耗散KdV方程的小波近似惯性流形及数值分析

利用田立新提出的小波近似惯性流形 ,将小波分析与无穷维动力系统相结合研究一类非线性孤立波方程 -耗散KdV方程的长期动力学行为 ,在已得到该类方程存在小波近似惯性流形及利用无穷维动力系统作更精确的误差估计的基础上 ,笔者用L2 (R)中Perrier -Bas devant样条周期小波基做小波分析 ,用低模态的小波近似惯性流形数值模拟耗散KdV方程的吸引子 数值结果表明 ,小波近似惯性流形方法比Fourier分析方法及小波Galerkin方法更能反映系统的局部动力学行为     

非自治反应扩散方程的近似惯性流形

研究具有耗散性质的非自治反应扩散方程u t=νΔu -f( u,t) ψ( x,t) ,运用具有两个参数的算子簇—“过程”来描述此无穷维动力系统,构建了其近似惯性流形,进一步获得此近似惯性流形逼近方程一致吸引子的阶数的近似估计.     

非自治Schroedinger方程的近似惯性流形

研究具有耗散性质的非自治Schroedinger方程δu/δt-（λ＋iα）Δu＋（k＋iβ）｜u｜^2-γu=f（t,x）运用具有两个参数的算子簇——“过程”来描述此无穷维动力系统，构建了其近似惯性流形，进一步获得此近似惯性流形逼近方程一致吸引子的阶数的近似估计。     

非自治Schr dinger方程的近似惯性流形

研究具有耗散性质的非自治Schr dinger方程ut-(λ iα)Δu ( k iβ) | u|2u -γu =f(t ,x) ,运用具有两个参数的算子簇———“过程”来描述此无穷维动力系统,构建了其近似惯性流形,进一步获得此近似惯性流形逼近方程一致吸引子的阶数的近似估计.     

mKdV-Burgers方程长期动力学行为的数值分析

研究一类称之为mKdV-Burgers方程的非线性演化方程．为了得到这一方程的长期动力学行为，利用惯性流形和近似惯性流形理论，在已经证明这一类方程的近似惯性流形存在的基础上，给出低模态下周期边界条件的mKdV-Burgers方程近似惯性流形的约化形式，并在三模态下作数值分析，给出数值模拟的结果．     

非自治Schr(o)dinger方程的近似惯性流形

研究具有耗散性质的非自治Schr(o)dinger方程((Э)u(Э)t)-(λ+iα)Δu+(k+iβ)|u|2u-γu=f(t,x),运用具有两个参数的算子簇--"过程"来描述此无穷维动力系统,构建了其近似惯性流形,进一步获得此近似惯性流形逼近方程一致吸引子的阶数的近似估计.     

KS方程近似惯性流形的精确线性化控制

利用李群研究Kuramoto Sivashinsky方程近似惯性流形下的精确线性化控制 近似惯性流形能非常好地刻划KS方程的动力学性质 ,包括吸引子及混沌行为 对KS方程笔者引入它的近似惯性流形 ,并等价地研究近似惯性流形所表示的ODE ,对此ODE借助李群这一重要工具进行精确线性化 ,并由线性系统设计的反馈控制得到ODE的控制律 利用这个控制律及修正后的控制律对上述ODE进行控制 数值模拟的结果表明 :近似惯性流形确实能很好地刻划KS方程的动力学行为 ;精确线性化控制的效果直接、有效     

一类非线性发展方程的渐近吸引子

无穷维动力系统的基本理念是将一个无穷维系统约化为一个有限维系统,但是,要进一步研究约化后的有限维系统的动力学行为是非常困难的,因为它们的结构是未知的.为了克服这个困难,诸如近似惯性流形等概念已被引入,对于Navier-Stokes方程,其近似惯性流形的存在性问题已被讨论,它是通过挤压性质找到一个Lipschitz函数,说明其整体吸引子位于该函数图的某个小领域,而文中是通过构造一个有限维解序列,说明长时间后其趋于方程的整体吸引子,理论上给出了一类发展方程的渐近吸引子的构造方法.     

二维B-BBM方程的近似惯性流形

讨论了周期边界条件下二维B-BBM方程的长时间动力学行为,利用时间解析性,构造了该方程的近似惯性流形,即构造了一类非线性有限维且具有一定光滑性的充分逼近于整体吸引子的流形.     

B-BBM方程近似惯性流形的构造

研究了有界区间上具有弱阻尼的B-BBM方程的长时间动力学行为，给出了该方程近似惯性流形的构造，即构造了一类非线性有限维且具有一定光滑性的充分逼近于整体吸引子的流形．     

带耗散项的广义KdV方程的惯性流形

本文研究了带耗散项的广义KdV方程的长期特征,得到了该类方程存在吸引子、惯性流形和凝聚及锥不变性质。     

地磁流体方程的近似惯性流形的逐次逼近求解

证明了地磁流体方程非线性项在给定区域的有界性，利用逐次逼近方法构造了二维地磁流体方程的几种不同形式的近似惯性流形，并证明了该方程的任意解轨道在长时间后进入近似惯性流形的任意小邻域中。     

扰动周期KdV方程在周期小波基下的Galerkin投影

由于小波在时域和频域同时具有很好的局部性质,因此小波非常适用于局部变化比较复杂的非线性偏微分方程的数值解,文中利用Perrier-Basdevant周期样条小波基研究周期边界条件下扰动周期KdV方程的Galerkin解,将扰动周期KdV方程约为一组常微分方程,并给出动力学行为的数值计算结果,从计算结果可看出利用小波可以很好地反映动力学行为的局部性质,为研究孤立波系统中的非线性发展方程提出了一个新的思路。     

