数系的扩展

为满足人类社会生活的需要,完善数学内部结构,伴随着人类认识水平的提高,人类对数的认识经历了一个从自然数到整数、整数到有理数、有理数到实数、实数到复数、复数到四元数的扩展过程.     

超实数域R及其性质

(一) 从自然数的产生到超实数理论的建立,人们对数的认识经过了一个漫长的发展阶段。在这期间,数的概念经过了四次重要的扩张:即从自然数到有理数;从有理数到实数;从实数到复数;从实数到超实数。数的概念的每一次扩张都是社会实践的需要,也是数的概念的内在矛盾发展的结果。数的概念的每一次扩张,都标志着人类对客观世界的认识发展到了一个新的阶段。     

整数评述

整数是数学中最基本的研究对象之一,本文将对整数作一系统地评述。艾·兰道在《分析基础》中是从自然数的Peano公理出发,先讲自然数,然后讲正分数和正有理数,再讲正(有理和无理)数,最后讲实数(正数,负数和零)的。诺洼塞洛夫在《代数与初等函数》中是把自然数与零所成的数系扩大成有理数域,把     

序与“复数无大小”

在数系中，自然数、整数、有理数、实数均有大小，且能排次序。复数能否排次序？为什么复数没有大小？下面从现代数学的基础结构之———序结构的观点探讨一下复数元大小的根源，并对中学复数教学相关的问题谈一点看法。1集的序关系实数集中，有小于“＜”、等于“。”、大于“＞”3种关系。另外，近代数学中还常用＜表示“小于或等于”，即“＜”相当于“＜”。定义1如果在集M的元素之间定义一个关系“＜”，满足：（1）三分律若x、yeM，则x＜y，但x4y；x＝y；x＞y，但y4y三者有且只有一种成立。（2）传递性若X，y，XEM，X＜y，且y＜Z…     

数学中的集合符号使用什么字体?

<正>答一般而言,集合符号采用大写白斜体字母,如集合A、集合B(可简称为集A、集B)。但集合中的5个特殊集合,即自然数集(非负整数集)、整数集、有理数集、实数集、复数集,按GB3102.11-1993《物理科学和技术中使用的数学符号》的规定,其符号应使用大写空心正体或黑正体字母。因大写空心正体字母不易录入,所以在实践     

新自然数集与《数系理论》的改革问题

《中华人民共和国国家标准@物理科学和技术中使用的数学符号(GB3102.11-93)》对表示自然数集的符号N作出新的规定N=|0,1,2,…|,即0也是自然数.对于以 Peano自然数公理系统为基础的<数系理论>课程,本文对于在新自然数体系下如何建立与之相应的自然数公理系统及其有关性质进行了比较全面的讨论.并在教学上作出了一些有益的探索.     

一种面向对象的数据类型—数包

从数的发展历史来看，开始人类并不认识数，随着人类与自然界进行抗争，慢慢地认识了正整数（自然数）。之后，人类又认识了负数、小数、有理数和无理数，进而又认识了实数与虚数。现在人们将实数和虚数统称为复数。自４０年代计算机发明以来，计算机技术取得了突飞猛进的...     

广义复变函数论(Ⅰ)

本文在王戍堂教授1979年引进的广义数理论的基础上建立广义复变函数论的一些基础工作。广义复数是形如z=(…,z_(-m),…z_0,z_1,,…,z(?),…)的列,其中对于每一个n∈I(整数集),z(?)=x_n iy_n x_n,y_n∈实数域R,m、n均为自然数,且只有有限个m,使z_(-m)≠O。一切广义复数之集称为广义复数系,记为Z。Z中元素间的加、减法     

不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误

可数集的各元都必可有自然数“配偶”这一特点使自识正整数5千年来一直“深埋地下”的最大自然数及无穷多无穷大自然数一下子“破土而出”推翻百年“标准实数完备”论，显示已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球。从而揭示中、小学课本有一系列重大错误：搞错变量的变域而将部分误为全部（继而推出病态的“部分可=全部”）；误以为“有首项的无穷数列必无末项”使级数论有常识性与概念性错误而使小学课本违反起码数学常识地断定0．99…=1；…。     

超复数及其若干性质

随着自然科学和社会生产的不断发展,人们对数的认识逐步深入。到十六世纪,数的仓库已扩张到复数。作为数集,它把过去的自然数、整数、有理数、实数作为子集,全部包括进去。复数除了不能进行大小比较之外,包括了过去的所有数集的运算及性质,并且具有许多过去的数集没有的性质,成为一种更加完善、更能反映自然规律的数。那么,有没有包括复数、比复数更加完善、更能反映自然规律的数存在呢?我们把对复数系进行各种扩张而得到的数叫做超复数。本文通过类似从实数域 R 扩张复数域 C 的方法,以及对 i平方的定义进行扩张的方法,论述四元数、八元数、二重数、对偶数和其它超复数,并且对它们的若干性质进行探讨。     

