分数阶导数和积分的奇偶性及周期性

介绍了分数阶微积分的历史、分数阶导数和积分的定义,给出了分数阶导数、积分的运算性质以及三角函数的分数阶导数、积分的结果.研究了奇偶函数以及周期函数的分数阶导数、积分的性质.     

基于Caputo导数的分数阶Pfaff-Birkhoff原理和Birkhoff方程（英文）

研究了在Caputo分数阶导数下的分数阶Pfaff-Birkhoff变分问题.首先给出了Caputo分数阶导数的定义,以及相应的分部积分公式和交换关系,其次建立了分数阶Pfaff-Birkhoff原理和分数阶Birkhoff方程,最后举例说明结果的应用.     

多变量分数阶微分系统的稳定性分析

研究一类含有ABC-分数阶导数的多变量分数阶微分系统的零解的渐近稳定性问题.利用推广的比较原理和李雅普诺夫方法,通过构造一个已知渐近性的分数阶系统,根据其渐近稳定性进而保证原分数阶系统的渐近稳定性,给出了零解渐近稳定性的充分条件,并推广了相关文献中的部分结论.     

分形油藏非Newton黏弹性液分数阶流动分析

将分数阶导数和分形维数及谱维数引入渗流力学建立了分形油藏具有松弛特性的非Newton黏弹性液体的含有分数阶导数的不稳定渗流模型, 引入一种新的积分变换, 并利用此积分变换和离散逆Laplace变换技巧及广义Mittag- Leffler函数研究了分形油藏中非Newton松弛黏弹性液分数阶流动特征. 对任意的分数阶导数得到了精确解, 并求出了无限大地层的长时和短时渐近解, 用Laplace变换求逆数值反演Stehfest方法分析无限大地层黏弹性液的流动. 结果表明黏弹性特征越明显的流体对分数导数的阶数越具有敏感性. 新的积分变换为研究分形介质渗流问题的力学性质提供了新的解析工具.     

求解非线性时间分数阶Klein-Gordon方程的谱配置方法

用Jacobi谱配置方法, 数值求解一类非线性时间分数阶导数为Caputo导数的Klein-Gordon方程. 先用Caputo分数阶导数和Riemann-Liouville分数阶积分的关系, 将分数阶Klein-Gordon方程转化为在时间上带奇异核的积分微分方程, 再在时间和空间上采用Jacobi谱配置法, 并用高斯积分公式逼近积分项, 使方程在配置点上 成立, 从而求得其数值解. 数值算例结果表明, 该方法所得数值解很好地逼近了精确解.     

一类具分数阶积分条件的分数阶微分方程组解的存在唯一性

利用Banach压缩映射原理,研究一类具有分数阶积分条件的分数阶微分方程组边值问题,其非线性项包含Caputo型分数阶导数,得到了该问题等价的积分方程组的格林函数及存在唯一解的充分条件,并给出了应用实例.     

一类具分数阶积分条件的分数阶微分方程组解的存在唯一性

利用Banach压缩映射原理, 研究一类具有分数阶积分条件的分数阶微分方程组边值问题, 其非线性项包含Caputo型分数阶导数, 得到了该问题等价的积分方程组的格林函数及存在唯一解的充分条件, 并给出了应用实例.     

时空分数阶波方程解的渐近性与长时间行为

研究带分数阶 Laplace 算子的时间-空间分数阶偏微分方程解的渐近性, 其中时间分数阶导数是在 Caputo 导数意义下, 其导数阶 $\alpha\in(1,2)$. 利用 Fox $H$-函数的性质和 Young 不等式给出了解的梯度估计, 并且研究了其长时间行为.     

拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程

给出了两种常见分数阶导数即Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数的拉普拉斯变换公式,并给出具体实例说明如何利用拉普拉斯变换求解分数阶微分方程和分布阶微分方程.     

一类具有分数阶积分条件的分数阶微分方程边值问题解的存在性

研究一类具有分数阶积分条件的分数阶微分方程边值问题,其非线性项包含Caputo型分数阶导数.将该问题转化为等价的积分方程,利用Leray-Schauder非线性抉择原理结合一个范数形式的新不等式,获得一定增长性条件下存在解的充分条件,推广和改进已有的结果,并给出应用实例.     

基于Riesz分数阶导数的分数阶运动微分方程

研究分数阶系统的变分原理和运动微分方程.建立了基于Riesz分数阶导数的分数阶Hamilton原理,并由分数阶Hamilton原理推导出了分数阶Lagrange方程和分数阶Hamilton正则方程.算例表明,分数阶Lagrange方程与分数阶Hamilton正则方程给出相同的结果.     

奇异函数分数阶导数的Hadamard有限部分积分表示形式

针对包含奇点的函数,研究其Riemann-Liouville和Caputo分数阶导数,给出它们的Hadamard有限部分积分表示形式.利用该形式求得分数阶导数在初始点的Psi级数展开式.另外,该形式可以方便地使用Hadamard有限部分积分算法进行高精度计算.最后设计了一种奇点分离的Chebyshev谱逼近方法,通过数值算例验证了分数阶导数的Hadamard积分表示形式及其数值算法的正确性和有效性.     

