关于Fourier级数收敛定理的研究

傅里叶级数收敛定理的叙述方式很多,下面就是常见的两种.定理1 [迪尼(Dini)定理]设 f(x)是以2π为周期的函数,并且在[-π,π]上可积,假设它在 x 处之广义左、右导数皆存在,则1/2[f(x 0) f(x-0)]=(1/2)a_0 sum from n=1 to ∞(a_ncosnx b_nsinnx).定理2 若以2π为周期的周期函数 f(x)在[-π,π]上按段光滑,则 f(x)的傅里叶级数在每一点     

黎曼——斯蒂阶积分存在的一个充要条件

实函中证明了[a b]上的有界函数f(x)黎曼可积的充要条件是f(x)不连续点所成之集的勒贝格测度为零。关于黎曼——斯蒂阶积分也有类似定理:f(x)在[a,b]上有界,α(x)为[a,b]上的有界变差函数,则f(x)在[a,b]上关于a(x)黎曼——斯蒂阶可积的充要条件是α(x)在f(x)不连续点所成之集上的全变差为零。本文就是给出这个定理的一个证明。     

富里埃級数的蔡查罗絕对求和

§1.导言设f(x)～1/2α_0+sum from n=1 to ∞(α_ncos nx++b_nsin nx),帕蒂于[1]中证明了: 定理A.设f(x)是一个周期2π的可积周期函数。{λ_n}是一个凸的数列,它满足∑n~(-1)λ_n<∞。则当x_0是f(x)的勒贝格点时,级数1/2α_0λ_0+sum from n=1 to ∞λ_n(α_ncos nx_0+b_nsin nx_0)是     

二元Λ有界变差函数的一些性质

设f(x,y)是对每个变量都是以2π为周期的实函数,首先给出了二元Λ有界变差函数的概念.在区域T2=[-π,π]×[-π,π]上讨论二元Λ有界变差函数f(x,y)的Fourier级数的系数∧f(m,n)阶的估计.若f(x,y)∈ABV(T2)在(0,2π]×[0,2π]区域上连续,给出并证明了f(x,y)的Fourier级数绝对收敛的充要条件.     

函数φ_x(t)的可积与级数∑λ_n/n[Sn(x)-S]的绝对求和

设S_n(x)(n=1,2,……)表示f(x)∈L(0,2π)的富理埃级数的部分和。 R·Mohanty和S·Mohapatra证明了:如果(f(x+t)+f(x-t)-2S)/t∈L(0,π),则级数∑((S_n(x)-S)/n)是|c,δ|可和,其中δ>0。在本文中,我们推广这个结果成下面的定理:令{p_n}是使得p_n≥0,P_n=p_0+…+p_n→∞且∑|△V_n|<∞,其中V_n=(n+1)p_n/P_n,的数列,同时满足 sum from k=n to ∞ 1/((k+2)P_n)=O(1/P_n), 则,当[f(x+t)+f(x-t)-2S]/∈L(t,π)时,级数∑(S_n(x)-S/n)在x点是|N,p_n|可和。     

Fourier级数收敛定理的一个新证明

如果a_n=(1/π)integral from -πto πf(x)Cos nx dx(n=0,1,2,…)b_n=(1/π)integral from -πto πf(x)Sin nxdx(n=1,2,…)则称级数(a_0/2) sum from n=1 to ∞(a_n Cos nx b_n Sin nx)为f(x)的Foureir 级数。据Euler 公式e~(ix)=Cos x iSin x,f(x)的Fourier 级数可以写成复数形式:     

关于积分integral from n=+0 to π [f(x+t)+f(x-t)-2f(x)]/tdt

设f(x)∈L_p[0,2π](1≤p≤∞),下列事实是已知的:存在一个以2π为周期的连续函数,积分 integral from n=+0 to π(f(x+t)+f(x-t)-2f(x))/t dt (1)处处发散。本文的目的是讨论积分(1)收敛的充要条件。如同我们在[1,2]中讨论的方法一样,我们需要(L~*)求和法。定义设R是一个巴拿赫空间,以‖u‖表示R中元素u的模.设u=∑u_n是R中一个级数,称     

小波级数的部分和在勒贝格点处的收敛性与收敛速度

本文研究f∈L2（）的小波级数的部分和在勒贝格点处的收敛性.通过对勒贝格点的研究,建立小波级数的部分和在勒贝格点处的收敛性,同时给出其收敛的精确速度.     

