二阶变系数齐次线性微分方程与黎卡提方程

工程上有许多问题归结为求二阶线性变系数齐次微分方程y″ p1(x)y′ p2(x)y=0的解，但解这个方程一般情况下是比较困难的。就已知该方程一个解和已知黎卡提方程z′=-[x^2 p1(x)x p2(x)]的一个解2种形式给出了该方程的通解的表达式，同时，又揭示了二阶线性变系数齐次微分方程与黎卡提方程的内在联系。     

二阶变系数线性齐次微分方程的通解

主要讨论了二阶变系数线性齐次微分方程的求解问题,利用变量代换的方法将二阶变系数线性齐次微分方程y″＋P（x）y′＋Q（x）y=0化为Riccati方程,再利用已有的结果得出二阶线性变系数齐次微分方程的通解．     

二阶变系数线性常微分方程的约化

通过待定常数法,将一类二阶变系数线性常微分方程约化为一元二次代数方程.这类方程具有形如y=z(x)eλp(x)的解,这类解可以看作是二阶常系数线性常微分方程和欧拉方程解的推广.     

一类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解

为了对形如y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的二阶变系数非齐次线性微分方程的通解进行研究,利用高阶微分方程的常数变易法,在齐次情形的基础上给出了非齐次情况下的通解公式,将结果推广至二阶欧拉方程,并举例说明了具体应用.     

一类二阶变系数线性微分方程的通解

利用变量代换y=zeφ(x)将二阶变系数线性微分方程y″+P(x)y’+Q(x)y=f(x)化为方程z″+[2φ’(x)+P(x)]z’+{[φ’(x)]2+φ″(x)+P(x)φ’(x)+Q(x)}z=f(x)e-φ(x),再根据P(x),Q(x)的五种关系,分别得出了方程(1)和其对应的齐次微分方程的通解公式.     

求解一类二阶线性齐次微分方程边值问题的相似结构法

研究二阶线性齐次微分方程边值问题{y″+p(x)y’+q(x)y=0,[Ey+(1+EF)y’]x=a=D,[Gy+Hy’]x=b=0,其中,D、E、F、G、H、a和b均为已知的实常数,且D≠0,G2+H2≠0,a相似文献   

二阶变系数线性微分方程的求解定理

先提出引理,即某函数是二阶变系数线性齐次微分方程的解的充要条件,再给出在已知二阶变系数线性齐次微分方程的某一解的条件下,二阶变系数线性非齐次微分方程的通解公式——即定理1,然后借助引理及定理1提供了几类二阶变系数线性非齐次微分方程通解的积分表达式,从而获得求几类方程通解的统一方法.     

一类二阶线性变系数微分方程解法的探讨

二阶线性变系数微分方程大量出现在工程科学中,尽管这类方程求精确解困难,但实际问题往往有需要求解.对于二阶微分方程A(x)y″+B(x)y′+C(x)y=f (x),根据判别式Δ=A(x)φ′(x)+A(x)φ2(x)+B(x)φ(x)+C(x),将该方程化成新形式.当Δ=0时,该方程化为可解的一阶方程;当Δ≠0时,该方程化为新的二阶线性变系数微分方程,再探求其解法.     

二阶变系数线性齐次方程的可化型

本文讨论二阶变系数线性齐次方程 y~(＇＇)+p＇(x)y＇+q(x)y=0 (1)其中p(x)∈c,q(x)∈c,q(x)≠0。周知,这种方程没有一般的求积方法;但是,通过变量替换将它化为常系数的情形(可化型)是一个值得研究的问题。我们的任务是推导二阶线性方程的一般可化型和特殊可化型的充要条件及其通解公式,研究特殊可化型的两个线性无关解之间的相依关系,并介绍可化为可化型的各种二阶方程。 定理1 设φ(x)∈c~2,φ＇(x)≠0。方程(1)在自变量变换t=φ(x)下可化为常系数线性方程的充要条件是     

