奇异积分算子L~2有界性的一个新的充分必要条件

本文指出当核满足Sup integral from n=R<|y|<2R to (|k(y)|dy≤C),及Sup integral from n=|x|>2|y| to (|k(x-y)-k(x)|dx≤C)时,弱有界条件是奇异积分算子L~2有界的充分必要条件。     

Fubini定理的推广

在计算付伦涅尔积分的过程中,我发觉一些分析教科书上现成的积分次序交换定理都不能引用,因此我建立一个新的积分次序交换定理。 在分析教科书上找到的定理是: 定理A 设二元函数f(x,y)满足条件:(1)在区域上连续; (2)integral from a to ∞(f(x,y)dx)关于y∈[α,β]一致收敛,integral from a to ∞(f(x,y)dy)关于x∈[a,b]一致收敛,β,b是任意给定的数:β>α,b>a;(3)integral from a to ∞(dx) integral from α to ∞(|f(x,y)|dy),integral from α to ∞(dy) integral from a to ∞(|f(x,y)dx)至少有一个存在(有限)。那末     

完备就范直交系理论的一点应用

首先证明,L~2[0,2π]中(f,g)=1/πintegral from n=0 to2πf(x)(?)dx,||f||=(1/πintegral from n=0 to2π|f(x)|~2)dx~(1/2),三角函数系F_1={1/2~(1/2),cosX,SinX,…,CosnX,SinnX,…}是完全就范直交系。证:设SpanF_1为形如sum from k=0 to n(a_kcoskx+b_ksinkx)的三角多项式的全体。C_(2π)为以2π为周期的连续函数的全体,则据Weiestrass逼近定理,对(?)ε>0,f∈2π,(?)T(x)=sum from k=0 to N(a_kcoskx+b_ksinkx)使(?)|f(x)-T(x)|<ε     

Opial不等式的简短证明

假定y(x)是在(0,a)上的绝对连续函数,y(0)=0,我们给出下面不等式∫_0~a|y~l(x)y′(x)|dx≤a~1/l+1∫_0~a|y′(x)|~(1+1)dx的简短证明。此处l是任意正数。     

二阶非线性变系数微分方程组的全局稳定性

考虑系统 x=-a_1(t)f(x)+a_2(t)ф(y) y=a_3(t)x-a_4(t)y,f(0)=0,ф(0)=0 (1)定理1 假设成立条件(假定本文所考虑的函数均连续可微): 1)x·f(x)>0,(x≠0),且|f(x)|≥|x|; 2)对于一切t≥t_0,有a_1(t)≥a_1(>0);a_2(t)≤a_2(>0),a_3(t)≤a_3(0),a_4(t)≥a_4(0),(a_2+a_3)/(a_1~(1/2)·a_4~(1/4))<2 3)|φ(y)|≤|y|; 4)lim |x|→integral from n=0 to x (f(x)dx=+∞)则非线性系统(1)的零解是全局渐近稳定的。     

Fourier级数收敛定理的一个新证明

如果a_n=(1/π)integral from -πto πf(x)Cos nx dx(n=0,1,2,…)b_n=(1/π)integral from -πto πf(x)Sin nxdx(n=1,2,…)则称级数(a_0/2) sum from n=1 to ∞(a_n Cos nx b_n Sin nx)为f(x)的Foureir 级数。据Euler 公式e~(ix)=Cos x iSin x,f(x)的Fourier 级数可以写成复数形式:     

半平面内调和函数的积分表示及其应用

设u(x,y)是上半平面内的调和函数且对任何y>0一致地有 integral from n=-∞ to ∞ |u(x,y)|dx≤A, (A是常数) (1) 则存在在(-∞,∞)上的有界变差函数g(t)使 u(x,y)=1/πintegral from n=-∞ to ∞ y/((t-x)~2 y~2)dg(t),(2) 这是大家熟知的一个基本结果。但在实际问题中积分(1)往往是不存在的,例如在Titchmarsh所著按二阶微分方程特征函数展开一书中所遇到的解析函数m(λ),ψ(x,λ),φ(x,λ)的虚部,一般说来都不满足(1)。本文应用围道积分的方法在比(1)弱得多的条件下给出积分表示式(2),而且成功的将我们的结果应用到特征函数展开及解析函数角形边值问题的研究。     

减弱定理条件拓宽应用范围

<正> 在微积分中,为解决含参量积分的求导与积分顺序可交换的问题,教科书上多采用下述定理1与定理2。 定理1 若函数f(x,y)与f_y(x,y)在R[a,b;c,d]上连续,则函数φ(y)=integral from n=a to b(f(x,y)dx)在[c,d]上可导,且 φ′(y)=integral from n=a to b(f_y(x,y)dx) (1)     

