广义循环阵的逆阵

本文所讨论的广义循环阵,依赖于一个参数组R_1,R_2,…,R_(n-1),当它们都相等时,便是〔1〕中所讨论的r-循环阵;得到r-循环阵逆阵的一种简便算法——解一个方程组(而不是通常求逆阵所要解的n 个方程组,n≥2)。本文引进VDV_2分解的概念,这种分解类似于Cholesky 分解(〔3〕,即LDL~T 分解),对于讨论逆阵颇有益,利用这种分解得知可逆r-循环阵对乘法成群。广义循环阵的逆阵归结为解两个方程组,然后用三角阵乘积的组合,便构成广义循环阵的一个逆阵公式,这个公式〔2〕中列得有,但因其是结果汇编,无证明也无出处,本文是用分块阵来证的。     

求解一类T型线性方程组的快速算法

本文首先给出一个求解一类T型线性方程组的快速串行算法,它的复杂性是O(nlogn),比目前最好的O(n~2)算法复杂性要低。接着又指出了它的并行计算方案,在n台处理机的条件下,计算步数不超过O(logn),速度倍数是O(n),效率是O(1)。     

r—循环系统及有关算法的计算复杂性

本文引进了对称r—循环阵的新概念,给出了r—循环阵和对称r—循环阵的一些性质,并利用FFT(快速富里叶变换),证明了有关算法的计算复杂性为O(nlog_2n),这里n为矩阵的阶数。     

2个置换因子循环矩阵相乘的快速傅氏变换法

借助于快速傅氏变换(FFT)技术,给出了计算2个n阶置换因子循环矩阵之乘积阵的一种快速算法,其算术复杂性为O(nlog2n),最后给出一个算例.     

Loewner型方程组极小范数最小二乘解的快速算法

通过构造特殊分块矩阵并研究其三角分解,给出求以秩为n的m×nLoewner型矩阵为系数阵的线性方程组极小范数最小二乘解的快速算法,该算法的计算复杂度为O(mn)+O(n2),而一般方法的计算复杂度为O(mn2)+O(n3).     

准对角阵的指数

本文证明了以下结果:1.设A 是分块阵A=[A_1,A_2,…,A_■],其中A_■是r_■×r_■实矩阵(i=1,2,…s),那么Ind A=max{Ind A_■}.2.设A 是n×n 实矩阵,那么1)Ind AA~-=Ind A~-A=■2)Ind AA~ =Ind A~ A=■3.设A 和B 是同样的分块的准对角阵:A=[A_1,A_2…,A_■],B=[B_1,B_2…,B_■],其中A_■和B_■都是r_i×r_i 实矩阵(i=1,2,…,s),又设AB=BA,那么1)Ind AB≤max{Ind A,Ind B},2)Ind AB≤max{Ind A_■Ind B_i},3)如果A(或B)是可逆的,那么Ind(AB)=max{Ind A_i,Ind B_i}.     

复方阵的Hermite阵与酉阵和分解的存在性与唯一性

证明了n阶复方阵的Hermite阵与酉阵和分解定理 ,即对任一D∈Cn×n,T =12 (D D 0 ,W =12 (D -D ) ,存在唯一分解D =H U的充分必要条件为W的最大奇异值σ1(W )≤ 1,其中 表示共轭转置运算 ,H是Hermite阵 ,U是特征值的实部不小于零的酉阵 ,且H =T -I -A ,U =W I A ,A =λ1W2 λ2 W4 … λsW2s。此处λ1,λ2 ,… ,λs 是实常数 ,s是W的不同的非零奇异值的个数 ,I为n阶单位矩阵     

魔阵问题的一个算法

魔阵是一个n 阶方阵,由1到n~2这n~2个自然数组成(n 为奇数).在魔阵中,要求每一行,每一列以及两主对角线上的数字之和均相等.魔阵问题虽然是一个古典的数学游戏问题,但对它加以研究,可以给我们许多启发,对于研究程序设计的方法及技巧颇有脾(?).因此,各种有趣的魔阵构造,有许多是程序设计的好素材.在文献1中,提出了一种魔阵生成方法:“从顶上一行中间的1开始,然后走到顶头(?)     

Loewner型方程组极小范数最小二乘解的快速算法

通过构造特殊分块矩阵及其三角分解给出了求秩为n 的m×n阶Loewner型矩阵为系数阵的线性方程组极小范数最小二乘解的快速算法, 该算法的计算复杂度为O(mn)+O(n²), 而一般方法的计算复杂度为O(mn²)+O(n³) .     

