用极限精确定义证明极限的思想和方法

1 函数极限证明的基本思想 要证明x→x_0(或x→∞)时函数f(x)的极限是A,当ε>0后,如果我们能找到以x_0为中心的δ邻域(x_0-δ,x_0+δ)(或N>0),当x取这邻域中异于x_0的一切值(或|x|>N)时,不等式 | f(x)-A|<ε 恒能得到满足,则就证明了x→x_0(或x→∞)时,f(x)的极限是A。 问题在于怎样找到上述要求的点x_0的δ邻域(和N)? 从函数极限的精确定义中,我们知道,如果x→x_0时,f(x)的极限是A,则点x_0的δ邻域     

素环上的交换映射

设R是一个环,F:R→R是一个映射.如果对所有的x∈R,有[F(x),x]=0成立,则称F是R上的交换映射.文章的主要结论为:设R是特征不为2的素环.如果存在一个非零广义导子:δR→R,使得映射x→[δ(x),x]在R上是可变换的且δ(I)∈Z(R),则δ在R上是可交换的.     

威布尔分布或极值分布的GLUE的渐近正态性及其应用

§1、用定数截尾寿命试验的情形若x_1,…,x_n独立同分布F(x), 若x_(1n)≤x_(2n)≤…≤x_(nn)为次序统计量,并假定引理如果(1)成立,若g(x)是实的连续函数,并|g(x)|≤h(x),其h(x)是凸函数,并     

偶映射定理

受奇映射定理的启发,本文证明了连续偶映射的Brouwer度为偶数,即偶映射定理.(H)设D(?)R~n是有界对称含0的开集,f:D→R~n是连续偶映射(f(x)=f(-X),(?)X∈D)使O(?)f((?)D)有如下主要结果:1~0如假设(H)满足,则deg(f,D,0)是偶数.2~0如假设(H)满足,R~n的维数n为奇数且f(x)+(λ-1)x≠0,(?)x∈D和λ>1,则f在(?)D上必有零点.3~0如假设(H)满足但R~n的维数n为奇数,则存在y∈(?)D和λ>0(或λ<0)使f(y)=λy.我们进一步按上述内容对全偶连续映时进行了讨论.映射f:D→R~n是全偶的,只要f((-1)~(a1)x_1,…(-1)~(an)x_n)=f(x_1,…x_n),(?)(a_1,…a_n)∈δ_n(0,1),这里δ_n(0,1)={(a_1,…,a_n)|a_i=0或1,(?)i∈{1,2,…,n}}.     

链式法则的一个证明

复合函数求导的链武法则是:设函数 u=(?)(x)在点 x_0处可导,y=f(u)在点 u_0(u_0=(?)(x_0))可导,则复合函数 f_0(?)(x)在点 x_0可导,且(f_0(?))′(x_0)=f′(u_0)(?)′(x_0)。对于这个法则,我们给出一个新的证明。为此先引入两个引理。定义设 E(?)R。f在 E 上有定义,x_0。∈(?)((?)是 E 的闭包),如果存在常数 l,对于任给ε>0,存在δ>0,当x∈(x_0-δ,x_0+δ)∩E-{x_0}时,恒有 f(x)∈(l-ε,l+ε),则称 f 在x_0关于 E 有极限 l。记作 l=(?)f(x)。     

有穷导数与无穷导数的一些性质

数学分析对有穷导数(导数)与无穷导数都有说明,本文将深入探讨它们的一些性质,且比较它们的同、异性,得到如下的结果。定理1 设f(x)在O(x_0,Δ)(Λ∈R~+)中有定义,f′(x_0)=+∞(或-∞),则 (ⅰ)在点x_0,f(x)不一定连续(与有穷导数不同)。 (ⅱ)δ>0(δ<Δ),使x∈(x_0—δ,x_0)时,f(x)f(x_0));x∈(x_0,x_0+δ)时,f(x)>f(x_0)(或f(x)相似文献   

