有穷齐次MAPKOB链具有遍历性的一个充分必要条件

则称P为随机矩阵。显然,若P_1,P_2是随机矩阵,则P_1P_2也是随机矩阵。特别地,若P 是随机矩阵,则P~n=P(n)=[p_(ij)(n)]也是随机矩阵(n=1,2,…)。如果对一切i,j 而言,存在着不依赖于i 的极限lim p_(ij)(n)=P_(ij),则称P 具有追历性。有穷齐次     

随机矩阵的重合性质

设E是一至多可列集,P=(P_(ij))是E上的随机矩阵(即对一切i,j∈E,P_(ij)≥0,sum form K∈E (Pik)=1)。以下称状态空间是E,转移概率矩阵是P的任何齐次马尔可夫链(x_n,n≥0)(所在的概率空间是(Ω,F,IP))为P链。仿[1]有: 定义:称E上随机矩阵P具有重合性质,如果对任何i,j∈E及任何概率空间(Ω,     

线性时变离散系统稳定性的一个反例

对于常系数线性离散系统X(k+1)=PX(k) (1)其中 X(k)=col(x_1(k),x_2(k),……,x_n(k)),P=(P_(ij))_(nxn),(i,j=1,2,…,n)P_(ij)是实常数。如果特征方程|P-μE|=0 (2)的特征根|μ|<1,则(1)的零解是渐近稳定的。对于线性时变离散系统     

具有“正负”变系数的时滞微分方程组

本文得到一类时滞微分程组x_i(t)+sum from j=1 to n p_(ij)(t)x_j(t-τ)-q_i(t)x_i(t-τ_0)=0 i=1,2,…,n:所有解振动的充分条件。     

群体基因频率的世代演替模型及稳定性讨论

群体基因频率是某一个基因座位上的各复等位基因在群体中的相对频率。如果有两个(或两个以上)复等位基因的相对频率改变,则该群体基因频率即发生了变化。定义1:若群体在某个基因座位上有n个复等位基因α_1,α_2,…α_n,它们在第m代的基因频率为p_(im)(i=1,2…n),则该基因座位的群体基因频率可用一个n维向量P_m表示,其中分量p_(im)≥0(i=1,2…n)且n个分量p_(im)的和为1。如果群体是一个大而随机交配的群体,那么第m代群体基因型频率为A_m=P_m·P_m~*(P_m~*为P_m的转置阵)。定义2:若基因α_i突变成基因α_j的频率为μ_(ij),回复突变的频率为μ_(ji),因迁移,选择而引起的基因α_i的改变为μ_(ii)=μ_(ii)~M μ_(ii)~S,那么从第m代到第m 1代群体基因频率的变化可用一演替矩阵π_m表示。P_(m 1)和P_m之间的关系为P_(m 1)=μ_m~(-1)π_mP_m。μ_m~(-1)为归一化常数,以保证第m 1代群体基因频率的n个分量p_im 1之和为1。定义3:若当m趋向无穷大时,P_m的每一个分量的极限都存在,则我们说群体基因频率P_m是极限稳定的。定理1:群体基因频率稳定的充要条件是矩阵π_m的特征方程有正实根,而第m代基因频率向量则正好是这个特征值所对应的一个特征向量。定理2:当μ_(ii)=0,μ_(ij)(i≠j)不随世代而变时,群体基因频率必将趋于极限稳定。作为特例,当n=2时,我们的结果与遗传学中的结论是一致的。     

线性多滞量中立型方程组的振动性

考虑线性中立型方程组[X(t)-sum form l=1 to rP_lX(t-υτ_l)]+sum form k=1 to mQ_kX(t-δ_k)=0其中 P_l=(P_(ij)~(l)),Q_k=(q_(ij)~(k))(i,j=1,2,…,n),τ_l>0,δ_k≥0在此方程组各系数矩阵对角占优条件下,本文得到了方程组所有解振动的充分条件,并推广文[1]的结论。     

