关于不定方程y（y＋1）（y＋2）（y＋3）=p^2kx（x＋1）（x＋2）（x＋3）

证明了不定方程ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）＝ｎｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）在ｎ＝ｐ＾２ｋ（ｐ为质数ｋ为自然数）时无正整数解。     

关于f″（h（x）＋p（x）f‘（h（x）＋q（x）f（h（x））=F（x）的求解定理

文献中闸给出了ｆ′（ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）的若干求解公式，本文先提出三个引理，再借助复合函数求导法则，积分方法及变量替换法，给出新的微分方程ｆ″（ｈ（ｘ）＋ｐ（ｘ）ｆ′（ｈ（ｘ）＋ｑ（ｘ）ｆ（ｈ（ｘ）＝Ｆ（ｘ），论证它在一定条件下的可积性，并获得通解的具体表达式，所得结论是对文献中问题的拓广与深化。     

方程x＋f（x）x＋g（x）=0零解的全局渐近稳定性

本文讨论了Ｌｉｅｎａｒｄ方程ｘ＋ｆ（ｘ）ｘ＋ｇ（ｘ）＝０的零解的全局渐近稳定性，所得结果包含了文「１－４」的主要结果。     

关于不定方程h∑i=0（x＋i）^n=（x＋h＋1）^n的解

证明了：当１００〈ｎ≤２００时，不定方程ｘ＾ｎ＋（ｘ＋１）＾ｎ＋．．．＋（ｘ＋ｈ）＾ｎ＝（ｘ＋ｈ＋１）＾ｎ。无正整数解。     

Lienard方程x‘’＋f（x）x‘＋x=0周期解的进一步讨论

给出了Ｌｉｅｎａｒｄ方程ｘ”＋ｆ（ｘ）ｘ‘＋ｘ＝０存在周期解的一个充分条件和一个必要条件。     

Linard方程x″＋f（x）x′＋x＝0周期解的进一步讨论

给出了Ｌｉｅｎａｒｄ方程ｘ″＋ｆ（ｘ）ｘ′＋ｘ＝０存在周期解的一个充分条件和一个必要条件。     

多项式（1＋x＋x^2＋...＋x^k）^n的通项公式

多项式（１＋ｘ＋ｘ２＋…＋ｘｋ）ｎ的通项公式高玉玲吴效显（菏泽教育学院数学系，２７４０１５，山东菏泽；第一作者４９岁，女，副教授）二项式（１＋ｘ）ｎ的展开式的各项系数即二项系数组成一个三角形，这就是著名的杨辉三角形，也称Ｐａｓｃａｌ三角形．多项式（１...     

丢番图方程∑（n—1,k=0）（x＋d2k）^r=（x＋d2n）^r

证明了当ｎ，ｘ，ｒ为正整数县ｒ〉３，ｓ为非负整数，（Ⅰ）ｒ为奇数，ｄ２＝４０ｓ＋２，２２．（Ⅱ）ｒ为偶数，ｄ２＝４０ｓ＋１２，ｄ２＝８０ｓ２２，４２ｇｃｄ（ｘ，ｄ２）＝１，丢番图方程∑（ｎ－１，ｋ＝０）（ｘ＋ｄ２ｋ）＾ｒ＝（ｘ＋ｄ２ｎ）＾ｒ无整数解。     

齐次丢番图方程n—1／∑／k=0（x＋gk）^r=（x＋gn）^r

用初等方法证明了：当ｎ，ｘ，ｒ为正整数目ｒ＞３，ｓ为非负整数，ｇ＝８０ｓ＋６，ｇｃｄ（ｘ，ｇ）＝１丢番图方程ｎ－１／∑／ｋ＝０（ｘ＋ｇｋ）＾ｒ＝（ｘ＋ｇｎ）＾ｒ无整数解。     

关于（x）的几个不等式

本文研究了关于［ｘ］的两个不等式；得到对一切的自然数ｎ有［ｘ＋ｙ＋ｎｚ］＋［ｘ＋ｎｙ＋ｚ］＋［ｎｘ＋ｙ＋ｚ］≤［（ｎ＋２）ｘ］＋［（ｎ＋２）ｙ］＋［（ｎ＋２）ｚ］＋２；当且仅当１≤ｎ≤４时，有［ｘ］＋［ｙ］＋［ｚ］＋［ｘ＋ｎｙ＋ｚ］＋［ｘ＋ｙ＋ｎｚ］＋［ｎｘ＋ｙ＋ｚ］≤［（ｎ＋３）ｘ］＋［（ｎ＋３）ｙ］＋［（ｎ＋３）ｚ］＋１。     

p~（2k）元域上的方程x~（q＋1）＝λ与x＋x~q＝u

本文详细证明了ｐ￣（２ｋ）元域上的方程ｘ￣（ｑ＋１）＝λ与ｘ＋ｘ￣ｑ＝ｕ的解的结论。     

带可变号系数q（t）的微分方程x″＋q（t）f（x）g（x′）＝0的振荡定理

本文研究带可变号系数ｑ（ｔ）的微分方程ｘ″（ｔ）＋ｑ（ｔ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ′）＝０的振荡性问题，也包含ｑ（ｔ）振荡时或不变号时的结果，得到有关振荡性的一些判别定理。     