GMANOVA模型中协方差阵扰动的影响分析

0 引言 Potthoff et al(1964)提出了如下的GMANOVA模型(常称为生长曲线模型):{Y=X1BX′2+ε/ε～Nn×p(0,V(○×)In)'(1.1)其中Y为n×p观测阵,X1,X2分别为n×k和p×q设计阵,B是待估参数阵,ε是误差阵,其n个行向量i.i.d. Np(0,V),V正定、未知. Kariya(1985)和潘建新(1991)讨论过模型(1.1)中B的估计问题.     

两个Toeplitz矩阵(或Hankel矩阵)相乘的快速算法

本文给出了两个n阶Toeplitz矩阵(或Hankcl矩阵)相乘以及Toeplitz矩阵与Hankel矩阵相乘的快速算法,这些算法的计算复杂性都为6n~2+O(nlog_2n)。     

Toeplitz矩阵相乘的快速算法

利用循环矩阵和反循环阵的性质,给出了两个一般Toeplitz矩阵相乘的快速算法,其运算量级为0(2n2)。     

（m,n）型二重（R,r）—循环矩阵的有关算法及计算复杂性

利用快速傅里叶变换（FFT）技术,给出了计算（m,n)型二重（R,r)－循环矩阵的全部特征值和两个（m,n)型二重（R,r)－循环矩阵相乘的快速算法,证明了它们的计算复杂性均为O（mnlog2mn)。     

关于Υ─循环矩阵的推广

给出了初等Υ－循环矩阵的新概念，并研究了它们的性质，还利用ＦＦＴ（快速富里叶变换）证明了有并算法的计算复杂性为Ｏ（ｎｌｏｇ＿２ｎ）这里ｎ为矩阵的阶数。     

2k阶r-循环矩阵开平方的快速算法

对n(=2k,k≥1阶r-循环矩阵的开平方运算进行了研究.利用矩阵分块逐次降阶的方法,给出了一个快速算法,用来计算r-循环矩阵的同型平方根矩阵(平方根矩阵也为r-循环矩阵).证明了同型平方根矩阵的个数为2",计算一个同型平方根矩阵的时间复杂性为O(nlog2n),计算全部同型平方根矩阵时间复杂性为O(n2nlog 2n).     

循环矩阵开平方的快速算法

利用快速傅立叶变换 (FFT) ,给出了 n阶循环矩阵开平方的一个快速算法 ,计算循环矩阵的同型平方根矩阵 (平方根矩阵也是循环矩阵 ) ,证明了同型平方根矩阵的个数为 2 n ,它是关于 n的指数函数 ;计算一个同型平方根矩阵的时间复杂性为 O(nlog2 n) ;计算全部同型平方根矩阵的时间复杂性为 O(n2 n) .     

三角Stein方程的systolic算法

提出一种新的ｓｙｓｔｏｌｉｃ实现方法计算三角Ｓｔｅｉｎ方程．可将原复杂性为Ｏ（ｍ２ｎ２）的串行算法在处理器为Ｏ（ｍ２）的ｓｙｓｔｏｌｉｃ阵列上并行计算，时间复杂性降为Ｏ（ｍｎ），而处理器具有很高的利用率．利用文中给出的方法，可以并行求解一大类最优控制中有关矩阵运算的问题，如Ｌｙａｐｕｎｏｖ方程、Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ方程等     

分块TOEPLITZ循环阵、分块HANKEL循环阵的性质及快速算法

本文讨论了分块Toeplitz循环阵,分块Hankel循环阵的性质。证明了分块Toeplitz循环阵相似于一个准对角阵;分块Hankel循环阵相似于一个结构简单的矩阵。进一步给出了这两类矩阵特征多项式的表达式。在此基础上给出两个分块Toeplitz循环阵,分块Toeplitz循环阵与分块Hankel循环阵,分块Hankel循环阵与分块Toeplitz循环阵及两个分块Hankel循环阵相乘的快速算法,两类矩阵求逆的快速算法,两类矩阵为系数的线性方程快速求解算法。算法所需运算量均为O(n~2mlgm+mn~(2.496))     

两个鳞状因子循环矩阵相乘的快速算法

借助于快速付氏变换(FFT)技术。给出了计算两阶鳞状因子循环矩阵之乘积阵的一种快速算法，其算法复杂性为O(nlog2n)。最后给出一个算例。