一阶微分方程的几个可积类型-兼谈广义黎卡提微分方程的一个猜想及两个结论

本文拟给出一阶微分方程的几个可积类型。这些方程只要通过适当的变 量变换,就可以化归为变量可分离方程,从而可积。可以着出,通常意义下的 一阶齐次微分方程、线性微分方程,和伯努里(Bernoulli)微分方程,是本文 所给几个可积微分方程的特例。 本文还定义了广义黎卡提方程(Gene rdized Riccati′s eguation): dy/dx+q(X)y=a_0(y)y~n+a_1(X)y~(n-1)+…+a_(n-1)(X)y+a_n(X),(a_0(X)≠0,n≥2):并提出了一个猜想:广义黎卡提方程一般是不能用初等积分法求解的;同时,作者给出了有关广义黎卡提方程的两个结论: (i)在条件a_n(x)≠0,a_(n-1)(X)=c_(n-1) a_(x) (i= l,2,…,n; C_(n-1)为常数)之下,广义黎卡提方程是可积的。 (ii)如果a_(n-1)(X)=0(0≤j(x)=c_(n-i)a_(n-i-1)(x)(i>j+1),则广义黎卡提方程也是可积的。     

以电磁场的基本理论讨论电路规律

电磁学教学中 ,在麦克斯韦方程建立后 ,适当增加从麦克斯韦理论直接推导似稳电路的基尔霍夫定律 ,非稳条件下的电报方程以及场量与路量间的对应关系 ,可以增强学生对麦克斯韦理论是电磁现象普通规律的认识     

波浪Boussinesq方程与缓坡方程的比较

分析、比较了近岸浅水波浪传播变形的Boussinesq方程和缓坡方程的形式与特点,建立了包含底摩擦能耗效应、波浪破碎效应和子网格效应的Boussinesq方程波浪数学模型,并介绍了处理动边界问题的窄缝法以及处理消波边界的海绵层技术．采用经验非线性色散关系,结合含非线性项的缓坡方程,得到考虑非线性作用影响的缓坡方程模型．用物理试验结果对两种模型进行验证,并用相关性分析方法对两模型的计算精度进行了分析与说明．     

用试探方程法求解Boussinesq方程

通过试探方程法求解非线性发展方程——Boussinesq方程，得到了3类精确解，即双曲正切解、正切解和指数形式解．     

薛定谔方程和海森伯方程的共轭形式

引入复共轭变数和共轭算符,可将薛定谔方程和海森伯方程变换为相同的共轭形式,且两个方程的物理含义保持不变。     

扩展椭圆型辅助方程法与Klein-Gordon方程新解析解

利用辅助方程法,求解具有二阶非线性项Klein-Gordon方程,得到了大量精确解析解,其中包括孤波解和周期波解等,这些解对于研究二阶非线性项Klein-Gordon方程具有重要的指导意义.该方法具有普适性,可以用来寻找其他非线性发展方程的新精确解析解.     

KdV-Burgers方程和 KdV-Burgers-Kuramoto方程的精确解

基于对 KdV-Burgers方程和KdV-Burgers-Kuramoto方程特点的分析,提出了一种由Burgers方程的解和 KdV 方程的解通过线性叠加构造 KdV-Burgers 方程的解以及由 KdV 方程的解和Kuramoto-Sivashinsky 方程的解通过线性叠加构造 KdV-Burgers-Kuramoto 方程的解的方法,并用该法求得了 KdV-Burgers 方程和 KdV-Burgers-Kuramoto 方程的若干精确解.     

N维波发夫微分方程

将波发夫方程推广到了高维情形,得到了扎维波发夫方程可解的充分必要条件;其次,研究了几类特殊波发夫方程通解的求法．     

Well-posedness of Cauchy problems for Korteweg-de Vries-Benjamin-Ono equation and Hirota equation

The well-posedness of the Cauchy problems to the Korteweg-de Vries-Benjamin-Ono equation and Hirota equation is considered. For the Korteweg-de Vries-Benjamin-Ono equation, local result is established for data in Hs(R)(s≥-1/8). Moreover, the global well-posedness for data in L2(R) can be obtained. For Hirota equation, local result is established for initial data in Hs(s≥1/4) .In addition, the local solution is proved to be global in Hs (s≥1) if the initial data are in Hs (s≥1) by energy inequality and the generalization of the trilinear estimates associated with the Fourier restriction norm method.     

球Bessel方程本征值问题特征方程根的Matlab算法

给出常见的[0,b]区间上的球Bessel方程本征值问题的特征方程,利用半奇数阶Bessel函数与Bessel函数之间的关系,将球Bessel函数转化为柱Bessel函数,得到一般区间上球Bessel方程的本征值和本征函数,分别对高阶和低阶球Bessel函数的不同情况,讨论使用Matlab编程得到特征方程根的方法,并介绍实际应用.