关于二部图的圈的几个结果

高图Ｇ－（Ｘ，Ｙ；Ｅ）是二部图，ｈ＝ｍｉｎ（／Ｘ／，／Ｙ／）且ｈ≥３，δ（Ｇ）≥２，则（１）图Ｇ的周长Ｃ（Ｇ）≥ｍｉｎ（２ＮＣ２，２Ｈ），（２）若Ｇ是连通的，／Ｘ／＝／Ｙ／＝ｎ≥，且ＮＣ２＝ｎ，则Ｇ是偶圈可扩张的图且是偶泛圈图。     

超立方图和超立方有向图的同构因子分解

图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）的一个同构因子分解是边集Ｅ的一个划分：｛Ｅ１，Ｅ２，…，Ｅｔ｝，使得生成子图（Ｖ， Ｅ１），…，（Ｖ，Ｅｔ）都彼此同构。若 Ｈ≌（Ｖ，Ｅ１），记为 Ｈ［Ｇ或 ｔ］Ｇ．若对每个ｔ≥２．当　　　时．均有：ｔＧ，则称Ｇ为有理图．文章证明了超立方图（ｈｙｐｅｒｃｕｂｅ）和超立方有向图都是有理图．     

关于图的圈覆盖

Ａ．Ｉｔａｌ和Ｍ．Ｒｏｄｅｈ给出了两个关于图的圈覆盖的猜想：（ｉ）任意２－边连通图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）有困覆盖Ｃ，使ｌ（Ｃ）≤｜Ｅ｜＋｜Ｖ｜－１；（ｎ）任意２－边连通图有困覆盖，使图的每条边至多被覆盖两次．本文证明了猜想对平面图和２－边连通没有３－边割的图成立，并给出了一与两猜想等价的条件．同时也对著名的２－圈覆盖猜想作了讨论．     

关于Catlin的2/3—猜想

G表示一个图 ,若G有一个欧拉生成子图 ,则称G是超欧拉图。Catlin的 2 3—猜想 :设G是超欧拉图 ,G ≠K1,则G存在一个欧拉生成子图H ,使得｜E(H) ｜ ｜E(G) ｜≥ 2 3。笔者证明了对于Cayley图 ,猜想成立。     

跳跃图是H-图的一个充分条件

图Ｇ的跳跃图记作Ｊ（Ｇ），若Ｇ是Ｈ－图且ｐ（Ｇ）≥７，ｑ（Ｇ）≥２ｐ－２，则Ｊ（Ｇ）是Ｈ－图，从而证明Ｇ．Ｃｈａｒｔｒａｎｄ等文中提出的猜想Ｂ是正确的。     

关于Catlin—猜想的反例

Catlin的2／3－猜想：若G是超欧拉图，G≠K1，那么G有一个欧拉生成子图H，使得|E(H)|≥2／3|E(G)|。给出了Catlin的2／3－猜想的一些反例。     

生成子图与图的哈密顿性质

主要证明了以下结果；１．如果Ｇ是一个连通的无爪的非哈密顿图，则Ｇ至少有一条长为２δ＋的路。２．如果Ｇ是一个２连通的无爪图，且δ（ｐ－２）／３，则Ｇ是可迹的。３．Ｇ是一个２连通的无爪图，且不含生成子图Ｂ工Ｇ１，如果Ｇ的每个朵匀于Ｚ２的生成子图都满足ψ（α１，ｂ１）ˇψ（α１，ｂ２），则是Ｇ是泛圈图。     

关于CockayneEJ的两个猜想

猜想１〔１〕当Ｋ（Ｇ）＝Ｃ２ｎ＋１时有Ｃ（Ｇ）≤ｄ（Ｇ）;猜想２〔１〕当Ｋ（Ｇ）是偶图时有Ｃ（Ｇ）≤ｄ（Ｇ）．以下通过反例说明猜想１不成立．然后证明猜想２成立．设Ｇ是无向、无环、无多重边的简单图,Ｇ＝（Ｖ,Ｅ）,其中Ｖ＝Ｖ（Ｇ）表示Ｇ的顶点集,Ｅｎ＝...     