对ODE方程的比较定理的讨论

本文在讨论了ODE方程的第一比较定理和第二比较定理之后,得到了如下结果: 对初值问题和(A)和(B)如果在域G内: <1> f(t,x)、F(t,x)连续, <2> f(t,x)≤f(t,x),但f(t_0,x_0)ψ(t),当a相似文献   

复合泛函方程的稳定性

研究了复合泛函方程T(T(x)-T(y))=T(x+y)+T(x-y)-T(x)-T(y)在泛函Φ(x,y)限制下的稳定性问题.证明了:若E为Banach空间,泛函Φ:E×E→[0,∞)连续使得级数Φ(x)d=sum (2-j-1Φ(2jx,2jx)) from j=1 to ∞在E的任一有界子集上一致收敛,F:E→E是连续映射且满足‖F(F(x)-F(y))-F(x+y)-F(x-y)+F(x)+F(y)‖≤Φ(x,y)(■x、y∈E),则存在唯一的连续2-齐次映射T:E→E满足以上复合泛函方程且‖T(x)-F(x)‖≤Φ(x),■x∈E.     

二连通图的最长圈

本文证明:设G为n阶2连通图,D(x)={y|y∈V(G),d(x,y)≤2},d_d~*(x)表示D(x)中所有的点的度排成的非减度序列:d_1~*,d_2~*,…,d_j~*,d_(j+1)~*,…,d_(|D(x)|)~*中当下标j=d(x)时的度。δ_0=min{d(x)|x∈V(G)},D(δ_(i-1))={x|x∈V(G),d(x)≥δ(i-1)}(i=1,2,…,k),δ_i=min{d_(d(x))~*|x∈D(δ(i-1))}(i=1,2,…,k)且δ_0<δ_1<δ_2<…<δ_(k-1)≤δ_k,则C(G)≥min{n,2δ_k}。此外也给出δ_k的算法。     

关于n维拟共形映射的一个存在定理

设R~n是n维欧几里德空间(n≥2),D=R~n是R~n中的一个真子域,对于x,y∈D,0log1/(1-c),存在F:R~n→R~n是一个拟共形映射,满足如下条件: 1) K_D(x,F(y))≤log1/(1-c) 2) F:R~n\D→R~n\D是一个恒等映射 3) logK_1(f)≤2/cK(x,y)     

关于图的圈的一个充分条件

设G为n(≥3)阶2连通图,δ≤δ~*≤Δ,对任意x∈V(G),记D(x)={y|y∈V(G)\{x},d(x,y)≤2},D~*(x)={y|y∈(D(x)∪{x}),d(y)<δ~*},本文证明:如果|D~*(x)|相似文献   

单李代数上保强交换性的非线性可逆映射和非线性强积零导子

设L是特征为零的代数封闭域F上的有限维单李代数.如果f:L→L为可逆映射,且满足[f(x),f(y )]=[x,y],对任意的x,y∈L,则称f是L上保强交换性的非线性可逆映射.证明L上保强交换性的可逆映射只能是恒等映射或负恒等映射.若映射δ:L→L满足[δ(x),y]+ [x,δ(y)]=0,对任意的x,y∈L,则称δ为L上的非线性强积零导子.证明了单李代数L上非线性强积零导子只能是零映射.     

单李代数上保强交换性的非线性可逆映射和非线性强积零导子

设L是特征为零的代数封闭域F上的有限维单李代数.如果f:L→L为可逆映射,且满足[f(x),f(y)]=[x,y],对任意的x,y∈L,则称f是L上保强交换性的非线性可逆映射.证明L上保强交换性的可逆映射只能是恒等映射或负恒等映射.若映射δ:L→L满足[δ(x),y]+[x,δ(y)]=0,对任意的x,y∈L,则称δ为L上的非线性强积零导子.证明了单李代数L上非线性强积零导子只能是零映射.     

一类代数上的弱可加交换映射

设A是一个有单位元1的代数.称映射f:A→A是一个弱可加映射,如果满足对任意的x,y∈A,存在t_(x,y)S_(x,y)∈F使得f(x+y)=t_(x,y)f(x)+s_(x,y)f(y)成立.本文证明了在一定的假设下,如果f是交换映射,则存在λ_0(x)∈A和一个从A到Z(A)的映射λ_1,使得对所有的x∈A有f(x)=λ_0(x)x+λ_1(x).作为应用,刻画了M_n(F)上一类交换的弱可加映射.     

