存在性及所构造形式渐近解的一致有效性.     

从第一积分求Lagrange函数和等效的Lagrange函数

讨论了直接从运动方程第一积分构造Lagrange函数的新方法和等效的Lagrange函数之间的关系,得到了一类同位等效Lagrange函数族存在的判据和直接构造法.应用所得结果构造了若干系统的Lagrange函数和函数族.     

P?schl-Teller Ⅰ势势代数及同谱势研究

【目的】P?schl-Teller Ⅰ势是超对称量子力学中为数不多的满足薛定谔方程并能精确求解的双参数势中的一种。研究精确求解该势的途径,用势代数精确求解它在超对称性完整和破缺条件下的能级;同时构造P?schl-Teller Ⅰ势的同谱势从而增加可精确求解的势数目。【方法】1） 基于超对称量子力学理论,研究了P?schl-Teller Ⅰ势的双参数势代数,应用待定系数法和迭代法得到了势代数描述的形状不变性,当超对称性破缺时,通过两步法调整参数的方式得到势代数形式的形状不变性;2） 通过形状不变性构造出一个新的超势族,使它与原势具有相同的能级,并作出能级图像进行精确对比。【结果】1） 根据势代数计算并得到了超对称性完整时的对应能谱;2） 通过两步法调整参数得到势代数的形状不变性,计算并得到了该势在超对称破缺情况下的能谱;3） 对比图像发现该势族与原势拥有相同能级。【结论】1） 对比采用势代数方法得到的计算结果与用求解薛定谔方程的方法得到的计算结果,发现两者完全一致,由此得出双参数势代数法是求解P?schl-Teller Ⅰ势能级的另一个新途径;2） 势代数法在超对称性破缺情况下仍适用精确求解对应的薛定谔方程;3） P?schl-Teller Ⅰ势的同谱势族可极大丰富可精确求解势的数目。     

（2＋1）维KdV族的可积耦合及其哈密顿结构

首先构造了一个loop代数;根据（2＋1）维零曲率方程计算得到（2＋1）维KdV族的可积耦合,然后通过二次型恒等式得到它的哈密顿结构．展示的方法新颖简便,可以用于其它许多方程族．     

一族具有三Hamilton结构的发展方程及其对称

本文构造了三个可逆Hamilton 算子,它们两两组成一个Hamilton 对,由此生成了一族三Hamilton 结构的具有对合守恒密度族的可积系,并得到了这族发展方程的对称族.     

二次型等式及其多分量可积族的Hamilton结构

构造了一个新的Lie代数G,通过选取恰当的基元阶数得到相应的一个loop代数M,其换位运算非常简便,由此设计一个等谱问题,利用屠格式得到一个新的Liouville可积的多分量Hamilton方程族,并利用二次型等式获得方程族的Hamiltonian结构.此种方法可以广泛使用,获得其他方程族的Hamiltonian结构.     

一族新的微分方程的守恒律和Darboux变换

借助于零曲率方程给出一个与3×3矩阵谱问题相关的新的非线性演化方程族.基于谱问题及其辅谱问题,得到了这个方程族中前两个非线性演化方程的无穷多守恒律和第一个非线性演化方程由Darboux变换构造的一些显式解.     

一族Liouville可积系及其双约束流的Hamilton正则表示

构造了高阶ｌｏｏｐ代数Ａ２的一个特殊子代数,由此建立了一个３×３等谱问题,利用屠格式 得到了一族Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ意义下的可积 Ｈａｍｉｌｔｏｎ方程．通过建立双对称约束,得到了该方程族的两组 约束流,并将其化为正则表示 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统．     

一类高维李代数及其应用

构造一类高维的李代数H和其相应的loop代数HS,其换位运算非常简单,并利用loop代数HS得到两个可积方程族可积耦合的耦合,所得可积方程族可化简为一些形式新颖的方程.     

一个新的可积方程族

利用文献[1]中的一个6雏Lie代数及其loop代数，构造了一个等谱Lax对，由其相容性条件导出了含任意参数的Lax可积意义下的孤子方程族，其约化情形即为广义的耦合KdV方程族。构造该方程族的目的有两个：一是得到了新的可积系，这是孤立子理论的研究课题之一；二是由该方程族可寻求其Hamilton结构，Darboux变换，对称，代数一几何解等系列相关性质。     

一类具有变指数伪抛物型方程解的存在唯一性

考虑一类具有变指数伪抛物型方程的第一初边值问题. 对于一般光滑区域Ω, 先通过Galerkin方法构造问题的逼近解, 然后在参数满足一定条件下利用能量估计方法得到逼近解的一致性先验估计, 进而证明该类问题弱解的存在唯一性.     

Lax对变换与约束流的Lax表示

首先做一个恰当的Lax对变换, 使变换前后的Lax对保持孤子方程族不变. 利用文献提供的方法, 求出TD方程族约束流的Lax表示及在某约束条 件下对称约束流的Hamilton结构.