Perron的一个关于线性方程组的特征数的定理的推广

O.Perron曾经证明了这样一个定理:若复数域上的线性齐次微分方程组:y_ i(t)=sum from to (n j=1) f_(ij)(t)y_j(t),0≤t<∞,i=1,…,n,(0)满足:(ⅰ)当i≠j时lim f_(ij)(t)=0;t→∞(ⅱ)存在正数C及t。使R_e[f_(j-1,j-1)(t)-f_(jj)(t)]≥C对t≥t。及2≤j≤n成立,那末,方程组(0)的解的第j个特征数λ_j=■ 1/t integral from n=0 to t(Re f_(jj)(τ)dτ,j=1,…,n.)关于这个定理,某些微分方程方面的著作给出了详细的介绍,例如[1.pp.132-146],[2.pp.187-193],等等。本文则推广了这个定理,取消了上述两个对f_(ij)(t)的较为严格的限制条件而代之以一些较为宽容的条件。按照本文的结论,我们(ⅰ)不必要求t-∞时f_(ij)(t)→0,甚至不必要求f_(ij)(t)有界;(ⅱ)不必要求Re[f_(j-1,j-1)(t)-f_(jj)(t)]≥C对某一正数C及t≥t_o成立,甚至不必要求Re[f_(j-1,j-1)(t)-f_(jj)(t)]≥0在t≥t_o之后永远成立,但我们最后仍能根据系数矩阵(f_(ij)(t))给出方程组(0)的特征数的估计式。     

矩阵代数的乘法映射与反乘法映射

设P是一个域,Γn是满足{αEij|i,j=1,2,…,n,α∈P} (P)的一个乘法半群,其中Mn(P)定义P上所有n×n矩阵组成的乘法半群.证明了一个结果:若f:Γn→Mn(P)是一个保零矩阵的乘法映射,Fij(i,j=1,2,…,n)是Mn(P)中n2个矩阵,且满足FijFkl=δjkFil(i,j,k,l=1,2,…,n),则存在可逆阵S∈Mn(P),使得f(Fij)=S-1FijS,i,j=1,2,…,n.由此刻画了Γn的保迹反乘法映射.     

三角矩阵的存储映射

对三角矩阵的存储映射问题进行了讨论.对于n阶下三角矩阵,若按行主顺序仅将下三角部分各元素依次存储到向量B[1∶n(n+1)/2]中,则可获得矩阵下标集合到向量下标集合的一个一一映射f(i,j)=i(i-1)/2+j,其逆映射为f-1(k)=(p,k-p(p-1)/2).这里i≥j且p=(8k+1-1)/2.对于上三角矩阵,若按列主顺序仅存上三角部分,则可对称地获得类似的一一映射:g(i,j)=f(j,i)=j(j-1)/2+i,g-1(k)=(k-p(p-1)/2,p),其中i j,p同前.一般地,对于对称矩阵,若仅如前地存储下三角部分或上三角部分,则得到一个多对一映射h∶h(i,j)=f(i,j)(若i j)或g(i,j)(若i相似文献   

关于Borel的一个定理

Borel的一个经典性定理是,如果两组整函数G_i(Z)(i=1,2,…,n)和H_i(Z)(i=1,2,…n)满足恒等式sum from j=1 to n G_i(Z)e~Hj~(Z)≡0 并且如果G_i(1≤i≤n)的增长性,在某种意义下,较慢于e~Hj~(-H)k(1≤j,k≤n,j≠k)的增长性,则G_i(Z)≡0 (i=1,2,…,n),在本文中得出了这个定理的几个推广。     

第一牛顿公式摘译

第一牛顿公式:已知xi(i=1,2......,n)的基本对称函数p_1=sum from i=1 (xi),p_2=sum from i≠j(x_ix_j),p_3=sum from i≠j=k(x_ix_jx_k...),P_n=multiply from i=1 to n(x_i);对称函数S_1=sum from i=1 to n(x_i),S_2=sum from i=1 to n(x_i~2),S_3=sum from i=1 to n(x_i~3),...,S_k=sum from i=1 to n(x_i~k)…,k=1,2,3,…,n-1试将对称函数用基本对称函数表出.解:问题可以用初等方法或用指定的一般方法或者更一般地借助于牛顿公式解答.我们考虑关于X的有理整函数:f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)…(x-x_n)…(1)或f(x)=x~n-p_1x~(n-1) p_2x~(n-2)-p_3x~(n-3) … (-1)~n×p_n…(2)其中p_i(i=1,2,…,n)是关于X_i;的基本对称函数,由(1),(2)我们分别求出f(x h)f(x h)=(x h-x_1)(x h-x_2)(x h-x_3)…(x h-x_n)     

数学期望计算中的两个命题

在文中所涉及的一切数学期望,假定都是存在的,这在各命题的陈述中,容不再每每提及。命题1 设随机变数列ξ_k(K=1、2、…),Eξ_k=α(常数),且一个二维离散型随机变数(ζ,η)的密度阵为(p_(ij)i,j=1,2,…,p_(ij)>0。则 E((sum from k=η to ζ(ξ_k))=αE(|ζ-η|+|)。     

