同名函数倍角公式及其应用——函数x~n+1/x~n的应用之二

我们从三角学知 cos2α=2cos~2α-1 sin3α=-4sin~3α+3sinα cos3α=4cos~3a-3cosα…………这些公式的特点:左边是α角的倍角,右边是用同名函数表示的展开式,象这样的式子我们称为同名函数倍角公式。一般地,cosnθ的同名函数倍角公式是什么?sinnθ有没有同名函数倍角公式呢?这些问题利用函数t_n=x~n+1/(x~n)的性质可以获得解决。     

自然数幂和公式的对称形式

利用一个新的Bernourlli数恒等式推导出了自然数幂和公式新的表示形式,证明了其系数所具有的对称特性,并由此简捷地得到了用n(n-1)的多项式表示自然数幂和的具体公式的新方法.     

关于等差数列前几项等幂和的一种求法

本文利用初等方法研究一般等差数列前n项的等幂和问题,给出求和公式并讨论和函数作为n的多项式的一些简单性质,同时利用导出公式给出前n个自然数和前n个奇数当幂从1到6的等幂和。     

自然数幂求和公式的计算机实现的两个注记

利用Vandermonde行列式和Cramer法则，证明了一个自然数幂求和公式的一般表达式，并通过Maple软件利用计算机进行了求解，得到了与《自然数幂求和公式的计算机实现》一文完全相同的结果。进一步运用该方法，还解决了多项式表素数问题，得到了一个用关于正整数n的N次多项式表示素数的一般性结论，并得到有效的应用。     

恒整除

本文考察了正整数和整系数多项式之间的恒整除关系，给出了素数幂p^n(a≤p)恒整陈整系数多项式f(x)的简易判别法．从而对整系数多项式也得到了恒因子的求法．     

一类对称三对角矩阵的特征多项式

本文给出了一类特殊的对称三对角矩阵特征多项式的递推公式及其特征多项式序列中含多项式系数之间的递推关系式．证明了该序列的正交性以及此奥三对角矩阵特征多项式的整除性质．     

两个二次矩阵线性组合的二次性

目的当P1,P2是2个满足方程(x-α)(x-β)=0的矩阵(称为二次矩阵),讨论了线性组合c1P1+c2P2仍是二次矩阵时系数(c1,c2)的完全分类。方法通过二次矩阵的性质和矩阵方程恒等式的性质。结果与结论将幂等矩阵、幂幺矩阵、幂零矩阵的线性组合的保持性问题推广到了二次矩阵的情形,概括了特殊矩阵线性组合性质的相关结果。     

关于立方幂补数除数和函数的性质

设n是正整数,S(n)是n的立方幂补数,σ(n)表示n的除数和函数.探讨了∑n≤xσ(S(n))3n的渐近性质,用解析方法得到了一个渐近公式,进一步解决了F.Smarandache教授提出的第28个问题,补充了相关文献的结论.     

欧拉公式与三角级数求和

在高中数学教学中,把棣美弗公式和二项式定理结合使用,可以解决用正弦或余弦表示大倍角的正弦和余弦等问题.随着教学内容的深入,要求形如sinkx 及coskx 等的三角级数之和.解此类问题,已有的方法具有一定的局限性.本文将探讨运用欧拉公式及棣美弗公式求某些三角级数和的一些简便方法.     

纽结多项式零点的性质

研究了链环和纽结的Jones多项式性质以及零点分布性质.利用的Jones多项式的某些点取值的性质、微分性质以及三角函数的性质,特别是正弦函数和余弦函数的性质,研究了环面纽结多项式的性质和它们多项式根的性质,同时讨论了单位根的有关性质,讨论了它们之间的内在联系,从而给出某些单位根不是环面纽结多项式的根,证明了当6≤n≤8时,单位根e2p+1/nπi不是环面结Tp,q(其中,(p,q)=1)的琼斯多项式的零点.这些性质的研究将有利于研究整系数多项式与纽结多项式之间的关系.     

三角恒等式证明的一个注记

有一些三角恒等式的证明，用初等数学的方法难以达到理想的效果甚或解题过程过于繁冗，而利用关于sinx和cosx的齐次多项式定理来加以证明，可达到初等数学方法不能达到的效果．     

关于正余弦函数积和的几个恒等式

根据第一类和第二类切比雪夫多项式的递推关系以及相关性质,定义了几个关于正、余弦函数的d维向量以及关于d维向量的映射的概念,利用向量的数量积,研究了正余弦函数,得到了几个关于正余弦函数积和的恒等式.     

