关于素中心的正则环

如果Ｒ是具有素中心的环,则Ｒ是ＳＦ－环,当且仅当Ｒ是正则环,也肖且仅当Ｒ是强正则环。这成立的充要条件是对每个平坦左Ｒ－模Ｍ及φ∈ＥｎｄＲＭ,Ｓｏｃ（Ｍ／Ｉｍφ）是平坦。我们同时证明了若正则环Ｒ具有素中心,则所有单左（右）Ｒ－模是内射的。     

关于正则环的几点注记

环Ｒ称为左（右）ＳＦ）环，如果所有单左（右）Ｒ－模是平坦的。环Ｒ称为Ｉ－环，如果Ｒ的每个非零左理想含有非零幂等元。在本文中，我们证明了如下主要结果：（一）对于环Ｒ，如下条件是等价的：（１）Ｒ是Ａｒｔｉｎ半单环；（２）Ｒ是左ＳＦ－环县Ｒ／Ｚ（ＲＲ）是Ａｒｔｉｎ单环；（３）Ｒ是左非奇异的，左ＳＦ－环县ＲＲ具有有限秩；（４）Ｒ是正交有限的Ｉ－环。（二）Ｒ是基层不为零的正则左自内射环当县仅当Ｒ是包含非奇异     

本质左理想是双边理想的V－环

环Ｒ叫做左（右）Ｖ－环，如果每个单左（右）Ｒ－模是内射模．本文证明了，如果Ｒ是完全幂等ＥＬＴ－环，那么Ｒ是正则环。因此肯定回答了Ｒ．ＹｕｅＣｈｉＭｉｎｇ提出的问题：本质左理想是双边理想的左Ｖ一环是正则环吗？     

上平坦模刻划的环

利用FP内射模、上平坦模对半遗传环、pp环、正则环、IF环进行若干有意义的刻划：1）R是右pp环当且仅当p-内射模的同态像是p-内射模;2）R是右半遗传环当且仅当任一右R－模的两个上平坦子模的上平坦;3）R是右IF环当且仅当R是左凝聚环和左上平坦环;4）R是正则环当且仅当R是右IF环、右pp环,且对每个右p-内射模M,RM平坦。     

Von Neumann正则环和P－V－环

本文中，我们证明了如下结果：（１）环Ｒ是强正则的当且仅当Ｒ是左Ｐ－Ｖ－环且Ｒ的每个极大左理想是拟理想；（２）环Ｒ是强正则的当且仅当Ｒ是半素的且Ｒ的主左理想的极大左次理想是Ｒ的理想，所以有效推广了Ｋａｐｌａｎｓｋｙ的如下结果：可换环Ｒ是ＶｏｎＮｅｕｍａｎｎ正则的当且仅当每一个单Ｒ－模是内射的。     

正则环的若干刻画

利用ACS环、pp环、弱连续环等给出正则环的若干刻画：1）R是正则环当且仅当R是左C2环和左pp环当且仅当R是左ACS环、在C2环和左非奇异环；2）R是强正则环当且仅当对每个α∈R，有ι（α）的R的理想，且奇异单右R－模是平坦模当且仅当R是右SF环，且对每个α∈R，有ι（α）是R的理想。     

关于右RIC环

本文的主要目的是讨论Ｓｍｉｔｈ提出的两个公开问题,这两个问题是：（１）右ＰＣＩ 否为右ＳＩ环？（２）右ＲＩＣ环→右ＣＥＰＩ环和右ＣＥＰＩ环→右ＳＩ环是否成立？本文对上述上公开问题给出了肯定的回答,并且证明了：（１）设Ｒ是右ＲＩＣ环,若Ｍ１是ＣＳ模,Ｍ２是半单模,则Ｍ１＋Ｍ２是ＣＳ模;（２）设Ｒ昌左Ｎｏｅｔｈｅｒ在ＲＩＣ环,则每个有限生成右Ｒ－模满足限制极小条件。     

右半Duo Л－正则环

本文的目的是推广Ｂａｄａｕｉ的结果，假定Ｒ是右半Ｄｕｏ环，我们证明了：（１）Ｒ是Л－正则环当且仅当Ｒ是单位Л－正则环；（２）Ｒ是强Л－正则环当且仅当对任意ａ∈Ｒ存在ｅ∈Ｉｄ（Ｒ），ｕ∈Ｕ（Ｒ）和ｂ∈Ｋ（Ｒ）使ａ＝ｅｕ＋ｂ；（３）Л－正则环的每一个元素是Ｒ中两个可逆元素之和当且仅当Ｒ中每个幂等元是Ｒ的两个可逆元素之和．     

MPI环与正则环

利用局部化的方法讨论可换正则环，ＭＰＩ环的性质．证明了可换环Ｒ正则等价于Ｒ的每个准素理想为极大理想，也等价于每个循环Ｒ模的准素子模为极大子模．对可换环Ｒ，我们证明了以下条件等价：１）Ｒ为ＭＰＩ环，２）．．．稳定．３）ｎ＞０，ｒ∈Ｒ使ｘｎ＝ｘｎ十１ｒ，４）循环Ｒ模的素子模极大．最后还讨论了ＭＰＩ环与弱半局部环及半局部环的关系，证明了ＭＰＩ环为半局部环的充要条件是每个真理想有准素分解．     

单位正则环和SF-环

环 R 称为左SF-环,如果每个单左 R- 模是平坦的.众所周知,单位正则环是SF-环,但SF-环是否为单位正则却未有结果.本文主要研究左SF-环成为单位正则环的条件及在一定条件下SF-环与单位正则环的等价性.     