扰动周期KdV方程在周期小波基下的Galerkin投影

由于小波在时域和频域同时具有很好的局部性质 ,因此小波非常适用于局部变化比较复杂的非线性偏微分方程的数值解 文中利用Perrier-Basdevant周期样条小波基研究周期边界条件下扰动周期KdV方程的Galerkin解 ,将扰动周期KdV方程约化为一组常微分方程 ,并给出动力学行为的数值计算结果 从计算结果可看出利用小波可以很好地反映动力学行为的局部性质 ,为研究孤立波系统中的非线性发展方程提出了一个新的思路     

扰动周期KdV方程在周基下的Galerkin投影

由于小波在时域和频域同时具有很好的局部性质,因此小波非常适用于局部变化比较复杂的非线性偏微分方程的数值解.文中利用Perrier-Basdevant周期样条小波基研究周期边界条件下扰动周期KdV方程的Galerkin解,将扰动周期KdV方程约化为一组常微分方程,并给出动力学行为的数值计算结果.从计算结果可看出利用小波可以很好地反映动力学行为的局部性质,为研究孤立波系统中的非线性发展方程提出了一个新的思路.     

非线性Schroedinger方程的近似惯性流

考虑了具有耗散项的非线性Schroedinger方程iaε/at a^2ε/ax^2 g(|ε|^2)ε iaε h=0，构建了它的两个非线性近似惯性流形，进一步得到了这两个近似惯性流形逼近方程全局吸引子的阶数估计。     

广义长短波方程组的近似惯性流形（英文）

非线性发展方程是非线性科学中的一个重要分支,是非线性科学的前沿领域和研究热点,也是非线性偏微分方程的一个重要研究领域.随着近代物理对孤立子和混沌问题的研究,涌现出了一大批具有非线性色散或耗散的崭新的非线性发展方程,其中包括具有孤立子解的KdV方程、长短波方程、Zakharov方程等.这些方程和物理问题紧密相连,其研究内容也在不断地丰富和发展.例如,除了经典解的存在性、唯一性、正则性、有限时间内可能的爆破性外,还研究它的长时间行为,包括解随空间和时间的衰减性、散射性、稳定性以及整体吸引子、惯性流形的拓扑结构、保守系统的混沌研究等等.整体吸引子是描述非线性发展方程解的长时间行为的一个重要概念,当然也是无穷维动力系统中的非常重要的一个概念.整体吸引子的结构是很复杂的,除了包括非线性发展方程初值问题简单平衡点(可能是多重解)外,还包括时间周期的轨道,拟周期解的轨道,以及分形、奇异吸引子等,它可能不是光滑流形,且具有非整数维数.整体吸引子也是研究混沌行为的一个重要概念,因此,研究整体吸引子可以了解非线性发展方程的混沌行为.惯性流形是一个至少为Lipschitz连续的有限维流形,它在相空间是正不变的,指数地逼近轨线,且含有整体吸引子.但许多非线性发展方程的惯性流形的存在性依赖于谱间隙条件的限制,而这个条件是很苛刻的,比如Navier-Stokes方程就不满足.另外,惯性流形虽然光滑,但整体吸引子可能不光滑.很自然地,学者们想到用一种近似的、光滑的、比较容易求的流形去逼近整体吸引子和惯性流形,这就是近似惯性流形.近似惯性流形是一有限维光滑流形,在有限的时间内,它可把方程的任一解吸进它的薄的邻域内,特别的,整体吸引子也包含在这个邻域内.本文将讨论有界区域上描述非线性媒介中水波相互作用的长短波方程组周期边值问题解的长时间性态.首先,应用Galerkin方法及技巧,通过建立定解问题解对时间大范围的一致先验估计,证明长短波方程组周期边值问题整体光滑解的存在唯一性;其次,针对长短波方程组的抽象微分方程形式,应用算子理论,构造了系统的平坦的近似惯性流形和非平坦的近似惯性流形.进一步,证明了两种近似惯性流形具有同样的逼近整体吸引子的阶数.     

耗散MKdV方程的整体吸引子

在无穷维动力系统的基础上，利用耗散系统的渐近行为理论讨论了一类具有耗散的MKdV方程的长期动力学行为，利用Sobolev插值不等式以及关于时间t的先验估计证明了该方程在无界域上解的存在性；利用算子分解技巧以及Kuratowskii α-非紧测度讨论了解的光滑性；最后得到了该方程在H^2（R^1）上存在整体吸引子。     

KdV方程的高阶保能量算法

KdV方程被转化为无穷维Hamilton系统,在空间方向上用拟谱算法离散得到了KdV方程的有限维Hamilton系统.利用四阶平均向量场(AVF)方法离散KdV方程的有限维Hamilton系统,构造了KdV方程的高阶保能量格式.利用构造的高阶保能量格式数值模拟孤立波的演化行为.数值结果表明,高阶保能量格式可以精确保持方程的离散能量守恒.     

d-维环面上分数阶薛定谔方程解的长时间稳定性

利用无穷维KAM理论及Birkhoff标准型技巧证明了一类d-维分数阶薛定谔方程解的全局存在性结果,即给出了解的长时间稳定性.该结果为研究由分数阶薛定谔方程定义的无穷维哈密顿动力系统的动力学行为提供了很好的依据.