积分算子的奇异数和本征值Ⅱ

最近 Rcade 改进了关于 Wcyl 对称核 K(x,y)∈C~1 的本征值为 λ_n(K)=o(n~(-3/2))的经典估计.他把C~1假定放宽为假设 K(x,y)∈L~2(Ω),K(x,y) 按每个变数分别地绝对连续,而且和都在L~2(Ω)中,这里Ω=(0,1)×(0,1),他证明了sum from (n~2λn~2(k)<∞).在前一篇文章[3]中,在 Rcade 的条件下得到.本文把这个结论推广到更一般的情况.     

积分算子的奇异数和本征值

设Ω=[0,1]×[0,1]是单位正方形,W~(12)(Ω)表示由所有这样的K(x,y)∈L~2(Ω)构成的空间:它对每个y关于x绝对连续,对每个x关于y绝对连续,而且偏导数((?)/(?)x)K(x,y)((?)/(?)x)K(x,y)都在L~2(Ω)中。最近Reade证明,任何K(x,y)=K(Y,X)∈W~(12)(Ω)的本征值,满足。本文说明,任何K(x,y)∈W~(12)(Ω)的奇异数满足特别如K(x,y)∈W~(12)(Ω)还假定是对称的,那末Reade的结果可改进。     

偶映射定理

受奇映射定理的启发,本文证明了连续偶映射的Brouwer度为偶数,即偶映射定理.(H)设D(?)R~n是有界对称含0的开集,f:D→R~n是连续偶映射(f(x)=f(-X),(?)X∈D)使O(?)f((?)D)有如下主要结果:1~0如假设(H)满足,则deg(f,D,0)是偶数.2~0如假设(H)满足,R~n的维数n为奇数且f(x)+(λ-1)x≠0,(?)x∈D和λ>1,则f在(?)D上必有零点.3~0如假设(H)满足但R~n的维数n为奇数,则存在y∈(?)D和λ>0(或λ<0)使f(y)=λy.我们进一步按上述内容对全偶连续映时进行了讨论.映射f:D→R~n是全偶的,只要f((-1)~(a1)x_1,…(-1)~(an)x_n)=f(x_1,…x_n),(?)(a_1,…a_n)∈δ_n(0,1),这里δ_n(0,1)={(a_1,…,a_n)|a_i=0或1,(?)i∈{1,2,…,n}}.     

高维正定核的本征值的渐近分布

本文的目的是,讨论由正定的C~r周期核K(x,y,u,v)生成的积分算子k的本征值的渐近分布,主要结果是,当r是偶数时,本征值λ_n(K)满足sum from 1 to ∞ (n~(r/2)λ_n)(K) <∞,而当r奇数时则有sum from 1 to ∞ (n~rλ_n~2)(K)<∞。     

最优宏观吸收截面的控制

1 问题提法考虑如下系统{Lφ+σφ=1/(λ(a))kφ(h,φ)=P其中P为正常数,h是L~2(Ω)中一给定的非负数,a是控制函数,其容许控制集定义为(?)={a∈L~∞(Ω_1)|0≤a(x)≤a(x)≤b(x)<∞,a.e.}a(x),b(x)∈L~∞(Ω_1),λ(a)为Lφ+aφ=1/λ(a)kφ的临界本征值(Ω_1,Ω_2是R~n,R~m中有界可测集,Ω=Ω_1×Ω_2). 现给定γ(正数),求a∈u使得γ(a)=γ且使下面指标泛函取得最小值     

又一类含变量可转移函数核的Hilbert型积分不等式

设λ1λ2≠0,如果t0时,函数K(x,y)满足K(tx,y)=K(x,tλ1/λ2y),K(x,ty)=K(tλ2/λ1x,y),则称K(x,y)是具有参数λ1和λ2的变量可转移函数.利用实分析技巧,得到了当λ1λ20时的一类含变量可转移函数核的Hilbert型积分不等式,并讨论了最佳常数问题.     

关于二阶非线性方程组的正解

本文主要利用Krasnosel'skii 不动点定理,在适当的条件下,当λ＞0和μ＞0时,给出下面方程组的一个和多个正解的存在性结果: x"(t)+λa(t)f(x(t),y(t))=0 t∈[0,1]y"(t)+μb(t)g(x(t),y(t))=0 t∈[0,1]x(0)=x'(1)=y(0)=y'(1)=0本文还推导了Green函数,研究了它的性质,从而得到有关一个和多个正解的存在性结果.     

VFS收敛的Dini判别法

Walsh引进函数φ_0(x+1)=φ_0(x),φ_n(x)=φ_0(2~nx)。由此得到[0,1]上完全正交系{φ_n(x)}。这里φ_0(x)=1, φ_n(x)=φ_n_1(x)·φ_n_2(x)…φ_n_r(x), n=2~n1+2~n2+…+2~nr,而n_(i+1)相似文献   

一类准齐次核的Hilbert型级数不等式成立的充要条件及应用

设非负函数K(x,y)满足条件:当t0时,有K(tx,y)=t~(λλ_1)K(x,t~(-λ_1/λ_2)y),K(x,ty)=t~(λλ_2)K(t~(-λ_2/λ_1)x,y).利用实分析技巧及权函数方法,给出具有这类准齐次核K(m,n)的Hilbert型级数不等式成立的充要条件和最佳常数因子,并讨论其在算子理论中的应用.     