论函数的可导与分数阶可导

 从是否存在一点可导的相关函数和求导法则间相互关系的视角讨论函数的可导性问题,在分析一元分段函数在分界点处的导数问题的基础上,引进RiemannLiouville分数阶导数定义和Caputo分数阶导数的定义,探讨分数阶导数与整数阶导数的相容性问题,研究分数阶可导问题。结果表明:仅在一点可导的函数及其他相关函数是存在的;导数的加法运算在四则运算中最为重要,复合函数的求导法在求导方法中最重要;RiemannLiouville分数阶导数与经典整数阶导数具有相容性,Caputo分数阶导数与经典整数阶导数的相容性略差。     

基于Riesz导数的分数阶Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量

提出并研究Riesz分数阶导数下分数阶Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量。分别在Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数和Riesz-Caputo分数阶导数下, 建立分数阶Pfaff变分问题, 给出分数阶Birkhoff方程。基于分数阶Pfaff作用量在无限小变换下的不变性, 建立分数阶Birkhoff系统的Noether定理。定理的证明分成两步: 一是在时间不变的无限小变换下给出证明; 二是利用时间重新参数化技术得到一般情况下的分数阶Noether定理。最后举例说明结果的应用。     

含分数阶导数阻尼的线性振动系统的稳定性

我们讨论了两部分内容： 含分数阶导数阻尼的单自由度线性振动系统的稳定性和受分数阶状态反馈控制的线性振动系统的闭环稳定性. 首先从稳定性分析的角度研究了线性振动系统的阻尼表示, 严格证明了介于0和2之间的任意分数阶导数项都可以起到阻尼作用. 进而又研究了采用分数阶控制器来调节线性振动系统的闭环稳定性, 给出了确定控制增益的一般步骤使闭环系统具有渐近稳定性, 得到了分数阶对稳定性增益区域的影响规律. 和经典的速度反馈只能调节阻尼的大小不同, 分数阶状态反馈不仅可以调节阻尼力, 也调节弹性恢复力. 稳定性切换是我们理论分析的主要思路和方法, 研究表明, 它是研究含分数阶导数动力系统稳定性的一种普遍有效的方法.     

时间分数阶扩散方程的高阶Diethelm方法

针对时间分数阶扩散方程,提出了一种新的隐式差分方法,其中空间导数采用中心差分方法离散.对于时间分数阶导数,将Caputo分数阶导数转化为Riemman-Liouville分数阶导数后,写成Hadamard有限部分积分,再用分段二次多项式对该有限积分部分逼近,由此推导出Caputo分数阶导数的3-α阶离散方法,从而得到无条件稳定的和收敛的分数阶扩散方程的隐式差分格式.数值实验验证该隐式差分格式的有效性.     

带有分数阶边界条件的一维Riesz分数阶扩散方程差分方法

本文对带有分数阶边界条件的一维Riesz分数阶扩散方程进行了数值研究.本文利用分数阶中心差分公式对方程中的Riemann-Liouville空间分数阶导数进行离散,并利用标准的Grünwald-Letnikov分数阶算子对分数阶边界条件中的Riemann-Liouville空间分数阶导数进行离散,进而建立了一种隐式有限差分格式,然后讨论了该方法的解的存在唯一性,分析了该格式的相容性、稳定性和收敛性.最后本文通过数值实例验证了该方法的有效性.     

基于分数阶微积分的模糊分数阶控制器研究

在分析分数阶微积分的基础上,提出了一种新型模糊分数阶比例积分微分控制器.分数阶微积分将传统控制器中的积分和微分的阶数扩展到任意实数,为控制器的设计提供了比传统整数阶更好的性能扩展.结合分数阶比例积分微分控制器和模糊控制逻辑,用分数阶比例积分微分单元代替传统的模糊比例积分微分控制器中的比例积分微分单元,构建了模糊分数阶比例积分微分控制器的结构,采用模糊逻辑推理和Tus-tin离散方法实现了模糊分数阶比例积分微分控制器的计算.最后,用数字仿真方法和不同条件下的对比分析验证了新型模糊分数阶比例积分微分控制器的优良控制特性.研究结果表明,设计的新型模糊分数阶比例积分微分控制器对非线性和参数不确定性具有较强的鲁棒性.     

基于线性控制的一个新的分数阶混沌神经网络的投影同步

通过研究一类新的神经网络系统的同步,在对分数阶混沌神经网络进行分岔图分析的基础上,确定了系统出现混沌状态的分数阶导数的范围.同时在分数阶线性系统平衡点渐近稳定性理论的基础上,基于比例投影同步方法给出了该分数阶神经网络系统的投影同步的方案.最后通过数值模拟验证了同步方案的有效性.     

基于联合Caputo导数的分数阶Hamilton力学和分数阶正则变换（英文）

由于分数阶微积分在科学和工程的诸多领域的成功应用,传统的分析力学理论和方法正在不断地拓展到含有分数阶微积分的系统。基于联合Cuputo分数阶导数,文中建立了分数阶Hamilton原理,并由分数阶Hamilton原理直接导出了分数阶Hamilton正则方程;建立了分数阶力学系统的正则变换理论,给出了四种基本形式的分数阶正则变换,并通过算例说明母函数在分数阶正则变换中的作用。