许定理的一个推广

§1 引言考虑线性模型y=Xβ+U_1ε_1+…+U_kε_k (1)其中 X,U_1,…,U_K 分别是已知的 n×p,n×n_1,…,n×n_k 矩阵,秩 X相似文献   

非线性项有非线性增长的高阶多点边值问题

考虑以下高阶多点边值问题({ у(n)=f(t,y,y',…,y(n-1),0≤t≤1,у(i)(ξj)=0,0≤i≤nj-1,j=0,1,…,k,(k∑j=0)nj=n),其中0=ξ0＜ξ1＜…＜ξk=1,关于f有非线性增长的情况,利用基于度理论的不动点定理,对上述边值问题建立了解的存在唯一性定理.     

单流生灭过程和环流量

本文考虑定义在完备概率空间(Ω、(?),P)上的生灭过程x(t,ω),t≥0,ω∈Ω,其相空间为E=0,1,2,…,转移概率矩阵(P_(ij)(t))(i,j∈E,t≥0)是标准的,并且其Q矩阵是     

具有给定边际分布的概率测度的唯一性

§1 引言〔1〕中讨论了具有给定边际分布的概率测度的存在性。它的一种情形是基本空间Y 为有限序集。为确定起见,不妨设Y={1,2,…,n}并具有通常的序:P(Y)表Y 上概率测度之集。μ∈P(Y)。其密度记为{μ_i,i∈Y,},其中μ_i≥0,i=1,…,,n(?)μ_i=1。关于具有给定边际分布的概率测度的一个著名命题是(1.1)命题设μ,v∈P(Y),则存在Y×Y 上的概率测度γ满足(1.2) (i)(?)γ_(ij)=μ_i,i=1,…,n;(ii)(?)γ_(ij)=v_i,j=1,…,n;(iii)(?)i相似文献   

一类mini max问题的单纯形解法和凸二次规划解法 (摘要)

在长江南水北调水量调节的最优化计算中提出了(p_1)和(p_2)两个有约束的非线性规划问题。(p_1)minf_1(x)和(p_2)minf_2(x),其中 x∈X_1 x∈X_2f_1(x)=max(c_i x_i),f_2(x)=max(c_i-x_i) 1≤i≤n 1≤i≤nXi={x=(x_l…x_n)~T|sum from j=1 to n xi=b_i xi≥0, j=1,…n},i=1,2,cj…c_n是实数,b_1,b_2>0。不失讨论一般性,假设C_1≤C_2≤…≤C_n,于是     

关于一个相关函数行列式的计算

用两种方法计算了下列行列式:F_(z)=(?)其中(?)为正定阵。这行列式来源自平稳随机序列的相关函数。在计算过程中还证明了一个有趣的行列式等式:任给矩阵 A=(a_(ij))_(i,i=1,…,n 和两个列向量 b1=(?)及 b_2=(?)以 A_(i,0) 记把矩阵 A 的第 i 列换成 b_1所得之矩阵,以 A_(0,j)记把矩阵 A 的第 j 列换成 b_2所得之矩阵,以 A_(i,j)(i≠j)记把矩阵 A 的第 i 列及第 j 列分别换成 b_1及 b_2所得之矩阵,则(i≠j)|A||A_(i,j)|=|A_(i,0) ||A_(0,j)|-|A_(j,0) ||A_(0,i)|     

一类变系数非綫性微分方程组解的稳定条件

考虑下列微分方程组其中p_(ij)(t)(i,j=1,2,…,n)为t≥t。的实连函数,f_i(i=1,2,…,n)为变量t,X_1,…X_n的实連續函数,定义于区域:t≥t。,|x_1|   

二元关系传递闭包的最小次数

本文用图论方法确定了Fuzzy二元关系和普通二元关系传递闭包的最小次数。文中所用的术语、定义、引理如下:我们约定,aΛb=min(a,b),avb=max(a,b),a. b∈(0.1),对模糊有向图G中的任意两点V_(i0),V_ik,其间一条途径是一个非空有限点边交替序列: V_(i0)e_(i1)V_(i1)e_(i2)V_(i2)…e_ikV_ik其中V_(ij)与V_(ij+1)由边e_(ij+1)连接。记做w(V_(i0),V_ik),k称为步长。若V_(i0)=V_ik,则称其为闭途径。点不重复的途径称为通路,记为P(V_(i0),V_ik)。若V_(i0)=V_ik,称其为闭路,路长以P(V_(i0),V_ik)表之。