嵌入共轭梯度算子的遗传算法

分析病态线性方程组的机理,将原线性方程组的求解问题转化为一个等价变分问题的极少值点寻优问题。在遗传算法产生的子代群体的个体以固定的概率采用共轭梯度法产生新子群,即采用共轭梯度法在局部进行搜索。将共轭梯度法局部搜索能力与遗传算法全局搜索能力有机结合,从而实现了混合算法的优化。算例结果表明,该算法对于病态方程组的求解效果明显优于一般的遗传算法和共轭梯度法。     

基于粒子群算法的病态线性方程组求解

输入数据的微小扰动或计算过程中的舍入误差都可能引起病态线性方程组输出数据的很大扰动,使解严重失真,因此求解此类方程组相当困难。本文提出了一种基于粒子群算法的病态线性方程组求解方法,将病态线性方程组的求解转化为无约束优化问题来解决并通过数值仿真求解验证了该方法的可行性与有效性。     

ABS方法在求解非线性方程组中的一个应用

本文作了ＡＢＳ法求解病态线性方程组的数值试验,所得结果表明,它比共轭斜量法解病态线性方程更有效;提出了在求解非线性方程组中用ＡＢＳ法解线性方程组的组合迭代算法;讨论了组合迭代法的局部收敛性和Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ收敛性。     

关于实nxn非奇异病态线性代数方程组数值解法的进展

据中国科学院计算中心的不完全统计,工程实践中提出的计算问题,有一半以上包括求解线性方程组问题,例如结构应力分析问题,电力传输网分析问题,大地测量问题,数据拟合问题,各种晶体管分析问题等等。求解线性方程组的最普遍来源之一是用差分方程组来逼近求解常微或偏微分方程问题,对于某些问题来说,此差分方程组是病态的线性代数方程组。求解线代数方程组的第二个非常重要的来源是线性最小二乘     

解病态线性方程组的遗传算法

提出了求解病态线性方程组的一种新方法－遗传算法，这是一种模拟自然遗传和达尔文进化理论的并行随机优化算法，首先，详细描述了遗传算法，然后，为了应用遗传算法，将病态线性方程的求解转化为无约束优化问题来解决，最后，给出计算机模拟结果并与其他方法作了比较。     

基于神经网络的病态线性方程组求解

提出了一种基于神经网络的病态线性方程组求解方法。将病态线性方程组的一般系数矩阵转化为对称正定矩阵，然后将此方程组的求解转化为一个无约束优化问题。以此优化问题的目标函数作为神经网络的能量函数，利用最速下降原理构造神经网络的动力学方程，并证明该神经网络系统的稳定性。从而把原病态线性方程组的求解问题转化为一个等价的神经网络优化问题。最后通过两个算例的数值仿真求解以及与其他求解方法的比较，验证了该方法的可行性与有效性。     

应用自适应混合遗传算法求解病态线性方程组

简单遗传算法(SGA)在进化的后期由于种群个体的多样性急剧降低,可能会收敛于局部最优解,即出现早熟现象。针对简单遗传算法的早熟问题,从选择、交叉和变异三个遗传算子入手,设计了自适应遗传算子。同时为了克服SGA局部搜索能力差的缺点,结合共轭梯度法,实现了一种自适应混合遗传算法(Adaptive GA-conjugate gradient,即AGA-CG)。以核磁共振测井曲线线性化后的大型病态方程组为测试实例,对AGA-CG算法进行了验证。实验结果表明:AGA-CG算法是求解大型病态线性方程组的一种有效算法。     

一维问题m次lagrange形函数有限元方程的条件数与预处理

求解大型稀疏病态线性方程组是科学计算和工程应用中经常遇到的重要问题,通过预处理、降低条件数来改善病态是解决该问题的关键。在用有限元方法求解积分形式的一维两点边值问题时,利用m次lagrange形函数可将该问题的求解化成稀疏病态有限元方程组的求解。本文研究该方程组的特殊结构,分析了该方程的条件数,再将系数矩阵的大范数部分分解成4个结构特殊的简单矩阵乘积,基于这种特殊分解设计出预条件子,并对预条件子的性能进行了定量分析,结果说明该预条件子几乎不增加迭代的计算量,预处理后的条件数接近1。     