极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误：将两异集误为同一集

编序号常识使“深藏”5千年且被标准分析否定的无穷大自然数及其倒数一下子露出原形，同时使统治数学的集论露出百年病魔原形。“有胡子的，不一定是爹。”2，3，…，n＋1，…不一定是自然数列N的一部分。自识自然数5千年来一直无人识破此真相就有中学重大错误：搞错了y＝n±1等函数的值域而将两异集误为同一集。     

50字纠正五千年重大错误:任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学"常识":无最大自然数

正整数集N=11=1号数,2=2号数,…,n=n号数,…}的真扩集K=Nu{0}的0=m号数,显然:m是N以外的>所有自然数n的超自然数,m-1是与1相隔无穷多个n的最大自然教--五千年来一直不识与否定这类无穷大数及其倒数而误以为"有首项的无穷数列必无末项"的重大缺陷与错误,使级数论有概念性错误而一直误以为无限循环小数是有理数;使康脱脱离健康误入歧途铸成更重大错误:百年集论;使"精确"的极限论是自相矛盾的学说而根本不能化解无穷小危机.显然K有m个数.因K外还有负整数、正负分数等.故表示"多少个"的数n的全体中N只占极小一部分.从各个方面、角度深入分析论证了:客现存在用而不知的无穷大自然数是无穷多个1的和而与1之间有无穷多个自然数;无穷级数y一般都代表教,只不过有的y是用而不知的无穷大数罢了.     

籍闭缩区间套原理构造实数系统

常见扩张有理数域成实数域的方法有Dedekind分割法,Cantor基本序列法和公理系统法等,各以实数连续性的某种等价形式作依据。本文试以闭缩区间套原理作依据构造一实数系统,并证明这个系统满足实数连续性公理且与Dedekind实数系统等价。下面用N表示自然数集,Q表示有理数集。Q上的有关概念均按已知对待。     

再论数学概念的教学

数学概念有些是对具体事物的空间形式、数量关系,进行观察、比较、分析、综合、抽象概括,从感性认识上升到理性认识而形成的。例如对离散量构成的不同集合间的元素进行比较,对连续量的度量逐步产生发展进行概括抽象而形成实数概念,对物体的形状、大小、位置关系等进行观察、比较、概括抽象而形成点、线、面、体、圆、方、柱、锥等几何概念。有些是在已有的抽象概念的基础上再经过概括、抽象、判断、推理而形成的,例如复数的有关概念是在有理数系和实数系的理论基础上产生发展而形成的;非欧几何是在分析、论证欧氏几何的第五公设中产生并发展而形成的;微积分的基本重要概念则是在代数和几何结     

经典域论：实数和有理数的结构特性

“经典域”是指实数、有理数、复数及P进数这四类数，它们分别具有自身的代数结构和拓扑结构，这些理论通常散见于各种关于代数或数论的论著中。本书系统全面地论述了这些数的结构特性，分析了它们之间的内部联系和差别，特别突出了实数结构的重要性，以此为基础研究有理数和P进数，还初步介绍了非标准数，而复数结构特性则是依据关系式C=R（i）由实数的结果推出。     

用线性空间理论研究数域

本文利用线性空间的理论，研究了有理数域Ｑ与实数域Ｒ之间的某些数域，同时研究实数域Ｒ与复数域Ｃ之间的数域。     

等价关系与数系的扩充

数集是数学研究的基础。从小学的自然数开始 ,数经过一次次的扩充 ,到高中的复数 ,每一次扩充实际上都是一次依据等价关系的集合的分类。本文从集合论的观点即集合的分类方法讨论了数系的扩充 ,对于更准确地理解数概念 ,是大有裨益的。     

一类自然数集Sp的基本特性及其求作方法

一类自然数集Ｓ＿ｐ的基本特性及其求作方法孙庆虎（铜陵财经专科学校）设Ｐ为单质数，Ｓ＿ｐ表示满足下列性质的整数ｘ的集合：１）０＜ｘ＜ｐ；２）存在满足：与ｘ的奇偶性相反。文［１］提出的问题是找Ｓ＿ｐ的个数Ｎ或某些规律，并提出“Ｎ＿ｐ≡２或４（ｍｏｄ４）”...     

四元数在解不定方程中的应用

随着数学本身的发展和物理研究的需要,数的系统由正整数→分数→有理数→实数→复效不断扩充。复数域是一个比较完美的数的系统,利用复数解决一些代数、平面上的几何问题是很有效的,但要解决更为复杂的代数、空间上的几何问题则显得很有局限性和力不从心,这也就决定了数的发展到此并未止步。十九世纪伟大的英国数学家哈密顿(Hamilton,1805—     

实数连续性的同值形式

实数连续性是实数系区别于有理数系的最本质的属性。有理数系不具有连续性,因而不能用有理数去度量诸如不可公度线段之比这样一些量,也不能用有理数去描述连续变量的变化状态;而实数系因为具有连续性,则能成功地解决上述问题。“数学分析”是研究连续变量变化规律的科学,因此实数连续性对于“数学分析”的严格逻辑结构起着奠基的作用。什么是实数的连续性?这在不同的实数理论中有着不同的表述。正如大家所知道的,有