关于亚纯函数正规族的一点注记

假设F是区域D(∪)(C)的一亚纯函数族,其所有零点的重级均不小于k.如果a(z)是 D内的不等于零的全纯函数,且对每个f ∈ F,-/Ef L(f)(a(z)) = -/Ef(a(z)),则F在D内正规,其中L(f)是关于f的线性微分多项式,其中k是正整数.同时获得了关于正规函数的相应结果 .     

与分担值相关亚纯函数的正规性

利用Nevanlinna理论研究一类涉及分担函数的亚纯函数族的正规性,得到一个与分担函数相关的正规定则.设k是一个正整数,F是区域D内的亚纯函数族.若对任意的f∈F,其零点重级至少为k,且满足:1)f(z)=0f(k)(z)+∑i=1kbi(z)f(k-i)(z)=a(z);2)f(k)(z)+∑i=1kbi(z)f(k-i)(z)=a(z)■0|f(k+1)(z)+b1(z)f(k)(z)-a′(z)||a(z)|.其中a(z)(a(z)≠0),bi(z)(i=1,2,…,k)是区域D内的全纯函数.则F在区域D内正规.     

分担值与正规族

设F为区域D上的亚纯函数族,a,b,c,d为复常数且b≠0,c≠a和d≠b,k为任意正整数.若对任意的f∈F,有f-c的零点重级至少是k,且f(z)=af(k)(z)=b和f(z)=c■f(k)(z)=d,则F在区域D上正规,推广了常建明等的结果.     

正规族与分担值

通过研究正规族与分担值之间的关系,得到如下两个结果:设F是区域D内的亚纯函数族,a1,a2,a3,a4∈C,a1≠a3,a2≠a4,a2≠0,若(A)f∈F,f(z)=a1(→)f'(z)=a2,f(z)=a3(→)f'(z)=a4,则F在D内正规;设F是区域D内的全纯函数族,k∈Z ,a,b∈C,a≠0,b＞0,若(A)f∈F,f-a的零点重级均≥k,f=a(→)f(k)=a,f(k)=a(→)0＜|f(k 1)|≤b,则F在D内正规.     

一个正规定则的推广

证明了如下结果:设F是区域D内的一族亚纯函数,k≠2是正整数,c,d为两个非零有穷复数.a(z)是一个在D内不取零值的全纯函数.若对每一个f∈F,f的零点重级k,若f(z)=0则f(k)(z)=a(z),f(k)(z)=a(z)则|f(k+1)(z)|h,(h为某一正数),f(z)=c则f′(z)=d,则F在D内正规.     

分担小函数的正规族

文章主要运用Zalcman引理证明了区域D上的一族亚纯函数R,f∈R,f的所有零点重级至少为k.若存在非零的解析函数b(z)及h>0使得f=0f(k)=b(z)及当z∈Ef(0)时,有0<|f(k+1)(z)|≤h,则R在D上正规.     

关于亚纯函数的正规性

设F是区域D上的一族亚纯函数,a(z)在区域D上解析且a(z)≠0(z∈D),k是一个不小于3的正整数,A,B是两个正实数,a0(z),a1(z),…,ak-1(z)在区域上D解析.如果(A)f∈F,f的零点重数至少为k,且对z∈D,满足(1°)当f(k)(z) ak-1(z)f(k-1)(z) …a1(z)f'(z) a0(z)f(z)=a(z)时,|f(z)|≥A;(2°)当f(z)=0时,0＜|f(k)(z)|≤B,则F在D上正规.     

涉及例外值的亚纯函数的正规性

研究亚纯函数的正规性,运用Pang-zalcman方法,推广方明亮关于正规族的一个结果,得到以下的结果:设F是区域D内的一族亚纯函数,a≠0,b∈C,如果对f∈F,都有[f(k)(z))]l-a[f(z)]m≠b,且f(z)的零点重级k+2,则F在D内正规.     

基于亚纯函数微分多项式的一个正规定则

设F是区域D内的亚纯函数族,c(z),b(z)为D内两个不取零值的解析函数,(A)f∈F,f(z)的零点的重数大于等于k,k为正整数. 若L(f)(z)=b(z)(←→)fL(f)=c(z),L(f)(z)=f(k)(z)+a1f(k-1)(z)+…+ak-1f'(z)+akf(z),其中,ai(i=1,2,…,k)为D内的解析函数,则F在区域D内正规.     