非参数回归函数核估计的一致强收敛速度

设(X,Y)为d×1随机向量,f(x,y)为其概率密度函数,(X_i,Y_i) i=1,2,…,n为抽自f的i. i. d. 样本,m(x)(?)E(Y|X=x)称Y对X的回归函数。Watson (1964),Nagaraya (1964)提出用m_n(x)=sum from i=1 to n (Y_iK(?))/sum from i=1 to n (K((x-X_i)/h_n))估计m(x),其中K(x)为R~d上的概率密度,h_n>0,h_n→0(n→∞),这种估计称核估计。引入记号:ω(x)(?) integral from R~1 to ∞(yf(x,y)dy),g(x)(?) integral from R~1 to ∞(f(x,y)dy),又ω_n(x)(?)1/(nh_n~d) sum from i=1 to n (Y_iK)((x-X_i)/h_n),g_n(x)(?)1/(nh_n~d) sum from i=1 to n (K((x-X_i)/h_n)),它们分别是ω(x)和g(x)的估计。则m(x)=ω(x)/g(x),m_n(x)=ω_n(x)/g_n(x)(约定0/0=0)。当d=1时,E. Schuster和S. Yakowitz(1979)证明了在一组条件下,存在常数c>0,他对(?)ε>0,当n充分大时,其中,     

定积分两个特殊性质的推广

<正>在定积分计算中,有如下性质.性质i:若f(x)为[-a,a]上的连续奇函数,则integral from n=-a to a f(x)dx=0性质ii:若f(x)为[-a,a]上的连续偶函数,则integral from n=-a to a f(x)dx=2 integral from n=0 to a f(x)dx本文将上述两个性质推广到如下情形、得到一个更一般的性质.性质1:若f(x)为闭区间[a,b]上的连续函数     

无界域中含权的Wirtinger不等式(英文)

在文献[2]中,当φ是以指数型减少的正函数,则成立着integral from n=Ωto φ|u|~pdx≤Cintegral from n=Ωto φ|Du|~pdx, 其中,integral from n=Ωto φudx=0。我们对任意权函数φ得到下述不等式, integral from n=Ωto Ψ|u|~Pdx≤Cintegral from n=Ωto φ|Du|~pdx, 其中,integral from n=Ωto uΨdx=0,Ψ可用φ表示。解析表达式见本文(3)式。     

关于幂级数的一个阿倍尔型定理

设b_i≥0,sum from 0 to ∞(b_i)=∞,而sum from 0 to ∞(b_ix_i)于|x|<|收敛;则由=1可以推断:sum from 0 to (a_ix~i)于|x|<|收敛,并且(1)这一人所共知的事实是古典Frobenius定理的推广.(1954)曾对Frobenius定理作了若干扩充.在这篇文章里,作者将直接就(1)式加以某些改进;从而把的工作作为特例包括在本文的结果中.本文主要结果的证明基于下面三个引理,其中引理3是最基本的.     

R(z)在半实轴x≥0上含有极点的积分∫from x=0 to ∞(R(x)(logx)~kdx)的Cauchy主值

首先讨论有理函数R(z)在半实轴x≥0上含有简单极点时积分∫from x=0 to ∞(R(x)logxdx)的Cauchy主值,然后讨论积分∫from x=0 to ∞(R(x)(logx)~2dx)的Cauchy主值,得到这些积分主值的计算公式.     

从属函数的回转定理

本文讨论从属函数的回转定理及其性质,得到如下主要结果。定理假设f(x)和F(x)在圆|x|<1中都是正则的函数,f(0)=F(0)=1,F′(0)=1,假如F(x)在|x|<1中是单叶的,f(x)从属于F(x)时,有 |f′(x)|≥(1-|x|)/(1+|x|)~3[2~(n(x~(1/2)/2,0)~-1)|φ(0)|(1-|x|)]~(1+|x|~(1/2))/(1-|x|~(1/2))。·multiply from |a_v|<|x|~(1/2)||a_v|(|x|-|a_v|)/|x|(1+|a_v|)|及 |f(x)|≥integral from 0 to |x|((1-|x|)2/(1-(|x|)~(1/2))[2~(n(|x|~(1/2)/2, 0)-1)|φ′(0)|(1-|x|)~((1+|x|~(1/2))/(1-|x|~(1/2))/(1+|x|)~3) ·multiply from |a_v|<|x|~(1/2)(|a_v|(|x|-|a_v|)/|x|(1+|a_v|)|)|d|x|。其中α_v(v=1,2,…)为f′(x)于圆域|x|<1中的零点。     