关于Catlin—猜想的一个定理

文献[3]给出了判定超欧拉图的一个定理：设G是一个2－边值通的不含K3－子图的简单图，n=|V(G)|≥31。如果δ（G）≥n/10，并且G不能被收缩成K2，3则G有一个欧拉生成子图。证明了在上述条件下，G有一个欧拉生成子图H使得|E(H)|≥2／3|(E(G)|,或者G－E（H）有平凡分支。     

关于正则图包含三角形的一个充分条件

本文对图论中的Ｗｏｏｄａｌｌ关于结合数的一个猜想作了研究,证明了：若正则图Ｇ的结合数ｂｉｎｄ（Ｇ）≥３／２且ｄｉａｍ（Ｇ）＝２,则图Ｇ包含三角形。     

极大欧拉生成子图边数的几个定理

利用收缩的方法研究了超欧拉图的欧拉生成子图的边数问题,得到了结果:若 1个超欧拉图的子图H最多差 1条边有 3棵边不交的生成树,如果把H收缩后的图满足Catlin猜想,则原图也满足Catlin猜想 .     

Ore－型子图对图的Hamilton性的影响

设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）为ｎ阶２－连通的１－坚韧图。将Ｇ的节点分类：ｇ＝｛ｖ∈Ｖ｜ｄＧ（ｖ）≥ｎ／２｝而Ｈ＝（Ｇ＼ｇ）。如果Ｈ满足Ｏｒｅ－条件：ｘ，ｙ∈Ｖ（Ｈ），（ｘ，ｙ）∈Ｅ（Ｈ）ｄＨ（ｘ）＋ｄＨ（ｙ）≥｜Ｖ（Ｈ）｜，则有：（ｉ）Ｇ是Ｈａｍｉｌｔｏｎ的；（ｉｉ）若Ｇ不是偶图，则Ｇ至多丢失长为ｎ－１的圈．     

关于奇阶同阶图的联图的全着色

图Ｇ的全色数ｘＴ（Ｇ）是使得ＶＥ９Ｇ）中相邻接或相关联的元素均着不同颜色的最少颜色数，证明了：如果ｖ（Ｇ）＝ｖ（Ｈ），存在ｖ∈Ｖ（Ｇ），Ｖ‘∈Ｖ（Ｈ）使得Ｇ＾ｃ－ｖ和Ｃ－ｖ’都含有完美对集且Δ（Ｇ）＝Δ（Ｈ）并存在ｅ∈Ｅ（Ｇ－ｖ），ｅ‘∈Ｅ（Ｈ－ｖ’），使得Ｇ－ｅ和Ｈ－ｅ‘都是第一类图，或ΔＧ）〈（Ｈ）且存在ｅ∈Ｅ（Ｈ－ｖ’）使得Ｈ－ｅ‘是第一类图，则ｘＴ（ＧＶＨ）≤Δ（ＧＶＨ）＋２。     

图中含Dλ—圈的一个充分条件

设图Ｇ是一个ｎ阶简单图，Ｇ中的一个圈Ｃ称为Ｄλ一圈，如果Ｇ／Ｖ（Ｃ）的每个连能分支的阶都小于λ。当Ｇ是３－连通图，且有ＮＣλ（Ｇ）≥ｎ＋４／２－２λ时，Ｇ含有Ｄλ－圈或Ｇ是Ｐｅｔｅｒｓｅｎ图。     

Pn∨Pn的全色数

图Ｇ的全色数ＸＴ（Ｇ）是使得Ｖ（Ｇ）∪Ｅ（Ｇ）中相邻或相关的元素均染不同颜色的最少颜色数目。如果ＸＴ（Ｇ）＝△（Ｇ）＋１，则记Ｇ∈Ｃ１／Ｔ；如果ＸＴ（Ｇ）＝△（Ｇ）＋２，则记Ｇ∈Ｃ２／Ｔ。     

