关于数列的上下极限的几个等价定义

本人通过多次讲授《数学分析》课,深感上极限和下极限的内容是一个难点。不少学生觉得它的基本概念难理解;特征和性质难证明;求上、下极限的方法难掌握。本文的目的,是想通过上、下极限的几种定义的等价性的证明,进一步揭示此概念的实质,以期在教学中增强学生掌握和运用上、下极限概念的能力,为今后进一步提高教学质量服务。下面先叙述有界数列{x_n}的上、下极限的几种定义,再证明其等价性,并给出几点注记。定义1:     

关于上、下极限的几个定理

在〔1〕中证明了数列的上、下极限的几个定义的等价性,本文将在此基础上给出数列上、下极限的几个定理。(全文在实数范围内讨论)为了叙述的方便,我们引入以下两个概念:     

更新教材内容,不断提高教学质量——浅谈引进集合列上、下限集的概念及其性质

在使用江泽坚等编的《实变函数论》教材的过程中,补充引进了集合列的上、下极限集的概念,因为它与函数列的各种收敛概念有密切关系,利用上、下极限集的一些性质,可以简化定理的证明。这样在作为系统地完整地掌握这方面的知识和方法上颇为有益。作为教学中的点滴体会,现在综合归纳如下。一)集合列上、下极限集的定义i)数列的上、下极限的两种等价定义:     

上、下极限三种定义的等价证明

列举了数学分析中上、下极限的三种常见定义，利用两边夹等定理证明了它们的等价性．对上、下极限及相关内容的教学做了初步探讨．     

数列与相应函数列的上、下极限间关系探讨

在数学分析中,数列上、下极限的计算有一定的难度,本文就几种特殊情况,通过对数列上、下极限与相应函数列的上、下极限之间一些定理的证明及应用举例,从而总结出在计算函数列的上、下极限时的简便算法.     

等价数列的性质及应用

将集合论中的等价关系引入到数学分析中,给出了等价数列的概念及若干性质,并举例说明了等价数列在数学分析、线性代数和泛函分析中的应用.     

数列上下极限在求解数列极限中的应用

极限思想是高等数学中一个重要的组成部分,是解决高等数学中有关问题的一个强有力工具。数列上、下极限的概念是数列极限概念的延伸,它在求解数列极限方面有着重要的应用。     

滤子定义下的黎曼积分

在一般教材的黎曼积分定义中,黎曼和不是定义在实数或复数域上的,并且黎曼和的极限(即黎曼积分)是在积分区间无限细分情形下的极限,因此这种特殊的极限与数列的极限和函数的极限有着本质上的区别.在定义中对极限的实质阐述不够充分,使学生不容易理解和掌握.我们借鉴国外经典的数学分析教材中的滤子的概念来定义黎曼积分,使定义自然、合理,并和数列极限、函数极限等极限定义有统一的形式.     

滤子定义下的黎曼积分

在一般教材的黎曼积分定义中,黎曼和不是定义在实数或复数域上的,并且黎曼和的极限（即黎曼积分）是在积分区间无限细分情形下的极限,因此这种特殊的极限与数列的极限和函数的极限有着本质上的区别．在定义中对极限的实质阐述不够充分,使学生不容易理解和掌握．我们借鉴国外经典的数学分析教材中的滤子的概念来定义黎曼积分,使定义自然、合理,并和数列极限、函数极限等极限定义有统一的形式．     

数列上、下极限的注记

本文给出上、下极限的作用以及用它们判断数列收敛的两个充要条件。     

关于凸函数几个定义的等价性

凸函数概念在数学分析中的出现,主要是作为导数的一个应用而被引入的。实际上,它的作用远不止此,由于凸函数自身所具有的特性,使得它在数学的许多分支中有着广泛的应用。但在常见的一些文献里,往往采用各种不同形式的叙述。本文将对下述几个定义的等价性问题进行讨论。     

拓扑空间上映射的上极限与下极限

在拓扑空间上引入了映射的上极限与下极限的概念,利用拓扑空间中网与网收敛的方法和技巧获得了上极限的一组等价刻画,并且指出关于下极限也有类似的结果.     

数列极限定义的教学研究

极限是微积分学的基础,是《数学分析》与《高等数学》教学中的难点之一。在本文我们利用格理论中序极限的定义,为ε-N型定义与同学们对数列极限的直观认识之间建立一座桥梁,使同学们对数列极限概念有进一步的认识。     

上下极限的概念在极限教学中的作用

讨论在《数学分析》课程中引入上、下极限概念的教学的意义 .指明了它对提高学生分析能力的作用     

关于数列极限论证方法的探讨

极限思想是整个数学分析的基础,极限方法及其理论是学习数学分析必须使用的工具,数列极限的“ε—N”定义是极限理论的重要内容,掌握“ε—N”定义对学好数学分析具有重要意义.初学者往往不容易理解“ε—N”定义,特别是利用该定义证明极限感到无从下手.本文就“ε—N”定义及数列极限论证方法进行分析和探讨.     

绝对平均有界数列空间Aab（K）

提出了绝对平均有界数列的概念,并由此定义了实(或复)数域K上绝对平均有界的数列空间Aab(K),这是一个介于有界数列空间l∞和近似有界数列空间Ab(K)之间的空间.给出了数列绝对平均有界性的等价条件,证明了空间Aab(K)是不可分的、不自反的、不具有Krern-Mil’man性质和Radon-Nikod m性质的Banach空间.     

谈数列极限概念的教与学

谈数列极限概念的教与学陈夏冰极限是研究函数的工具，数学分析中种种概念的建立依赖于极限理论，因此极限理论在数学分析中占有它独特的位置，帮助学生搞清极限概念是整个数学分析教学中重要的一环，而在这一部分若将数列极限概念弄清楚了，通过类比教学，学生不难将函数...     

关于数学分析中否定命题的教学

在数学分析教学中,使学生正确地掌握数学命题的否定,进而会运用反证法并会论证某一对象不满足某一定义,是很基本而重要的.例如,数列{x_n}以 A 为极限的定义,数列{x_n}收敛的柯希准则,函数级数 sum from n=1 to ∞ u_n(x)在[a,b]上一致收敛的定义,函数f(x)在[a,b]上一致连续的定义等的否定,都是需要很好掌握的.从数理逻辑来看,这些命题都表现为所谓“前束范式”的形式,就是说,所有“量词”都集中在命题的最前面.例如,数列{x_n}以 A 为极限的定义可以写成下面的形式:     

数列极限概念教学的层次性

极限理论是数学分析的基础理论,极限是初学数学分析的学生难于理解不易掌握的概念.数列极限概念教学应重视概念的生成过程,从设疑、探索、剖析和应用四个层次去把握,这样不但可以降低学生学习数列极限概念的难度,而且增强学生学习数学的兴趣,进而有效地解决问题.     

拓扑学观点下的数学分析知识

在拓扑学观点下，深入探讨数学分析中一些重要概念和原理的本质属性，并研究其特殊性。数学分析中序列极限的唯一性、海涅定理对连续函数的刻画、介值定理，以及描述实数完备性的几个重要定理的等价性，都是特殊实数空间上的特殊结论。