R~n上超线性椭圆型方程组整体极小解的存在性

本文考虑下列超线性椭圆型方程组-△u_i=f_i(x)g_i(u_1,u_2…,u_n)x∈R~n i=1,2,…,n 的整体极小解的存在性。所谓极小极是指 u=(u_1,u_2,…,u_n),u_i∈C_(loc)~(2+α)(R~n),sup(1+|x|)~(n-2)|u_i∞|<+∞且满足对任何φ∈C_0~∞(R~n),∫R~n▽u_i▽φdx=integral from x∈R~n R_nf_i(x)g_i(u_1,u_2,…u_n)φdx。本文用拓扑度方法证明了,在 f_i(x)、g_i(u)满足一定条件下,方程组存在正的整体极小解。     

标准函数的积分

定义1.标准函数f(x)在(a,b)(?)~*R上有定义,如果 {n/integral from n=a_n to n f(x)dx存在且有限}∈U其中a=[a_n],b=[b_n],U为自然数集N的自由超滤子,integral from n=a_n to b_n f(x)dx是Riemann意义下的积分,则称f(x)在(a, b)(?)~*R上可积,称非标准数[integral from n=a_n to n f(x)dx]为f(x)在(a, b)(?)~*R上的积分,记作integral from n=(a.b) to f(x)dx。     

一致完全域,Bers空间与自由插值

设Ω是C中的双曲型区域,λ_Ω(z)|dz|为其上的双曲(Poincar(?))度量。令δ_Ω(z)=dist(z,Ω)及[δ_Ω(z)]~(-1)·|dz|为Ω上的拟双曲度量。又置A_λ~∞(Ω)和A_δ~∞(Ω)分别是具有范数‖f‖_λ=|f(z)|·[λ_Ω(z)]~(-1)<∞和‖f‖_δ|f(z)|δ_Ω(z)<∞的Ω上解析函数f之全体。在本文,一致完全域Ω,即满足C(Ω)=infλ_Ω(z)δ_Ω(z)>0的域Ω被研究,进而A_λ~∞(Ω)与A_δ~∞(Ω)中的函数被刻划;最后就单连通区域Ω上的A_λ~∞(Ω)=A_δ~∞(Ω)中的自由插值问题也被考虑。     

Riemann可积函数的一个性质

大家知道,如果f(x)在〔a,b〕上非负连续且integral from a to b(f(x)dx=0),则f(x)在〔a,b〕上恒等于0.但若把条件减弱为“f(x)在〔a.b〕上非负可积且integral from a to ∞b(f(x)dx=0)”,是否还能作出“在〔a,b〕     

函数的性质与其福里哀系数的关系

定理1.设定义在[1,∞)上的正值函数μ(x)满足下面的条件:(ⅰ)存在N_0>0,使得当x≥N_0时,函数x~2μ(x)是增加的;(ⅱ)存在常数c>1,使得对于一切x,有Aμ(x)≤μ(cx)≤Bμ(x),A>0,B>0。设f(x)∈L~p(0,2π),1p,则当积分integral from n=0 to 1 1/t~2μ(1/t)[integral from n=0 to 2x|f(x t)-f(x-t)|pdx]~(β/p)dt (1) 收敛时,下面的级数收敛: sum from n=1 to ∞μ(n)[sum from k=n to ∞ρ_k~p k~(p-2)]~(β/p),(ρ_k~2=a_k~2 b_k~2) (2) 定理2.设μ(t)是正值函数, Σμ(n)/n~β<∞(β>0),并且存在常数c>0,使得μ(cx)～μ(x),x→∞。令An=sum from k=n to ∞ρ_k~p k~(p-2)。若存在正数α<1,使得An·n~(p-α)当n≥N_0时是增加的,则由(2)的收敛性可以得出(1)的收敛性。     

具有一般权函数积分的Gauss-Kronrod法则

该文研究了具有一般权函数w(x)的积分integral from 0 to b w(x)f(x)dx,得出了普遍意义下的Gauss-Kronrod规则,给出并证明了相应代数精确度的两个结果。这些结果主要依赖于下列命题: (1)对一般权函数w(x),q,(z)=integral from 0 to b w(t)p_n(t)/(z-t)dt满足三项递推关系; (2)设E_n(z)为〔q,(z)〕~(-1)的主部,则q_n(z)E_n(z)∈span{1,q_(n+1)(Z),…,q_(2n+1)(Z)}; (3)integral from 0 to b w(z)p_n(z)z~k dz=0,0≤k≤n; (4)对特殊函数w(x)=1,E_n(z)之零点是〔a,b〕的单零点,且被p_n(x)的零点隔开。