双循环，对集和树

令Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）为一个图，它的节点数为ｎ，不仅是一个双循环也是一个上循环．记β（Ｇ）为Ｇ的双循环空间的维数．对于Ｇ的一个子图Ｈ，用φ（Ｇ，Ｈ）表示Ｇ的支撑森数目，使得它的每个树均恰含Ｈ的一条边．图Ｇ的Ｈ扩张Ｘ（Ｇ，Ｈ）在Ｇ上增添一个新节点ν，连ν与Ｈ的每一个奇次节点以一边所得到的图．本文证明，φ（Ｇ，Ｈ）是个偶数，要么Ｘ（Ｇ，Ｈ）不连通，要么Ｘ（Ｇ，Ｈ）有一个非零双循环．对于一个欧拉图Ｇ，令λ（Ｇ）为Ｇ中这样边的最小数目，使得在将它们从Ｇ中收缩掉而得到的图Ｇ中，所有那些落在奇数个完满对集上的边，形成一个非零双循环．同时还得到，在Ｇ的最大对集中边数为μ（Ｇ）的一个下界，即μ（Ｇ）≥（ｎ－｜β（Ｇ）－１｜）／２．对于非欧拉图Ｇ，令ψ（Ｇ）＝β（Ｘ（Ｇ，Ｇ）），和用γ（Ｇ）表示这样边的最小数目，使得在将它们从Ｇ中收缩掉而得到的图上，有边属于奇数个完满对集．我们证明，γ（Ｇ）＝ψ（Ｇ）以及μ（Ｇ）≥（ｎ－ψ（Ｇ））／２．     

Hamilton偶图的局部度数条件

设Ｇ是具有二分类（Ｘ，Ｙ）的２连通等部偶图。如果对Ｇ中每一个顶点ｖ，Ｈ是Ｇ中与ｖ距离为２和３的所有顶点导出的子图，并且对于ｇ中每一个与ｖ距离为３的顶点ｕ，ｕ在Ｈ中的度数ｄ＿Ｈ（ｕ）不小于距离ｖ为２的顶点的数目减去（ｄＧ（ｖ）－２），则Ｇ是Ｈａｍｉｌｔｏｎ图。其中ｄ＿Ｈ（ｕ）的下界不能改进。     

简单平面三角剖分图中各生成两部子图的最大次

讨论了简单平面三角剖分图中各生成两部子图的最大次的取值范围,否定了郁星星提出的生成两部子图最大次的上界为常数的猜想,并且得到了下面的主要结果。（１）设Ｇ是简单平面三角剖分图,当ｎ＝３时,ａ０（Ｇ）＝１;当ｎ＝４时,ａ０（Ｇ）＝ａ１（Ｇ）＝ａ２（Ｇ）＝１;当ｎ≥５时,有２≤ａ０（Ｇ）≤ａ１（Ｇ）≤ａ２（Ｇ）≤「△（Ｇ）／」,且下界ａ０（Ｇ）－２能达到。⑵若ｌ是不小于３的整数,则（ａ）存在简单平面三角     

3-边连通图中的超欧拉图

一个含有生成闭迹的图称为超欧拉图。设G是n阶3－边连通图，若对任意G的边数为3的最小边割E都满足G－E遥每一连通分支的阶至少为（n-1）／10，则或者G是超欧拉图，或者G可收缩为G‘＝Petersen图，且G‘的每个顶点在G中的原像是G的一个可折叠子图，其顶点数至少是（n-1）／10。     

关于完全三部图K(n-k,n,n+k)的色性

设Ｇ为简单图,Ｐ（Ｇ,λ）的色多项式,若对任意简单图Ｈ满足Ｐ（Ｈ,λ）＝Ｐ（Ｇ,λ）,都有Ｈ与Ｇ同构,则称Ｇ是色唯一图,设Ｋ（ｍ,ｎ,ｒ）表示完全三部图,证明了：（１）对任意非负整数ｋ,若ｎ≥２√－３ｋ／３＋ｋ＾２,则Ｋ（ｎ－ｋ,ｎ,ｎ＋ｋ）是色唯一图。（２）若ｎ≥９,则Ｋ（ｎ－３,ｎ,ｎ＋３）是色唯一图。