单调有界准则的推广与级数sum from n=1 to ∞ sin~m(an+b)/n~α的敛散性

利用致密性定理获得有界数列{y_n}收敛的一个充分条件:∨ε>0,■N∈Z+,使得当n>Z时,不等式yn-yn-1<ε恒成立。并发现任意项级数收敛的一个判定定理:如果级数sum from n=1 to ∞ a_n有界,且limn→∞a_n=0,则该级数收敛。由此获得:级数sum from n=1 to ∞ sin~(1+2s/t)=n/n~α收敛,其中s∈Z,t∈Z+,0<α≤1。并进行推广:如果s∈Z,t∈Z~+,0<α≤1,则级数sum from n=1 to ∞sin~1+2s/t)(an)/n~α收敛。再获得一个一般性结论:设有界函数f(n)满足0≤f(n)0,k,l∈Z。     

平均收敛的推广及其充要条件

本文将L_p空间的平均收效概念进行推广,使它包含Otlicz空间及φ——可积函数空间的平均收敛概念,并给出一系列平均收敛的充要条件。这些条件也是φ——可积函数空间中强模收敛和依范数收敛的充要条件。特殊地、便是L_p空间和Orlicz空间中平均收敛及依范数收敛的充要条件。其中定理3和定理4是L_p空间中著名的维他利收敛定理和勒贝格控制收敛定理的推广。     

解析函数的奇点与自然边界

本文先将正规发散的概念推广到角形闭域中去,然后给出下面定理。定理一若在张角小于π的角形闭域中正规发散,则z=z_0为奇点。同时指出定理一中“张角小于π”不可改进。利用定理一证明了定理二及推论。由此构造了一类幂级数,它以其收敛圆为自然边界,而此类幂级数不满足哈达玛特(Hadamard)空隙定理的条件。最后,又把定理二推广到复系数级数中去,得出定理三及推论。     

多重富氏积分球形平均对Lip(1,p)函数的均匀逼近及收敛问题

在一维的情形,Izumi[2]及[1]关于富里埃级数的非正阶Cesàro平均证明了以下结果(前者当β=0,后者当0<β<1): 若p>1,f∈C_(2x)及f∈Lip(1,p),则     

幂级数的积分定理

本文利用分部积分法与欧拉-高斯公式,证明了下面的定理。 定理:假设f(x)=sum(a_nx~n),且此幂级数之收敛半径不小于1;a_n终归为正,即存在正整数N,使当n>N时a_n>0;suma_n=sum(na_n)=sum(n~2a_n)=…=sum(n~(p-1)a_n)=0,其中p是任意正整数。则w=p,与P相似文献   

富理埃级数的蔡查罗绝对可和因子

本文考虑函数f(t)∈L(0,2π)Fourier 级数(?)cosnt+b_n sin nt(?)(t)Cesaro 绝对可和因子,得到定理1 设 0≤α≤γ≤1,假如(?)(1)那末级数 (?)在点 t=x 是|C,γ|可和.定理2设 1≥β>γ≥α>0,在条件(1)下,级数(?)(t)是|C,β|可和.以上定理中的{γ_n}是使(?)收敛的凸性数列。这些结果是 B.N.Prasad and S.N.Bhatt[1],S.M.Mazhar[2]中有关定理的拓广。     

富里埃级数关于阿贝尔平均和蔡查罗平均的局部饱和现象

§1.总说我们记在[-π,π]上是勒贝格可积的,以2π为周期的周期函数的全体为L_(2π)。设f(x)∈L_(2π),其富里埃级数是?(f,x)=a_0/2+sum from n=1 to ∞(1/n)(a_ncosnx+b_nsinnx)=a_0/2+sum from n=1 to ∞(1/n)A_n(x) (1)级数(1)的共轭级数是?(f,x) = sum from n=1 to ∞(1/n)(-b_ncosnx+a_nsinnx) 我们还将考虑级数     