一种自适应混合遗传算法在求解病态线性方程组中的应用

简单遗传算法（SGA）在进化的后期由于种群个体的多样性急剧降低,可能会收敛于局部最优解,即出现“早熟”现象。针对简单遗传算法的早熟问题,从选择、交叉和变异三个遗传算子入手,设计了自适应遗传算子。同时为了克服SGA局部搜索能力差的缺点,结合共轭梯度法,实现了一种自适应混合遗传算法（Adaptive GA-conjugate gradient,即AGA-CG）。以核磁共振测井曲线线性化后的大型病态方程组为测试实例,对AGA-CG算法进行了验证。实验结果表明：AGA-CG算法是求解大型病态线性方程组的一种有效算法。     

求解病态线性方程组的共轭向量基算法

结合最速下降法计算量小和共轭方向法收敛速度快的特点,提出了一种求解病态方程组的共轭向量基的方法。线性方程组的精确解能够由共轭向量基线性表示,利用迭代的方式给出了构造共轭向量基以及对应系数的方法,证明了算法所构造的向量基的共轭性。同时给出了一个改进算法以适合不同精度要求,加快迭代的收敛速度。通过对5000阶的Hilbert方程组进行求解,结果的相对误差小于0.45％,并与当前普遍使用有效的方法进行了比较,数值实验结果表明,该算法适合求解大型病态线性方程组,且具有快速收敛,精度较高的特性。     

关于求解病态和奇异方程组的Marchuk算法的註记

本文讨论了求解病态和奇异线性方程组的Marchuk算法在具体实现中的某些数值计算问题(例如,正则方程的求解及其初始近似的选择等),给出了将该算法应用于对称正定方程求解时得到的一个特殊结果。基于上述讨论,给出了一个具体的Marchuk算法;对于一些高度病态方程组求解的数值试验表明,这个算法具有很好的数值稳定性,而且计算量不大。     

求解对称正定线性方程组的正交基变换方法

求解对称正定线性方程组是线性代数和数值分析一项重要内容.通过证明对称正定线性方程组与函数逼近理论中正规方程组一一对应,将对称正定线性方程组类比为函数逼近理论中正规方程组,利用施密特正交化方法将对称正定线性方程组转化为对角方程组进行求解,提出并推导了求解对称正定线性方程组的正交基变换方法.数值算例表明该算法有效、可靠,且计算量小于平方根法.为求解对称正定线性方程组提供了新方法.     

求解非对称线性方程组的总体拟极小向后扰动方法

在利用QPMR方法求解非对称线性方程组(尤其是病态方程组)的Lanczos过程中通常会发生算法中断或数值不稳定的情况．为解决这个问题，将求解非对称线性方程组的QMR方法与总体向后扰动范数拟极小化的技巧相结合，给出求解非对称线性方程组的总体拟极小向后扰动方法(TQMBACK方法)，同时，为减少存储量和运算量，新算法将采用重新开始的循环格式，通常人们采用残量范数作为判断算法终止的准则，但是，当近似解非常接近真值时，残量范数是小的，而反过来不一定，为克服残量范数作为算法终止准则的不足，将总体向后扰动范数作为判断算法终止的准则，得到求解非对称线性方程组的循环总体拟极小向后扰动方法(RTQMBAK方法)，数值实验表明，新算法比Lanczos方法和QMR方法收敛速度更快．而且，新算法对求解病态的非对称线性方程组很有效。     