关于Bernstein-Kantorovich算子的强逆不等式

定义了一种新的K-泛函:K(f,t)n∞＝infg∈C2[0,1]{‖f-g‖n∞+t‖δ2ng″‖n∞+t‖g′‖n∞},其中‖f‖n∞＝supx∈[0,1]|δ-βn(x)f(x)|,0≤β≤2,δ2n(x)＝φ2(x)+(1)/(n),φ(x)=x(1-x).利用此K -泛函给出了Bernstein-Kantorovich算子点态逼近的强逆不等式,即若f∈C[0,1],β＝α(1-λ),0<α≤2,0≤λ≤1,则(A)x∈[0,1],及(A)h∈(0,(1)/(4)),都存在正整数n及m满足|(Δ)2hφλ f(x)|≤Chαnα/2{‖Knf-f‖n∞+‖Kmnf-f‖n∞}.     

具有齐次核的奇异积分算子的范数及其应用

设K(x,y)满足K(x,y)=K(y,x)和K(tx,ty)=t^λK(x,y).定义奇异积分算子T，T(f)(y)=∫^+∞₀K(x,y)f(x)dx,y∈(0,+∞)，推导出获得算子T的范数的充分条件.利用这个结果,证明了一些新的积分不等式.     

在半无限区间上二阶方程组边值问题的正解

半无限区间上的边值问题经常出现在应用数学的各种分支,Agarwal等人也对该类问题进行了讨论。然而,半无限区间上的非线性边值问题的一般理论还很不完善。本文讨论半无限区间上的二阶微分方程组x″(t)-k21x(t)+f(t,x(t),y(t))=0,y″(t)-k22y(t)+g(t,x(t),y(t))=0,x(0)=y(0)=0,limt→∞y(t)=0,其中f,g是非负t→∞x(t)=lim连续的函数,在具有Bielecki模的某一函数空间的一个锥K1×K2上定义积分算子A,利用锥上的Krasnoselskii不动点定理,赋予f,g一定的增长条件建立上述问题的正解存在性定理。同时,最近文献一个定理中的错误也被改正。     

一类奇异二阶阻尼差分方程周期边值问题正解的存在性

研究了一类奇异二阶阻尼差分方程周期边值问题{Δ²x(t-1)+αΔx(t-1)+βx(t)=f(t,x(t), Δx(t-1)), t∈［1,T］_Z,x(0)=x(T), Δx(0)=Δx(T)正解的存在性,其中T >2是一个整数, α、 β均为常数, f(t,x,y):［1,T］_Z×(0,∞)×R→R关于(x,y)∈(0,∞)×R连续且允许f在x=0处奇异即lim_x→0⁺ f(t,x,y)=+∞,(t,y)∈［1,T］_Z×R。主要结果的证明基于Leray-Schauder非线性抉择。     

又一类具有准齐次核的Hilbert型积分不等式

设t>0, λ₁λ₂≠0, 若函数K(x,y)满足K(tx,y)=t^λ1K(x,t^-λ1/λ2y),K(x,ty)=t^λ2K(t^-λ2/λ1x,y),则称K(x,y)是(λ₁,λ₂)阶的准齐次函数. 利用权函数方法, 考虑λ₁λ₂<0情形下具有这种准齐次积分核的Hilbert型积分不等式, 并讨论其最佳常数问题.     

某些二元函数芽的一个特殊性质和它们的标准形式

在文[1]中,给出了带有任意4次齐次多项式Q（x,y）的函数芽f1（z,y）=x^2y＋Q（x,y）的一个特殊性质：芽f1的轨道是4-开的等价于Q（x,y）中,项的系数不为零．将芽工的这一特殊性质推广到某些具有类似形式的函数芽中去,且给出了它们的标准形式．     

平面自治系统闭轨的不存在性

关于Ｌｉｅｎａｒｄ方程ｘ＋ｆ（ｘ,ｘ）ｙ＋ｇ（ｘ）＝０或它的等价形式ｘ＝ｙ,ｙ＝－ｆ（ｘ,ｙ）ｙ－ｇ（ｘ）的闭轨不存在性已有大量研究,本文考虑一般的平面自治系统ｘ＝Ｐ（ｘ,ｙ）,ｙ＝Ｑ（ｘ,ｙ）得到了闭轨不存在的两个充分条件。     

Banach空间非柱形域上微分系统解的存在性

考虑在Banach空间非柱形域Ω上,微分系统 (IVP;τ,z0) z′=x′ y′=f1(t,x,y) f2(t,x,y)=f(t,z), (t,z)∈Ω, z(τ)=x(τ) y(τ)=z0=x0 y0 解的局部存在性,其中f1,f2分别满足紧性条件与耗散性条件,得到的结果推广并完善了已有的相关结果。     

二维定常的微流边界层解的存在性

证明了二维边界层uδu/δx＋vδu/δy=vδ2u/δy2-dp/dx和δu/δx＋δv/δy=0满足边界条件：内解的存在唯一性,其中：X是适当小的正数;     

二阶微分方程组边值问题2个正解的存在性

讨论了二阶微分方程组x″(t)+λa(t)f(x(t),y(t))=0,y″(t)+λb(t)g(x(t),y(t))=0,0≤t≤1,x(0)=y(0)=x′(1)=y′(1)=0,其中f,g连续,并赋予f,g一定的增长条件,证明了方程组至少存在2个正解。     

又一类含变量可转移函数核的Hilbert型积分不等式

设λ₁λ₂≠0, 如果t>0时, 函数K(x,y)满足K(tx,y)=K(x,t^λ1/λ2y),K(x,ty)=K(t^λ2/λ1x,y),则称K(x,y)是具有参数λ₁和λ₂的变量可转移函数. 利用实分析技巧, 得到了当λ₁λ₂<0时的一类含变量可转移函数核的-Hilbert型积分不等式, 并讨论了最佳常数问题.