关于Chowla的一个猜想的注记

在1978年的国际数学家大会上,R.Ap(?)ry给出了ζ(3)sum from n=1 to ∞1/n~3是无理数的证明.为此,R.Ap(?)ry 定义了一个迭代数列a_n:a_n=1,a_1=5,n~3a_n-(34n~3-51n~2+27n-5)a(n-1)+(n-1)~3a_n-2=0,它满足a_n=sum k=0 to n (n/k)~2 (n+k/k)~2.这以后,很多人对Ap(?)ry 数a_n 进行了研究,并提出了一些猜想.姚琦证明了Chowla提出的关于a_n 的一个猜想:对一切素数p≥5,有a_p=5(modp~3).本文则证明了定理对于正整数l 及素数p≥5,有     

de Bruijn-Good图的同态

设F_2~n是二元域F_2上的n维向量空间,其中n≥1。以F_2~n的2~n个元作顶点,从每一个顶点a=(a_0,a_1,…,a_(n-1))出发,向顶点b=(a_1,a_2,…,a_(n-1),0)和b′=(a_1,…,a_(n-1),1)各做一条有向弧,得到一个有向图G_n,称为n级de Bruijn-Good图。从顶点a=(a_0,a_1,…,a_(n-1))到顶点b=(a_1,…,a_(n-1),a_n)的有向弧记作a→b或记作(a_0,a_1,…,a_(n-1),a_n)。因此G_n是以F_2~n为顶点集,F_2~(n 1)为弧集的有向图,即有G_n=(F_2~n,F_2~(n 1))。     

在第三项系数限制下单叶函数的比勃巴赫猜想

设S是由在|Z|<1内单叶且解析的函数f(Z)=Z a_2Z~2 a_3Z~3 …的全体所成的函数族。1916年,比勃巴赫猜想:若f∈S,则|a_n|≤n,n=2,3,…,对所有n等号仅当寇勃函数f(Z)=Z/(1—Z)~2及其旋转成立。我们知道,当n≤6时,|a_n|≤n,且其极值     

Vandermonde方程解的复杂性

一、引言 设V(a_1,a_2,…,a_n)=(a_(j+1)~i)_(i,j=0)~(n-1)为复数域上的n阶Vandermonde矩阵,简记V.若V可逆,即a_i≠a_j(i≠j,i,j,=1,2,…,n)时,用Causs消元容易给出方程 Vx=c (1.1)     

环Z/(2e)上本原序列最高权位的0,1分布(Ⅱ)

设f(x)=x~n c_(n-1)x~(n-1) … C_0是Z/(2~e)上首一多项式,适合关系式a_(i n)=-(c_0a_i c_1a_(i 1) … c_(n-1)a_(i n-1)),i=0,1,2,…(1)的Z/(2~e)上序列a=(a_0,a_1,…)称由f(x)生成的线性递归序列,由f(x)生成的Z/(2~e)上的所有序列的集合记为G(f(x))_e,并记G’(f(x))_e={a∈G(f(x))_e│a≠0 mod 2}.递归式(1)等价于关系式f(x)a=0=(0,0,…),其中x表示移位算子,即xa=(a_1,a_2,a_3,…).Z/(2~e)上序列a有唯一权位分解a=a_0 a_12 … a_(e-1)2~(e-1),其中a_i=(a_(i0),a_(i1),…)是0,1序列,并称a_i是a的第i权位序列,称a_(e-1)为a的最高权位序列.对Z/(2~e)上首一n次多项式f(x),若f(0)(即c_0)是可逆元,则由文献[1],f(x)的周期per(f(x))_e≤2~(e-1)(2~n-1).当per(f(x))=2~(e-1)(2~n-1)时,称f(x)是Z/(2~e)上n次本原多项式,并称G’(f(x))_e中序列为f(x)生成的本原序列.文献[2]给出了本原多项式的系数     

关于广义Ramanujan-Nagell方程(Ⅱ)

设D是非平方整数,p是奇素数,p D对于给定的D和p,以N(D,p)表示方程x~2—D=p~n,x>8,n>0 (1)的整数解x、n的个数。对此,Apéry (C. R. Acad.Sci. Paris, 251(1960), 1451—1452)证明了:当D<0,D≡1(mod4)且D无平方因子时,N(D,p)≤2。Bender和Herzberg(Studies in Algerbra and     

一个数值微分公式的余项

微分插值公式f(x)=H_n(x)+R_n(x) (1)导出数值微分公式f(k)(x)=H_n~(k)(x)+R_n~(k)(x) (o≤k≤n),(2)这里H_n(x)为函数f(x)的n次插值多项式。设其节点为a_0,a_1,…a_n,则(1)式的余项可     

用Fourier部分和子列的线性平均逼近周期函数

设f(x)∈L_(2x),f(x)～a_0/2 sum from n=1 to ∞a_n cos nx b_n·sin nx。以s_n(f,x)表示其第n部分和。设M={m_j}为自然数子列,记σ_n~a(M,f;x)=1/((a)_v)sum from j=0 to n(a-1)_(n-j)s_m_j(f,x),其中(a)_v=(a v 1)/(a 1)(v 1)。对于空间X=L_(2x)或G_(2n)以E_v(f)_x表示在X中用阶不     