关于弱本原环

本文讨论弱本原环的稠密性问题,主要结果是: 环R是弱本原的当且仅当存在(D,V,M)使得 (1)如果x,y≠0∈V,则存在r,s∈R使xr=ys≠0。 (2)如果x_1,x_2∈M是D上线性无关元,则存在非零元r,s∈R使x_1r=x_2s,x_2r=x_1s且S|Dx_i是自同构,i=1,2。     

应用初等方法讨论函数的单调性

定义对于函数f(x),若在其定义域的某个区间M上任意取两个数x_1,x_2,它们对应的函数值分別为f(x_1),f(x_2), (1)如果当x_1f(x_2),则称函数f(x)在区间M上是严格递減的; (4)如果当x_1相似文献   

康托定理的另一证明

数学分析中康托(G.Cantor)定理的证明有多种,现讨论另一直接证明.为清楚起见,先叙述一下定义.设f(x)是区间X上的连续函数,X_0为X内一点.对ε>0,由于f(x)在X_0点连续,所以有δ=δ(ε,x_0)>0,当|x-x_0|<δ时,恒有|f(x)-f(x_0)|<ε,这里的δ是“ε和x_0的函数”.当ε>0给定后,固定点X_0换为X内的另一点时,正数δ也会发生变化的.对每个给定的点X_0,都相应地有一个δ(ε,x_0)>0,当x_0遍取X内的一切点时,便得无穷多个δ.在这无穷多个δ中,是否有一个可公用的δ(即大于零的下界)对所讨论的区间都适用?如果有的话,我们就说f(x)在X是一致连续的.因此有     

一种非对称损失下分布函数的最优不变估计

给定来自一未知连续分布函数F的容量为n的子样x1,x2,…,xn,考虑分布函数F的不变估计问题.在非对称损失函数L(F(t),d(t))=b∫(exp{a[d(t)-F(t)]}-a[d(t)-F(t)]-1)dF(t)和单调变换群下得到F的最优不变估计为d(t,X)=∑ni=0ciI(x(i)≤t≤x(i 1)),其中ci=1/aln(∫01ti(1-t)n-idt)/(∫01exp{-at}ti(1-t)n-idt),a≠0,b>0.     

关于吸引场D(Λ)的两点注记

拓广了最大值吸引场D(Λ)中分布函数所满足充要条件的两个经典结果,得到:(1) F∈D(Λ)当且仅当Limzo(1-F(x))m-1∫xox∫xot1…∫xotm-1(1-F(s)dsdtm-1…dt1/(∫xox(1-f(s))ds)m=1且上述表达式中积分均有限,其中m为任意不小于2的整数.在此情形下,1/1-F∈( ),辅助函数f(t)可选为Fm(t)=∫xox∫xot1…∫xotm-1(1-F(s)dsdtm-1…dt1或f1(t)= ∫xot(1-F(s))ds/(1-F(t))赋范常数可适当选为bn=(1/1-F)←(n),an=∫(bn). (2) F∈D(Λ)当且仅当对某α>β>0s(x)= ∫xox(1-F(t)adt/(1-F(x))aβ∫xox(1-F(t))) βdt→β/a(x↑xo)进一步,上式对所有α>β>0都成立.     

连续凸函数一个性质的新证明

我们知道连续凸函数具有这样一个性质: 定理设f(x)是R~n上的实值连续函数,若对于任意的x_1,x_2∈R~n,都有 f(1/2x_2 1/2x_2)≤1/2f(x_1) 1/2f(x_2) (1)则f(x)必为凸函数。一般函数论教材,在论证这一性质时,大都采用哥西的巧妙证法,下面我们用反证法证明这一结论。证明:若f(x)不是凸函数,根据凸函数的定义,则至少存在两个点x_1、x_2∈R及0≤a_0≤1