完全图的k—优美性与优美数

在k-优美图、k-GL矩阵（k为非负整数）的基础上，提出优美数和子段的概念，用子段计算的方法，证得了Kn(n≥5）非优美图，又证得Kn(n≥6）非1－优美图。并推出Kn的k－优美标号的性质及某些优美数。     

5类图的优美性

用构造方法给出图的优美标号, 并证明这五类图都是优美图. 当n≤5时, 都是极小优美图, 并给出对应长度尺子刻度数最少的15组刻度值.     

几类和扇有关图的优美性

证明下面的结论:对任意自然数n≥2,图(K_1∨(P_n∪P_(n+1)))是(n-1)-强优美图.对任意自然数n≥3,图(K_1∨P_n~((1))∪P_n~((2))))∪G是优美图;对任意自然数n≥4,图(K _1∨(P_n~((1))∪P_n~((2))∪P_n~((3)))∪H是优美图,其中k=[n/2].P_n是n个顶点的路,G_i为含有i条边的优美图.给定优美图G_(n-1)和其优美标号f,G_(k-1)和其优美标号g,设u∈G_(n-1),v∈G_(k-1)且f(u)=g(v)=0,取不同的两边xy和x′y′,点x与u合并后得到的图记为G,点x′与v合并后得到的图记为H.     

柱P(4m,k)的优美图标号

本文通过构造的方法给出柱Ｐ（４ｍ，ｋ）的优美图标号，从而证明了柱Ｐ（４ｍ，ｋ）是优美图，最后给出了ＭａｔＬａｂ算法程序。     

一类新链图的优美性

定义了有柄mi圈链图和无柄mi圈链图,得到了在m1,m2,…,mn≡0(mod4)时它们都是优美图、无柄mi圈链图是k优美图,并且给出了具体标号;进一步得到了在m1,m2,…,mn≡0(mod4),mn+1≡3(mod4)时这2类链图也是优美图的新结果及其证明.     

任意图的弱优美性

首先证明了完全图Ｋｎ的弱优美性，并由此证明了所有的图都是弱优美图，最后给出了弱优美图定义的改进。     

一类图的优美性

文章讨论了图P3n的优美性,得到了:当n=6k 3和n=6k 5(k为任意自然数)时,图P3n都是优美图,同时,还得到它们的优美标号递推算法等结论。     

2类包含K4的优美国及其注记

利用计算机为辅助工具,分别给出了2类包含图K4的图K4＋Gn 1和K4＋Kn,n的优美标号,从而证明了图K4 Gn 1和K4＋Kn,n是优美图,并由K4 Kn,n的优美性给出了边数为m的极小优美图的顶点数f(m)的范图是｛(1＋√8m 1)/2｝≤f(m)≤｛2（√m 3-1)｝.     

优美图的嵌入

研究了优美与优美图之间的一种关系，每个优美图都可嵌入到另一个优美图中．通过构造证明了：设G1是任一个优美图，则必存一个优美图G2，使得G1是G2的真子图．这一结论给出了由一个优美图构造一类优美图的一种方法，并用此方法给出了几类优美图．     

K-优美图与优美图Gk-1的优美性研究

对k-优美图n,Km,n与任意一个有k-1条边的优美图Gk-1的优美关系进行了研究.证明了:当n为奇数时,图n∪Gk-1是优美图;当n为偶数时,粘接图〈n,Gk-1〉是优美图.还证明了粘接图〈Km,n,Gk-1〉是优美图.     

网格图的并图P(n_1,n_2,…,n_m)的奇优美性和奇强协调性

通过构造方法,给出了平面网格图的并图P(n1,n2,…,nm)的奇优美标号和奇强协调标号以及其k-优美标号和k-强协调标号.从而证明这类图是奇优美图和奇强协调图.     

平衡图及优美图的构造

利用平衡图Ｇ及优症状图Ｈ给出了几种构造新的２图－－Ｇ（Ｘ．∪ｉ＝１＾ｎＹｉ与优美图－－ｖＧ∨Ｈ的方法;证实了当ｎ≡（ｍｏｄ４）时,图Ｃｎ∪Ｐｍ及其冠是平衡的;同时还获得了其他一些平衡图与优美图。     

关于P_(2r,2s-1)的k-优美标号

对于简单图G=,如果存在一个映射f:V(G)→{0,1,2,…,|E|+k-1}满足:1)对任意的u,v∈V,若u≠v,则f(u)≠f(v);2)max{f(u)|u∈V}=|E|+k-1;3)对任意的e1,e2∈E,若e1≠e2,则g(e1)≠g(e2),且{g(e1)|e∈E}={k,k+1,…,|E|+k-1},g(e2)=|f(u)-f(v)|,e=uv,则称G是k-优美图,f称为G的k-优美标号.作者研究了一类图的k-优美标号.     

两类非连通图优美性的研究

给出了两类非连通图(K2〖TX-〗∨Cn)∪[DD(]3[]i=1[DD)]St(mi)和(K2〖TX-〗∨C2n+k)∪St(m)∪G(k)n-1(k=1,2), 并证明了如下结论:对自然数n, m, m1, m2, m3, 设s=〖JB(［〗〖SX(〗n〖〗2〖SX)〗〖JB)］〗, n≥9, m1≥s+2, 则图(K2〖TX-〗∨Cn)∪[DD(]3[]i=1[DD)]St(mi)是一个优美图; 对 k=1,2,设n, m≥3, G(k)n-1是一个具有n-1条边的k-优美图,则图(K2〖TX-〗∨C2n+k)∪St(m)∪G(k)n-1是一个优美图。 其中,K2是一个具有2个顶点的完全图,K2〖TX-〗是图K2的补图,K2〖TX-〗∨Cn是图K2和n圈Cn的联图, St(m)是一个具有m+1个顶点的星形树。     

非连通图G+e∪H_(k-1)的优美性

证明了当k≥2时,非连通图G+e∪Hk-1是优美图,其中G是特征为k的平衡二分图,Hk-1是任意一个k-1条边的优美图.     

全图的优美性研究

本文研究完全图、完全多部图的优美性,主要得到以下结论：完全图Kn是优美图的充要条件是该图的顶点数不超过4,完全多部图K1,m,n、K2,m,n都存在优美标号算法,从而说明它们都是优美图等．     

非连通图D_(2,6)∪G的优美标号

讨论了非连通图D2,6∪G的优美性,给出了非连通图D2,6∪G是优美图的一个充分条件,证明了若图G是特征为k且缺k+9标号值的交错图(9≤k+9≤|E(G)|),则非连通图D2,6∪G存在缺k+1和k+6标号值的优美标号.     

联图G_p=C_3∨K_(p-3)的性质和标号研究

研究一类联图Gp=C3∨Kp-3的有关性质,同时研究其优美标号和强协调标号,证明此类联图和它的冠都是优美图和强协调图.