富里埃级数的蔡查罗求和

1.假如f(x)∈L[0,2π],且在[0,2π]的子区间[a,b]上是连续的,那末我们写着f(x)∈L[0,2π]·C[a,b], ω_2(f,δ;a,b)= sup |f(x+h)+f(x-h)-2f(x)|.关于这类函数的富里埃级数f(x)～a_0/2+sum form n=1 to ∞(1/n)(a_n COS nx+b_n sin nx),Flett,Sunouchi等作者讨论了蔡查罗局部逼近问题。本文的目的是在详尽地讨论这个局部逼近问题,指出局部性与整体性的差别,并且解决了局部饱和问题。我们建立两个定理。定理1.设f(x)∈L[0,2π],ω_2(f, δ;a,b)=O(δ~β),f(x)的富里埃系数a_n,b_n=O(n~(a-β)).则(i)当0<β<1时,在[α+2ε,b-2ε]中均匀地成立着σ_n~α(f;x)-f(x)=O(n~(-β));(ii)当β=1时,f′(x)在[a,b]中是有界的话,在[a+2ε,b-2ε」中均匀地成立着     

应用傅里叶级数展开定理证明推广的黎曼—勒贝格引理

考虑推广的黎曼—勒贝格引理的证明方法问题,利用傅里叶级数收敛定理的结果,给出了新的证法过程.     

多项式项级数的积分定理

在本文中给出两种方法来求:当n→∞时, J_n(ω)=integral from n=-1 to 1 ρ(x)((u_n(1)-u_n(x))/(1-x)~ω)dx的渐近表达式,这里u_n(x)为n次多项式,ρ(x)为适当选取的函数在开区间(-1,1)中连续并取正值,ω为适当的正实数。第一种方法利用多项式u_n(x)具有特殊形式的循环公式。第二种方法是:当u_n(x)具有洛巨里格表达式且ω的取值在适当的区间中时,可以求出(?)_n(ω)=integral from n=-1 to1 ρ(x)((u_n(x))/(1-x)~ω)dx,于是利用解析延拓法,当ω的取值在更大的区间中时,可以求出J_n(ω)。利用第二种方法证明了下述定理: 设α≥-1/2且α≥β>-1。令f(x)=sum from n=0 to ∞c_nP_n~((α,β))(x),这里P_n~((α,β))(x)表示雅谷比多项式,如果c_n终规为正,且sum from n=0 to ∞c_nP_n~((α,β))(1)=0, 则按照λ=1或1<λ<2,integral from n=0 to 1 ((f(x)/(1-x)~λ))dx存在的充要条件分别是Σc_nn~αlogn收敛或Σc_nn~(α 2(λ-1))收敛。利用本定理即可推出:作者在函数项级数的积分一文中所证明的关于勒襄特级数及切比晓夫级数的两定理。     

浅析广义积分inttegral from n=+ to ∞(f(x)dx)收敛的必要条件

广义积分收敛的必要条件具体地说为:若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积,则f(x)在[a,b]上有界且几乎处处连续,而当f(x)的无限广义积分收敛时,则f(x)在其广义积分收敛的区域内几乎处处连续但不一定有界。若无穷级数收敛,则其一般项必收敛于0,而当f(x)的无限广义积分收敛时,f(x)却不一定收敛于0(当x趋于无穷大时),要使f(x)收敛于0(x→∞),还需附加一定的条件。     

次线性条件下一类奇异二阶三点边值问题正解的存在性

应用上下解方法和不动点定理,给出奇异非线性二阶三点边值问题x″(t) a(t)f(x(t))=0,0＜t＜1,x(0)=0,x(1)=kx(η)存在C[0,1]正解的充分条件.这里η∈(0,1)是一个常数,f∈C([0,∞),[0,∞)),a∈((0,1),[0,∞)).