关于不定方程 x3±8＝19 y2

通过运用Pell方程、递归序列、同余式、平方剩余和雅克比符号等初等数论的方法,证明了:不定方程x3+8=19y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(62,±112);不定方程x3-8=19y2仅有整数解(x,y)=(2,0),(3,±1),(14,±12).证明过程中,纠正了不定方程x3-1=38y2的整数解只有(x,y)=(1,0)的结论,给出不定方程x3-1=38y2的全部整数解仅有(x,y)=(1,0),(7,±3).     

关于不定方程x3 + 27 = 139y2

利用Pell方程,递归数列,同余式和平方剩余几种初等方法证明了不定方程x3+27=139y2仅有整数解(-3,0),(13,±4);在证明该结论的过程中,同时证明了不定方程x3+1=417y2仅有整数解(x,y)=(-1,0),从而给出了不定方程x3+27=139y2的全部整数解。     

关于Diophantine方程x~3±1=2py~2

设p是奇素数,证明了当p=6(4s+1)+1,其中s是非负整数时,方程x3-1=2py2仅有整数解(x,y)=(1,0);当p=6(4s+2)+1,其中s是非负整数时,方程x3+1=2py2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x~3+1=427y~2

证明了丢番图方程x3+1=427y2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于Diophantine方程x~3-1=91y~2

利用初等方法证明了Diophantine方程x3-1=91y2仅有整数解(x,y)=(1,0)。     

关于不定方程x3±8=35y2

利用同余式、递归序列的方法证明了不定方程x3 8=35y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(3±1);x3-8=35y2仅有整数解(x,y)=(2,0).     

关于Diophantine方程x~3+1=111y~2

应用递归序列、同余式证明了丢番图方程x3+1=111y2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于不定方程x^3＋1=266y^2和x^3＋8=133y^2

利用同余式、递归数列的方法证明了不定方程x3+1=266y2仅有整数解(x,y)=(-1,0),x3+8=133y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(5,±1).     

关于丢番图方程x~3±1=7qy~2的整数解

设D=7q,q≡1(mod6)为奇素数.关于Diophantine方程x3±1=7qy2的初等解法至今仍未解决.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列证明了(1)q=13,19,61时,丢番图方程x3-1=7qy2仅有整数解(x,y)=(1,0);(2)q=13,73,97时,丢番图方程x3+1=7qy2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x~3±3~3=3pqy~2

主要利用递归数列、同余式、平方剩余以及Pell方程解的性质证明了当p≡1(mod 12),q≡12s2+1时,丢番图方程x3-33=3pqy2仅有整数解(x,y)=(3,0);当p≡1(mod 24),q≡12s2+1时,丢番图方程x3+33=3pqy2仅有整数解(x,y)=(-3,0).     

关于不定方程x~3-1=181y~2

设p为素数且p≡1(mod 6).关于不定方程x~3-1=py~2的求解是数论的重要研究课题之一.研究p=181时不定方程x~3-1=py~2的可解性问题.利用递归数列,同余式,Pell方程解的性质证明了不定方程x~3-1=181y~2仅有整数解(x,y)=(1,0).     

关于不定方程x~3-1=157y~2

用同余法、递归数列证明了不定方程x3-1=157y2仅有整数解(x,y)=(1,0).     

关于不定方程x~2+49~n=y~3的唯一整数解

文章利用代数数论方法证明了不定方程x~2+49~n=y~3 n∈N,x■7的整数解仅(x,y,n)=(±524,65,1)并且证明了x~2+(P~2)~n=y~3,p是素数的一般解.     

关于不定方程x~3-27=7y~2

利用递归数列、同余式和平方剩余证明不定方程x~3-27=7y~2仅有整数解(x,y)= (3,0)．     

关于不定方程x~3-1=35y~2

利用同余法,递归序列证明了不定方程x3?1=35y2仅有整数解(x,y)=(1,0)。     

关于不定方程x~3-1=55y~2整数解的讨论

利用递归序列、同余式、平方剩余以及Pell方程的解的性质证明了不定方程x~3-1=55y~2仅有整数解(x,y)=(1,0).     

关于不定方程组y~2-10x~2=9，z~2-17x~2=16

文章运用初等证明方法,证明了标题所述的不定方程组只有x=0的整数解。从而证明了只有一个整数N=1使得1,10,17,N的任意两数之积减去1后均为平方数。     

关于不定方程x3-8＝61y2

利用同余式、递归数列的方法,证明了不定方程x³－8＝61y²仅有整数解（ｘ,ｙ）＝（２,０）.     

关于一个丢番图方程x~3+1=65y~2

利用递归数列,同余式证明了丢番图方程x3+1=65y2,仅有整数解(x,y)=(-1,0)(4,±1).