预处理共轭梯度法在电磁正演中的应用

对于电磁场中的正演数值模拟,不论采取何种方法,最后都演变成求解一个规模庞大的线性方程组;而方程组的解法对数值计算的求解效率及精度起很大的决定作用。利用Pascal矩阵预处理共轭梯度法,克服了复线性方程组中系数矩阵病态特性和加快收敛速度,不但提高了正演计算速度和精度,而且保证了求解的数值稳定性及高效性。经粗细网格不同剖分方式验证,该算法可行有效。     

一类抛物型方程逆时反演的正则化方法

在文献[9]的基础上,采用修正泛函含有一个导数的项作为惩罚项,这样保证方程的解具有一定的光滑性。为了克服反问题的不适定性,利用正则化思想,把原问题分解为一系列适定的正问题和一个病态线性代数方程组。利用无条件稳定的Crank-Nicolson有限差分格式求解正问题和用截断奇异值分解法求解病态线性方程组。数值结果验证了正则化方法的可行性和有效性。     

求解具有多个右端项线性方程组的总体GMERR算法

提出求解具有多个右端项大规模非对称线性方程组AX=B的一个新方法.广义最小误差(GMERR)方法用于求解AX=B时,需要对每一个右端项分别求解,运算量大,并且求解一个线性方程组的信息不能有效的应用于另一个方程组.针对以上不足,将初始残量矩阵总体投影在一个Krylov子空间上,得到总体广义最小误差方法(总体GMERR方法)及相关性质.数值实验结果表明新方法比用GMERR算法分别求解每一个同系数矩阵而右端项不同的方程组更为有效.     

病态线性方程组的并行迭代求解

分析了病态线性方程组的相关概念及判别方法,给出了一种病态线性方程组并行迭代的求解算法。算法首先对病态线性方程组的系数矩阵进行严格对角占优预处理,在此基础上,用并行的Jacobi迭代法进行多步迭代求解。新算法易于在多核架构的微机中实现,且数值实验也验证了算法具有良好的收敛性和并行性。     

遗传算法在非常态方程组求解中的应用

给出了用遗传算法求解非常态线性方程组时需要考虑的若干问题,并以求解一个非常态线性方程组为例,验证了遗传算法的有效性     

基于变量相关性分解方法的稀疏线性方程组并行求解算法

稀疏线性方程组的求解是许多大规模科学计算任务的核心环节。目前,并行算法的发展为稀疏线性方程组的求解提供了新的思路和强有力的工具。然而,现有的并行算法存在一些缺陷,如最优子矩阵的划分难以获得、并行任务间的同步开销较大等。针对上述问题,该文提出一种基于变量相关性分解方法的稀疏线性方程组并行求解算法。该算法首先对系数矩阵进行不完全LU分解,得到上三角和下三角方程组,然后在这2个方程组求解过程中利用y与x的关系分解变量的相关性,同时并行计算变量的独立部分值,最后将所有的独立部分值相加得到变量的最终值。由于算法中变量的求解无需等待其所有前继变量计算完成即可进行部分值计算,因此有效减少了算法的执行时间,进而提高了算法的求解速度及并行度。实验结果表明:与调用cusparse库函数实现的并行求解方法相比,该文提出的算法能将稀疏线性方程组的求解速度提升了50%以上。     

求解线性方程组的超几何球法

由解析几何观点知道,线性方程组解的几何意义是方程组中各个方程所代表的超平面的交点.根据直径对应的圆周角是直角以及直角三角形中短边对小角的原理进一步知道,当将初始点向线性方程组中各个方程所代表的超平面上投影得到投影点时,初始点和其任何一个投影点及方程组的解点都将位于一个相应的超球面上,其中必定存在一个投影点离问题解点的距离最短,即把该点作为下一次迭代的初始点,从而可将线性方程组求解的问题变成球面上逼近解点的迭代问题.利用此方法通过计算几个良(病)态线性方程组算例,说明该方法不仅具有一定的抗病态性,而且简单实用.