关于若干整数分拆问题

Y．Alavi,A．J．Boals,G．Chartrand,P．ErdSs和O．R．Oellermann提出下面的猜想：已知整数a1,a2,…,ak,满足n≤ai≤2n-2,1≤i≤k,且a1＋a2＋…＋ak=rt（n＋1）／2,则S=（1,2,…,n）包含有k个互不相交子集S1,S2,…,Sk,满足ai=∑（Si）,1≤i≤k。推广该猜想,得到下面的定理：已知整数a1,a2,…,ak,满足ai≥n,1≤i≤k,且a1＋a2＋…＋a4≤n（n＋1）／2,则S={1,2,…,n）包含有k个互不相交子集．S1,S2,…,Sk,满足ai=∑（Si）,1≤i≤k。由此定理易推出K．Ando,S．Gervacio和M．Kano证明的一个主要定理。参考文献中的一个错误同时被更正。     

关于欧拉方程φ(ab)=2~k(φ((a)+φ(b))的正整数解简

设φ(m)为欧拉函数,探讨了方程φ(ab)=2k(φ(a)+φ(b))的正整数解问题.当k=2时,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解.进而,对任意正整数k,给出了方程的5个正整数解:(a,b)=(3×2k-1,3×2k),(2k+1,5×2k-1),(2k+1,3×2k),(5×2k-1,3×2k),(2k+1,2k+1).对任意正整数k≥2,给出了方程的2个正整数解:(a,b)=(7×2k-2,13×2k-2),(9×2k-2,13×2k-2).     

含对称平均的不等式及其应用

用降维法建立了含九个正实数a1,a2,…,an的第一k次对称平均∑n^k（a）=[（k^n）^-1 1≤il＜…＜ik≤nj=1 ∑ ∏^k aij]^1/k,第二k次对称平均σn^k（a）=（k^n）^-1 1≤il＜…＜ik≤n ∑ （ai1 ai2…aik）^1/k,第三k次对称平均∏n^k（a）=（1≤il＜…＜ik≤n ∏ ai1＋ai2＋…＋aik/k）^（n^k）^-1的一个不等式链∏n^k（a）≥∑n^n＋1-k（a）≥σn^n＋1-k（a）（1＜k＜n）,并将此结果用于正定矩阵及单形．     

表方幂为连续的阶乘和

考虑方程a^m=n!＋（n＋1）!＋……＋（n＋k）!,其中a〉1,m〉1,n≥1．我们证明了当a≠0 mod 223092870时,方程所有的解是2^3=2!＋3!,3^2=1!＋2!＋3!,2^5=2!＋3!＋4!,12^2=4!＋5!;当a=0 mod 223092870时,令p是满足p=a的最小素数,如果方程有解,则m≤p．而且,我们猜想上述的四个解是方程仅有的解．     

关于欧拉方程φ(ab)=2~k(φ((a)+φ(b))的正整数解

设φ(m)为欧拉函数,探讨了方程φ(ab)=2k(φ(a)+φ(b))的正整数解问题.当k=2时,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解.进而,对任意正整数k,给出了方程的5个正整数解:(a,b)=(3×2k-1,3×2k),(2k+1,5×2k-1),(2k+1,3×2k),(5×2k-1,3×2k),(2k+1,2k+1).对任意正整数k≥2,给出了方程的2个正整数解:(a,b)=(7×2k-2,13×2k-2),(9×2k-2,13×2k-2).     

关于不定方程Пk=1^n（k^2＋1）=a·m^2的探讨

对于不定方程Пk=1^n（k^2＋1）=a·m^2,J．Cilleruelo证明了当a=1时,当且仅当n=3方程有解．证明了当a=5和7时,此方程无解;当a=17时,方程只有唯一解;还证明了一般情形,当a满足（a,17×101×1297×739601）=1且a的最大素因子p（a）≤2×738740时,当n〉3,方程无解．     

关于虚二次域Q((a~2-4k~n)~(1/2))类数的一个注记(英文)

设n,D,k,a∈N,n＞1,k＞1,且D为非平方数,h（-D）为虚二次域Q（）的类数,本文证明了：若D=4kn-1且a2≤4kn/11（k10n/11-1）,则除开（n,D,k,a）＝（3,3A2±4,A2±1,A（2A2±3））,（5,7,2,11）,（5,11,3,31）,（7,19,5,559）,（9,23,2,45）（这里2A∈Z）之外,．其他．     

关于图存在[a,b]-因子的邻域并条件的注记

设G是一个阶为n的图,a,b,k为正整数且1≤a〈b,2≤k≤[b／a],δ（G）为G的顶点的最小度．若δ（G）≥a,n≥（a＋b）（k（a＋b）-2）/b,且对V（G）的任意独立子集{x1,x2,…,xk}有｜NG（x1）∪NG（x2）∪…∪NG（xk）｜≥an／（a＋b）,则G存在[a,b]-因子．     

关于循环图带宽的几个结果

本文给出了循环图带宽的界,并求出了几类循环图的带宽。我们的主要结果是:1 如果 G=G_(2x)(i_1,i_2,…,i_i,i_(i 1),…,i_k),其中 k相似文献   

一类高阶线性微分方程解在角域上的增长性

主要研究了高阶微分方程 f（k）+ Ak -1 f（k -1）+…+ A1 f ＇+ A0 f =0的解在角域上的增长性,其中 A0,Aj （1≤j≤k -1）为亚纯函数,且假设 A0以有限复数 a 为亏值,ρ（Aj ）=0（1≤j≤k -1）,通过给定适当的条件,证明了齐次线性微分方程的任一非零解在某些角域上的增长级为无穷。     

