K_（1，n）－free图的［a，b］－因子

一个图称为Ｋ１，ｎ－ｆｒｅｅ图如果它不含Ｋ１，ｎ作为其导出子图．文中讨论了Ｋ１，ｎ－ｆｒｅｅ图有［ａ，ｂ］－因子的一些充分条件．     

三星体R_（n－p，n，n＋p）（P＝1，2）是强优美树

引入强优美树概念，证明了三星体Ｒ＿［（ｎ－ｐ），ｎ，ｎ＋ｐ］（ｎ为自然数；ｐ＝１．２）是强优美树，从而得到四星体Ｒ＿［（ｎ－ｐ），ｎ，ｎ＋ｐ，ｍ］（ｍ，ｎ为自然数；ｐ＝１，２）是优美树的结果。     

抽屉图D（n1;j2,n2;j3,n3;...;jm,nm）的K—优美性

给出了抽屉图Ｄ（ｎ１，ｊ２，ｎ２；ｊ３，ｎ３．．．；ｊｍ，ｎｍ）的定义及其顶点集的Ｋ－优美性的标号，所得结果不仅推广了（１）中定理１，而且推广了（２）中的结果。     

圈长分布确定的偶图K_（n，n）A_3

阶为ｎ的图Ｇ的圈长分布是序列（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ），其中Ｃｉ是图Ｇ中圈长为ｉ的圈数．本文得到了如下结果：设则是由它的圈长分布确定的．并给出了Ｋｎ，ｎ－Ａ３在各种情形下的圈数计算公式．     

优美图的性质和5类C4k∪Pn的优美性

给出了优美图的一些性质，证明了ｎ＝２ｋ，２ｋ＋１，２ｋ＋３，２ｋ，２ｋ＋４和３ｋ时，Ｃ４Ｋ∪Ｐｎ是优美的。     

完全三部图K（n,n,n＋k）的色性

设Ｇ为简单图,Ｐ（Ｇ,λ）为Ｇ的色多项式。若对任意简单图Ｈ满足Ｐ（Ｈ,λ）＝Ｐ（Ｇ,λ）,都有Ｈ与Ｇ同构,则称Ｇ是色唯一图,设Ｋ（ｍ,ｎ,ｒ）表示完全三部图。证明了（１）对任意非负整数ｋ,若ｎ≥ｋ＋ｋ＾２／３,则Ｋ（ｎ,ｎ,ｎ＋ｋ）是色唯;（２）若ｎ≥４,则Ｋ（ｎ,ｎ,ｎ＋４）是色唯一图。     

图C2n∪P2的优美性

对任意正整数ｎ，图Ｃ２ｎ∪Ｐ２的优美性被证实。     

K1,n—free图的（a,b）—因子

一个图称为Ｋ１，ｎ－ｆｒｅｅ图如何它不含Ｋ１，ｎ作为其导出子图，文中讨论了Ｋ１，ｎ－ｆｒｅｅ图有（ａ，ｂ）－因子有一些充分条件。     

关于图K_n（1，1；m，m′）的色多项式

本文利用图Ｋ_ｎ（１，ｍ）的色多项式，求出图Ｋ_ｎ（１，１；ｍ）的色多项式。从而求出更一般的一类图Ｋ_ｎ（１，１；ｍ，ｍ＇）的色多项式。推广了韩伯棠（１９８６）的结论（ｍ，ｍ＇，ｎ为自然数）．     

关于完全三部图K(n-k,n,n+k)的色性

设Ｇ为简单图,Ｐ（Ｇ,λ）的色多项式,若对任意简单图Ｈ满足Ｐ（Ｈ,λ）＝Ｐ（Ｇ,λ）,都有Ｈ与Ｇ同构,则称Ｇ是色唯一图,设Ｋ（ｍ,ｎ,ｒ）表示完全三部图,证明了：（１）对任意非负整数ｋ,若ｎ≥２√－３ｋ／３＋ｋ＾２,则Ｋ（ｎ－ｋ,ｎ,ｎ＋ｋ）是色唯一图。（２）若ｎ≥９,则Ｋ（ｎ－３,ｎ,ｎ＋３）是色唯一图。     

全图的优美性研究

本文研究完全图、完全多部图的优美性,主要得到以下结论：完全图Kn是优美图的充要条件是该图的顶点数不超过4,完全多部图K1,m,n、K2,m,n都存在优美标号算法,从而说明它们都是优美图等．     

两类非连通图优美性的研究

给出了两类非连通图(K2〖TX-〗∨Cn)∪[DD(]3[]i=1[DD)]St(mi)和(K2〖TX-〗∨C2n+k)∪St(m)∪G(k)n-1(k=1,2), 并证明了如下结论:对自然数n, m, m1, m2, m3, 设s=〖JB(［〗〖SX(〗n〖〗2〖SX)〗〖JB)］〗, n≥9, m1≥s+2, 则图(K2〖TX-〗∨Cn)∪[DD(]3[]i=1[DD)]St(mi)是一个优美图; 对 k=1,2,设n, m≥3, G(k)n-1是一个具有n-1条边的k-优美图,则图(K2〖TX-〗∨C2n+k)∪St(m)∪G(k)n-1是一个优美图。 其中,K2是一个具有2个顶点的完全图,K2〖TX-〗是图K2的补图,K2〖TX-〗∨Cn是图K2和n圈Cn的联图, St(m)是一个具有m+1个顶点的星形树。     

几类和扇有关图的优美性

证明下面的结论:对任意自然数n≥2,图(K_1∨(P_n∪P_(n+1)))是(n-1)-强优美图.对任意自然数n≥3,图(K_1∨P_n~((1))∪P_n~((2))))∪G是优美图;对任意自然数n≥4,图(K _1∨(P_n~((1))∪P_n~((2))∪P_n~((3)))∪H是优美图,其中k=[n/2].P_n是n个顶点的路,G_i为含有i条边的优美图.给定优美图G_(n-1)和其优美标号f,G_(k-1)和其优美标号g,设u∈G_(n-1),v∈G_(k-1)且f(u)=g(v)=0,取不同的两边xy和x′y′,点x与u合并后得到的图记为G,点x′与v合并后得到的图记为H.     