关于n-强Gorenstein FP-内射模的注记

研究了n-强GorensteinFP-内射模,证明了在左凝聚的右IF环上一个模肘是n-强GorensteinFP-内射模当且仅当对任意投射模N,N M是n-强GorensteinFP-内射模,并证明了在左右IF环上一个模M是n-强GorensteinFP-内射模当且仅当M是n-强Gorenstein平坦模。     

极小平坦模

给出极小平坦模和泛极小内射环的定义．指出一个环R是左泛极小内射环当且仅当每个右R-模是极小平坦模←→R的每个极小有限生成左理想是R的直和项．同时指出，右R-模M是极小平坦模当且仅当M^*=Homz(M，Q／Z)是极小内射左R-模，从而推广了正则环及平坦模的相关结果。     

4-IF环的刻画

引入了A-内射模和A-平坦模的定义,由此构造了A-伊环,利用平坦模和内射模给出了A-伊环的8个等价命题,得到了环R分别是伊环、A-正则环和正则环的充要条件,即：R是伊环,当且仅当只是A-伊环且A-平坦模的每个内射子模是平坦模;环R是A-正则环,当且仅当R是A-伊环且A-平坦模的子模是A-平坦模;环R是正则环,当且仅当R是A-伊环且A-平坦模的子模是平坦模。     

Richart模

本文引入左Richart模的概念．设M是左R模,若EndR(M)中任意元φ在M中的左零化子是M的直和项,则称M是左Richart模．左Richart模是左Richart环的推广．在文章中我们给出了左Richart环和左Richart模的等价刻画条件．探讨了Baer模和左Richart模的关系及左Richart模的性质:Baer模是左Richart模,而左Richart模不一定是Baer模;左Richart模的直和项是左Richart模,但左Richart模的直和不一定是左Richart模,我们给出了左Richart模对直和封闭的等价条件;并且证明了有限生成的Abel群是左Richart模当且仅当它是半单模或无挠模．此外,我们还探讨了左Richart模与一些重要的环、模类之间的关系,得到了左Richart模的自同态环是左Richart环,以及左Richart环的中心是VN-正则环．特别地,当模的自同态环是交换环时,模是左Richart模当且仅当它的自同态环是VN-正则环．     

关于半完全环上的投射模的一些研究

刻画了半完全环上的投射模,同时得到了关于半完全环上投射模的一些结果,如R是一个半完全环,那么每一个投射左R-模的任一不可分解的分解补极大直和项:每个有限生成的投射左R-模是一个非投射模的投射盖,总结和扩张了关于半完全环上的投射模的一些结果。     

FCG-投射模和FCGP-环

一个左R－模RA称为FCG－投射模，如果对于任一有限余生成模RM，A是M-投射的。环R称为FCGP－环，如果任一FCG－投射R－模都为投射模。给出了FCG－投射模的等价条件，并用FCG－投射模刻画了左V－环和半单环。讨论了FCGP－环的性质和等价条件，得出了R为半单环当且仅当R为左V－环且为FCGP－环，GCGP－环是Morita不变的。     

SF'-环的正则性

目的 环R的每一个单奇异的左(右)R-模是平坦的,则称R是左(右)SF'-环,文章研究SF'-环的正则性.方法 在幂等元是左半中心的和LANE-环的条件下讨论SF'-环.结果 得到了SF'-环是强正则环的两个充要条件:(1)R是左SF'-环,如果R/Z(RR)是约化的,则R是强正则环;(2)R是强正则环当且仅当R是满足幂等元左半中心的左SF'-环,且R是LANE-环.结论 这些结果对于解决SF-环是否是正则环有一定意义.     

Excellent 扩张环上Gorenstein投射模的性质

环论主要讨论其结构及分类,近年来特别对Gorenstein环的结构与分类以及维数不变量的研究很多,本文在Excellent扩张环上对Gorenstein投射模在两个环上的性质进行了比较.给出结论:若环S是环R的Excellent扩张,则模sM是G-Proj(Gorenstein投射模)的充要条件是sM是G-Proj,且模M作为S模和M模其Gorenstein投射维数相等,即GpdsM=GpdRM.     

GIac-内射模与GIac-平坦模的环刻画

引入GI_ac-内射模和GI_ac-平坦模的概念,是介于GI-内射模(或 GI-平坦模)与余纯内射模(或余纯平坦模)之间的一种模类.用上述模刻画了诸多环类,如:半单环、von Neumann 正则环、遗传环和半遗传环.