一个包含F．Smarandache函数的复合函数

对任意正整数n,著名的F．Smarandache LCM函数SL（n）定义为最小的正整数七,使得n｜[1,2…,k],其中,n｜[1,2…,k]表示1,2,…,k的最小公倍数。而函数Z（n）定义为最小的正整数k,使得n≤k（k＋1）/2,即Z（n）=min｜k：n≤k（k＋1）/2｜,主要目的是利用初等及解析方法研究复合函数乩（Z（n））的均值性质,得到了一个有趣的渐近公式。     

关于广义位数码和的一个注记

给定非负实数b1〈b2〈b3〈…〈bk,称它们是B-数码．设n=bi1bi2…bij,1≤ij≤k,j=1,2,3,…,称s（n）=bi1＋bi2＋…＋bij是n的B-数码和．对于给定的x=bi1bi2…bij,b1≤bij≤bk,j=0,1,2,…,n,给出了∑n≤x s（n）和∑n≤x s^2（n）的一个估计．     

连通图中圈数

用|V（G）|、|E（G）|和f（G）分别表示图G的顶点数、边数和圈数．设F（k）＝｛f（G）;G是满足|E（G）|－|V（G）|＝k的无环连通图｝,n（k）＝minF（k）和N（k）＝maxF（k）．证明了下述结果：（1）n（k）＝k＋1;（2）N（k）≤2k+1;（3）对每个整数k≥1,N（k）≥2k＋k（k－1）＋1且当1≤k≤4时等式成立;（4）对每个整数k≥1是奇数时,N（k）≥2k3;当k≥2是偶数时,     

氮杂环卡宾前体[HO-4，6-di-C（CH3）3-C6H2-2-CH2{CH（NCHCHN）CH3}]CI的合成及结构

利用4,6-’Bu2-1-（HO）C6H2CH2CI与甲基咪唑反应成功的合成芳氧功能化的氮杂环卡宾前体[HO-4,6-di-C（CH3）3-C6H2-2-CH2{CH（NCHCHN）CH3}]CI,化合物通过了1HNMR和X-ray衍射表征。晶体结构表明其晶体属单斜晶系,空间群为c2／e,化学式为C19H29CIN2O,晶胞参数为a=32．034（14）A,b=8．630（4）A,c=14．695（7）A,α（deg）=90deg,β（aeg）=106．305（10）deg,γ（aeg）=90deg,V（A3）=3899（3））A3,Z=8,最终R=0.1705,ωR=0．1766。     

Na3H3[C4FN3OH4]6[TeMo6O24]·8H2O和Na2H[C4FN3OH4]2[Al（OH）6Mo6O18]·13H2O的合成与晶体结构

采用常规方法合成了2个Anderson型多金属氧酸盐Na3H3[C4FN3OH4]6[TeMo6O24]·8H2O（Ⅰ）和Na2H[C4FN3OH4]2[Al（OH）6Mo6O18]·13H2O（Ⅱ）．通过元素分析、红外光谱、热重分析、X射线单晶衍射对其进行了表征．结果表明：2个化合物均属于三斜晶系,P-1空间群;化合物Ⅰ的晶胞参数a=1．10691（10）nm,b=1．14899（10）nm,c=1．35807（12）nm,a=71．63（2）°,β=66．25（10）°,γ=67．44（2）°,V=1．4334（2）nm^3,Z=1,R1=0．0748,wR2=0．1279;化合物Ⅱ的晶胞参数a=0．68788（4）nm,b=1．16845（7）nm,C=1．30690（8）nm,a=81．3390（10）°,β=77．8900（10）°,γ=79．5480（10）°,V=1．00307（10）nm^3,Z=1,R1=0．0314,wR2=0．0995．     

关于欧拉方程φ(mn)=3~k(φ(m)+φ(n))的正整数解

设φ(n)为Euler函数,探讨了方程φ(mn)=3k(φ(m)+φ(n))的正整数解的问题。当k=2时,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解;进而对任意的正整数k,给出了方程的9组正整数解(5×3k-1,13×3k-1);(5×3k-1;26×3k-1);(4×3k-1,4×3k);(7×3k-1,4×3k);(8×3k-1,5×3k);(10×3k-1,13×3k-1);(5×3k-1,28×3k-1);(8×3k-1,13×3k-1);(2×3k,2×3k)。     

关于二元线性方程的正整数解的个数

设a,b,c,k是适合gcd（a,b）=1的正整数．证明了：恰有ab个不同的正整数c可使方程ax by=c共有k组正整数解（x,y）,而且c的最大值和最小值分别是ab（k＋1）和ab（k-1）＋a＋b．     

Kn—e图中的路因子

G是一个Kn-e图,e∈E（Ka）。设σ2（G）表示不相邻顶点度和的最小值．令｜V（G）｜=n=∑^ki=1 a,并且σ2（G）≥,n＋k-1．证明对于图G中任意的k个顶点v1,v2,…vk。存在点不相交的路P1,P2,…Pk,使得对于1≤i≤k,都有｜V（Pi）｜=ai．并且vi是Pi的一个端点．     

新的k紧优双环网的无限族

本文构造含n（t，a）=3t^2＋（2i-1）f＋B（a）个结点的k紧优双环网的无限族，其中i=1,2，3，k=0,1，2，…，20．     

关于高次幂和的一个注记

高次幂和是指不定方程x~n=sum from i=1 to k(x_i~n),k>1,x>0,x>0,i=1,…,k, (1)当n=k=2时,即为商高数,例如5~2=4~2+3~2.n=3时,有6~3=5~3+4~3+3~3,这是Euler给出的.n=4,5,6时,分别有解