Fitz Gerald不等式的另一改进形式

记S为在|z|<1中正则单叶的函数,f(x)=z+sum from n=2 to ∞ a_nz~n的全体,1972年,Fitz Ceraid建立了重要不等式,由此可以推出:|a_n|<1..0657n对任意n都成立以及若|a_n|<1.64,则|a_n|相似文献   

自然数因子分解的幂指数的渐近式(Ⅰ)

设n=P_1~(α_1)P_2~(α_2)…p_r~(α_r),定义h(n)=min(α_1,α_2,…,α_r)。P.Erd(?)s猜想: sum from j=1 to n(h(j)=n c(n~(1/2)) o(n~(1/2))), 此处c=ζ(3/2)/ζ(3),ζ(s)表示Riemnan-zeta函数。     

H-B插值的余项表示

本文将王兴华在本刊1979年19期上的一个工作推广到H-B插值的情形。设H是函数f的n次H-B插值多项式,它在节点a_0,…,a_(p-1)(0≤p-1≤n)上插值f且满足(a_(p 1)=H~(k_1)(i=0,…,n—p),其中0≤k_1≤n。     

离散线性系统稳定性的一个定理

离散线性定常系统的极点由它的特征多项式f(z)=z~n a_1z~(n-1) … a_(n-1)z a_n (1)的根r_n给出,当其所有特征根|r_k|<1时,系统绝对稳定。Berger(Int,J.Control,35(1982),1073)基于参数空间理论,使用数值计算方法得到,当     

二元周期序列相关函数的估计

引言一个二元序列是指a=(a_1,a_2,…,a_n,…),其中a_n=+1或-1.(1)以A_n表示满足条件a_1=a_(n+1) (i=1,2,…)的二元序列全体,显然|A_n|=2~n。这里|A_n|表示集合A_n的元素个数。设(1)式中的二元序列a∈A_n,在数字通信等领域中广泛采用下面两种自相关函数:     

关于二类Riemann Zeta函数恒等式的二个递推公式

对任意的复数s,设ζ(s)表示RiemannZeta函数,当Re(s)>1时有ζ(s)=sum from n=1 to∞(1/n~s).定义A(n,k,l)=sum from a_1 a_2 … a_k=n(a_1a_2…a_k)~1ζ(2a_1)…ζ(2a_k),(1)其中n≥k为整数,a_1 a_2 … a_k=n表示对所有满足该式的k维正整数组(a_1,a_2,…,a_k)求和,本文的主要目的是研究(1)式的求和计算问题.     

关于二类Riemann Zeta函数恒等式的二个递推公式

<正>对任意的复数s,设ζ(s)表示RiemannZeta函数,当Re(s)>1时有ζ(s)=sum from n=1 to∞(1/n~s).定义A(n,k,l)=sum from a_1+a_2+…+a_k=n(a_1a_2…a_k)~1ζ(2a_1)…ζ(2a_k),(1)其中n≥k为整数,a_1+a_2+…+a_k=n表示对所有满足该式的k维正整数组(a_1,a_2,…,a_k)求和,本文的主要目的是研究(1)式的求和计算问题.     

单叶函数系数的上界估计

记S为单位圆上单叶解析函数f(z)=z+a_2z~2+…的全体。Bieberbach猜想认为:设f(z)=z+(sum from n=2 to ∞) a_nz~n∈S,则|a_n|≤n,n=2,3,…。对这一猜想一般有几种研究方式。其中之一是证明     

超越连分数

一、引言和结果如果(a_n)和(b_n),n=1,2,…,是两个正整数序列,在Perron的记号下,实无理数A和B分别定义为简单连分数[a_1,a_2,a_3,…]和[b_1,b_2,b_3,…]。本文的目的是在比文献[2]和[3]给出的稍微弱的条件下,建立如下的结果:     

关于常系数齐次线性差分方程解的显式表示

根据经典方法,m阶常系数齐次线性差分方程 y_(n m)=a_1y_(n m-1) a_2y_(n m-2) … a_my_n=(?)a_iy_(n m-i,a_m≠0,n≥0 (1)满足初始条件y_0,y_1,…,y_(m-1)的解可表成y_(n m)=y_(n m)(n,r_1,r_2,…r_m,c_1,c_2,…,c_m)     

广义Kac-Moody代数模的权链与权集

广义Kac-Moody代数的概念是由Borcherds首先引入的,普通Kac-Moody代数的许多结果都可推广到其上去(详见文献[1]和[2]中§11.13),本文讨论了广义Kac-Moody代数模L(A)的权链和权集的某些性质.设A=(a_(ij))_(n×n)为一实矩阵且满足(Cl)a_(li)=2或a_(ii)≤0,(C2)a_(ij)≤O,如果i≠j;a_(ij)∈Z,如果a_(ii)=2,(C3)a_(ij)=O当且仅当a_(ji)=0,     

在|a_2|和|a_3|限制下的Bieberbach猜测

设S表示在单位圆|x|<1内正则单叶函数f(x)构成的族,f(z)具有展式f(z)=z sum from n=2 to ∞ a_mz~m.记t_n(r)=6_(n-1)~2-rb_n~2 b_(n 1)(r>0).我