涉及分担值的两个亚纯函数族的正规定则

讨论2个亚纯函数族涉及分担值的正规性,证明如下结论:设F和G为区域D上的2个亚纯函数族,a1,a2,a3为3个互不相同的复数,k≥1,l≥0为整数.若亚纯函数族G正规,且对G的任意子列gn(z),有gn→g,且g■∞;若对任意的f∈F,零点重数大于等于k+1,且存在g∈G,使得f(k)(z)和g(l)(z)分担a1,a2,a3,则F在D上正规.     

分担值与亚纯函数的正规族

本文通过定义R1={f1=f-c;f∈R},将R在Δ上的正规转换为研究R1在Δ上的正规。运用文献[8]得到R1在Δ 不正规的充分必要条件：存在点列zj∈Δ,函数列f1j∈R1和正数列ρj→0＋ ,使得gj（ξ）=f1j（zj＋ρjξ）→g（ξ）,并且g（ξ）是非常数亚纯函数,再运用分担值的定义和文献[9]中的不等式得到g（ξ）又必为一个常数,通过反证推广了陈怀惠和方明亮的结果。设R是区域D 上的一族亚纯函数,k是一不小于2的正整数,a,b,c是有穷复数,a≠b,如果对任意的f∈R,f-c的零点重级至少是k,并且f和f（k）在D 分担a 与b,则R在D 上正规。     

分担小函数的亚纯函数的正规族

文章主要运用Zalcman引理证明了区域D上的一族亚纯函数R,分担D上的非零解析函数a（z）,如果满足对任意的f∈Rf的零点重级至少为k＋1,若f^（k）=0=〉f=0,并且f^（k）（z）=a（z）=〉f（z）=a（z）,则有R在区域D上正规．     

一族亚纯函数的正规定则

讨论亚纯函数族的正规性,推广庞学诚,陈怀惠和徐焱等人的结果.证明正规定则:设(1)n,k,l,t是4个正整数,其中,n≥2,n-1>k+1l+1t;(2)F是复平面中区域D上的一族亚纯函数,a是复平面内任一非零复数,h(z)为区域D内的任一连续函数;(3)族F中每个函数的极点和零点重数至少分别为l和t,且f(k)(z)-afn(z)≠h(z),∨z∈D,f∈F,则函数族F在区域D内正规.     

涉及微分多项式及例外函数的正规定则

证明了如下的结论: 设\,$k\geqslant 2$\,是一个正整数, $\mathcal{F}$\,是区域\,$D$\,上的一族全纯函数, 其中每个函数的零点重级至少是\,$k$, $h(z),\,a_1(z),\,a_2(z)\,\cdots,\,a_k(z)$\,是\,$D$\,上的不恒为零的全纯函数. 假设下面的两个条件也成立:\,$\forall f\in\mathcal{F},$ (a) 在\,$f(z)$\,的零点处, $f(z)$\,的微分多项式的模小于\,$h(z)$\,的模; (b) $f(z)$\,的微分多项式不取\,$h(z)$, 则\,$\mathcal{F}$\,在\,$D$\,上正规.     

关于f＋a（z）（f’）^n的正规定则

设F是区域D上的亚纯函数族,a（z）,b（z）为区域D上的两解析函数,n为正整数。推广了方明亮的一个结果,证明了：对f∈F,当f＋a（z）（‘f’）^n≠b（z）时,并且,的零点重级至少为2,则F在D上正规。     

分担连续函数的全纯函数正规族

研究了分担连续函数的全纯函数族的正规性问题,推广了一些已有的结论.设F为定义在区域D上的全纯函数族,h1,h2为两个连续函数满足对_z∈D有h1(z)≠h2(z),并设k≥2为正整数.若f∈F,有f(z)=hi(z)=〉|f(k)(z)|≤|hi(z)|,i=1,2,则F为D上的正规族;并举例说明了k=1时,结论不成立.此外,还将分担值条件用拓扑度条件代替得到了一个涉及拓扑度条件的全纯函数族正规定则.     

涉及不动点的全纯函数的正规族

研究正规族与分担值之间的关系,得出：若F是区域D上的一族全纯函数族,p（z）为次数≥2的多项式,如果对任意的f,g∈F,有p（f）和p（g）在D上IM分担z,则F在D上正规.     

分担值与亚纯函数的正规性

把亚纯函数的分担值和推广了的球面导数相结合,得到了如下结果:设F是区域D内的亚纯函数族,若F中的任意函数,(∈F)的零点重数至少是k(k是正整数),f=0当且仅当f(k)=0,且当z∈E(1,f(k))时,存在正整数M(<1),使得|f(k)(z)|/1+|f(z)|k+1≤M 则F在D内正规.