关于高斯函数的几个恒等式

对高斯函数的两个恒等式：〔ｘ〕＋〔ｘ＋１／ｍ〕＋．．．＋〔ｘ＋ｍ－１／ｍ〕＝〔ｍｘ〕，其中ｘ∈Ｒ，ｍ∈Ｎ；１／２（ｐ－１）Σ（ｋ＝１）〔ｋｑ／ｐ〕＝Ｐ－１／２．ｑ－１／２，其中ｐ、ｑ是正奇数且（ｐ，ｑ）＝１，以及Ｔｏｍ．Ｍ．Ａｐｏｓｔｏｌ的一个问题“若ａ＝１，２，３，４，５，６，７。证明存在一个（依赖于ａ的）整数ｂ，使得ｎΣ（ｋ＝１）〔ｋ／８〕＝〔（２ｎ＋ｂ）＾２／８ａ〕”，作了进一步的推广，得到     

氧含量分析法确定Sm_（1＋x）Ba_（2－x）Cu_3On的固溶区

基于碘量法测定高温超导氧化物氧含量的方法，总结出固溶化合物Ｓｍ（１＋ｘ）Ｂａ（２－ｘ）Ｃｕ３Ｏｎ的氧含量ｎ随固溶度ｘ变化的规律性；从理论分析和实验测定得出在固溶区域内，Ｓｍ（１＋ｘ）Ｂａ（２－ｘ）Ｃｕ３Ｏｎ的氧含量ｎ与替代程度ｘ呈线性关系，超出固溶极限ｘ０，直线斜率将发生明显变化。此结果与Ｘ射线粉末衍射结果基本一致．     

丢番图方程[x＋（80s＋42）k]＝[x＋（80s＋42）n]~r

本文证明了；当ｎ，ｘ，ｒ为正整数且ｒ＞３，ｓ为非负整数，ｇｃｄ（ｘ，（８０ｓ＋４２））＝１，丢番图方程无整教解。     

丢番图方程sum from k＝0 to n－1 of （x＋d_2k）~r＝（x＋d_2n）~r

证明了当ｎ，ｘ，ｒ为正整数且ｒ＞３，ｓ为非负整数，（Ⅰ）ｒ为奇数，ｄ２＝４０ｓ＋２，２２．（Ⅱ）ｒ为偶数，ｄ２＝４０ｓ＋１２，ｄ２＝８０ｓ＋２２，４２ｇｃｄ（ｘ，ｄ２）＝１，丢番图方程∑ｎ－１ｋ＝０（ｘ＋ｄ２ｋ）ｒ＝（ｘ＋ｄ２ｎ）ｒ无整数解     

半线性椭圆方程Δu—a（x）u＋b（x）u^p=0 Dirichlet问题的奇异解

证明了半线性椭圆方程Δｕ－ａ（ｘ）ｕ＋ｂ（ｘ）ｕ＾ｐ＝０的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ问题，当１〉ｐ〉（ｎ＋２）／（ｎ－２），ｎ≥３，且ａ（│ｘ│），ｂ（│ｘ│）满足适当条件时有无穷多奇异正解。     

函数f（x）=1／（1＋x）的迭代表达式序列及其收敛性定理

讨论了函数ｆ（ｘ）＝１／（１＋ｘ）的迭代表达式的表示形式，并应用这一表示形式证明了一个数学实验结果。     

齐次丢番图方程（x＋gk）~T=（x＋gn）~r

用初等方法证明了：当ｎ，ｘ，ｒ为正整数目ｒ＞３，ｓ为非负整数，ｇ＝８０ｓ＋６，ｇｃｄ（ｘ，ｇ）＝１，丢番图方程无整数解。     

二阶常微分方程的一个振动定理

建立了二阶超线性常微分方程ｘ″（ｔ）＋ｐ（ｘ）ｘ′（ｔ）＋ｑ（ｔ）｜ｘ（ｔ）｜αｓｇｎｘ（ｔ）＝０,ｔ≥ｔ０,的一个新的振动定理,它推广且统一了文献〔１〕—〔５〕中的某些结果。