构形的特征多项式和超可解性的算法

给出了中心构形的系数矩阵、特征矩阵的定义，证明了中心构形的秩等于其系数矩阵的秩，将求构形的特征矩阵问题转化为系数矩阵的子矩阵求秩问题，给出中心构形的特征多项式的算法。研究了模元的一些性质，给出判断模元的一个等价条件，利用此条件简化判断模元的过程，给出判断中心构形超可解性的算法。     

改进的静态图像压缩技术

在多媒体技术中,静态图像压缩技术成为世界学术界研究的热点.本文在国际标准组织制定的静态图像压缩标准JPEG的基础上,提出了一种采用新的傅立叶分析技术-算术傅立叶变换(AFT)来快速计算离散余弦变换(DCT)系数值,改进了静态图像压缩技术,克服了DCT运算速度慢的缺点,同时克服了传统的快速离散余弦变换(FDCT)程序复杂,子进程多的缺点.实验表明运用新型的AFT的DCT快速算法代替传统的DCT算法实现静态图像压缩可以使运算时间大幅度减少,该方法为实现静态图像压缩开辟了新的思路和途径.     

泰勒级数简史

1712年,泰勒利用插值公式泰勒级数,但是没有讨论这一级数的收敛问题,因为当时很多数学家把级数看作是多项式的代数推广。以后欧拉、达朗具尔、高斯、柯西对级数理论、收敛性等进行了深入地讨论。     

Eisenstein判别法及（E，ρ）型数域的推广

Eisenstein判别法是高等代数中判定整系数多项式在有理数域中的可约性的重要方法,其推广形式很多,而最原始的形式应用代数数论中来定义（E,ρ）型数域。本文在原来Eisenstein判别法的基础上进行适当地推广,并将已知的（E,ρ）型数域也随其判别法的推广而推广,成为广（E,ρ）型数域,在此基础上研究此数域的性质：给出素数p在广（E,ρ）型数域中的素理想分解形式,并且给出了这个素数户的一个重要性质。其次,得到广（E,ρ）型数域中素数ρ及相关理想的一些性质,并给出相应的证明。这样,就推广了原本只讨论最原始定义的Eisenstein判别法及（E,ρ）型数域的相关性质,使此理论更加完善。     

“矩阵相似”等价于“特征矩阵等价”的证明

两个数域上的数字矩阵的相似问题可以转化为其相应的特征矩阵等价的命题来解决。很多教科书对这一问题的证明过于简单,没有真正的区分数字矩阵和多项式矩阵之间的不同。数字矩阵与多项式矩阵的区别就在于数字矩阵经过加法、减法、乘法、除法后还是数字矩阵,但多项式矩阵不能无条件的进行除法运算后还是多项式矩阵。所以,我们在证明多项式矩阵的有些问题时,不能直接套用数字矩阵的一些命题和定理。本文对"数字矩阵相似"等价于"特征矩阵等价"这一问题进行了详细论述。     

关于四次整系数不可约多项式

通过对四次整系数多项式的系数特性研究,给出了一类整系数多项式在有理数域上可约或不可约的几个判定定理。     

基于ICA和DCT的鲁棒性盲水印算法

提出了一种结合独立分量分析和离散余弦变换的数字图像鲁棒性盲水印算法.首先将载体图像分解成互不重叠的8×8子块,再对各子块进行离散余弦变换,接着把经过置乱和平铺扩展处理的水印嵌入到余弦变换的低频系数上,最后进行逆余弦变换得到嵌有水印的图像.在不需要原始图像、水印和攻击类型等信息的情况下,算法实现了真正意义上的水印盲提取.仿真实验表明,该算法对JPEG压缩、尺寸缩放、滤波等攻击具有较好的鲁棒性.     

青海秦艽色谱指纹图谱的灰色关联分析

应用灰色关联分析研究了青海秦艽药材指纹图谱之间的相关性.以秦艽指纹图谱的实验数据研究了灰色关联度、相关系数和夹角余弦的优劣.相关系数和夹角余弦对数据的差异不够敏感,灰色关联度可以用于评价指纹图谱的相似度.