非连通图Wmk∪G的优美性

文章证明了对任意自然数n≥1,p≥1,k≥1,当m1=2p+3或2p+4时,图W(k)m1∪Kn,p为优美图,其中Wm1(k)为由k个轮Wmi(i=1,2,…,k)的中心顶点合并后构成的连通图;当m1≥3,n≥[m1/2]时,非连通图Wm1(k)∪St(n)为优美图;对任意自然数p≥1,图W2p+2+i(k)∪Gip为优美图,其中,Gpi表示p条边的i-优美图(i=1,2);对任意自然数n≥1,当m1=2n+5时,图Wm1(k)∪(C3∨■)为优美图。     

K-优美图与优美图Gk-1的优美性研究

对k-优美图n,Km,n与任意一个有k-1条边的优美图Gk-1的优美关系进行了研究.证明了:当n为奇数时,图n∪Gk-1是优美图;当n为偶数时,粘接图〈n,Gk-1〉是优美图.还证明了粘接图〈Km,n,Gk-1〉是优美图.     

非连通图(P1∨Pn)∪Gr和(P1∨Pn)∪(P3∨r)及Wn∪St(m)的优美性

讨论非连通图((P₁∨P_n)∪G_r和(P₁∨P_n)∪(P₃∨_r)及W_n∪St(m)的优美性, 证明了如下结论： 设n,m为任意正整数, s=［n/2］, r=s-1, G_r是任意具有r条边的优美图, 则当n≥4时, 非连通图((P₁∨P_n)∪G_r和(P₁∨P_n)∪(P₃∨_r)是优美图； 当n≥3, m≥s时, 非连通图W_n∪St(m)是优美图. 其中, P_n是n个顶点的路, K_n是n个顶点的完全图, n是K_n的补图, G₁∨G₂是图G₁与G₂的联图, W_n是n+1个顶点的轮图, St(m)是m+1个顶点的星形树.     

一类链图的优美性

对于由k个完全二部图K2,m1,K2,m2,…,K2,mk(其中k,n,m1,m2,…,mk为大于1的正整数)经过不同的粘接方法而得到的链图T1、链图T2、链图T5的优美性进行了研究。在此基础上对由链图T1和长为n的路Pn的一个端点粘接得到的链图T3和链图T2与长为n的路Pn的一个端点粘接得到的链图T4的优美性进行了研究。用构造的方法给出了这几类图的优美标号,得出这些图都是优美图。这样将m1,m2,…,mk的值均为2的范围扩大到大于1的正整数,从而拓宽了优美图及其应用的道路。最后提出了将链图T1、T2、T3、T4、T5分别首尾粘接而得到的一些图是优美图的猜想。     

非连通图(K1∨(P(1)n∪ P(2)n)) ∪ P(3)n及(K1∨(P(1)n∪ P(2)n)) ∪ P(3)n∪ St(n)的优美性

 给出了非连通图(K₁∨(P⁽¹⁾_n∪ P⁽²⁾_n)) ∪ P⁽³⁾_n和(K₁∨(P⁽¹⁾_n∪ P⁽²⁾_n)) ∪ P⁽³⁾_n∪ St(n),且对其优美性进行了研究。证明了如下结论：设 n 为任意正整数,则当n≥4时,非连通图 (K₁∨(P⁽¹⁾_n∪ P⁽²⁾_n)) ∪ P⁽³⁾_n和(K₁∨(P⁽¹⁾_n∪ P⁽²⁾_n)) ∪ P⁽³⁾_n∪ St(n)均是优美图;其中,Pn 是 n 个顶点的路,Kn 是n个顶点的完全图, St(n) 是 n+1 个顶点的星形树,G₁ ∨ G₂ 是图 G1 与 G2 的联图。     

双圈图的优美性

针对双圈图, 设计一种图的优美性判定算法, 并对17个点内的所有双圈图进行优美性验证, 得到了该范围内所有的优美图和非优美图. 结果表明, 在17个顶点范围内, 除∞ 型双圈图C_(m,n)外, 其余所有双圈图都是优美的, 其中(m+n)(mod 4)={1,2}. 最后给出该类图的非优美证明, 并进一步猜测当顶点数大于17时, 该结论仍成立.     

二部图的K1，4—因子分解

Km,n的K1,k－因子分解问题已被多位研究者所研究,当k=2时Km,n具有K1,2－因子分解的存在性问题已被Ushio完全解决,当k=3时,Wang研究了Km,n的K1,3－因子分解问题,并给出了Km,n具有K1,3－因子分解的一个充分条件,本文研究Km,n的K1,4－因子分解问题,并给出Km,n具有K1,4－因子分解的一个充分条件。