关于二阶常系数非齐次线性方程的一个说明

二阶常系数非齐次线性方程 y″ Py′ qy=e~(αx)〔P_1(x)cosβx P_2(x)sinβx〕 (1)的特解 y*=x~ke~(αx)〔R_1(x)cosβx R_2(x)sinβx〕 (2)中多项式R_1(x)、R_2(x)的次数,有关微分方程的教材中指出,它等于多项式P_1(x)、P_2(x)中较高次数(设为m),而K是特征多项式F(λ)=λ~2 Pλ q中含重根α iβ的次数(即K=0或K=1)。本文的目的是:说明R_1(x)、R_2(x)不一定都是m次以及在什么条件它们不同时是m次。     

利用最小数原理证明多项式的几个常用定理

最小数原理 集合 M_c={X∈Z|X≥C,C是任一固定整数}的任意一个非空子集S必含有一个最小数,这个原理在整数论中是有重要作用的。本文将利用这个原理,证明多项式的几个重要定理,从而说明这个原理在多项式论中的作用。 定理1 (带余除法定理)设(?)f(x),g(x)∈F〔x〕,g(x)≠0,则存在g(x),(?)(x)∈F〔x〕,使得 f(x)=q(x)g(x) (?)r(x), (1)这里或者r(x)=0,或者(?)r(x)<(?)g(x),同时,满足上述条件的q(x)和r(x)只有唯一的一对。 证明 若g(x)|f(x),结论显然成立。 若g(x)|f(x)不成立,这时,对(?)h(x)∈F〔x〕,f(x)g≠(x)h(x),即f(x)-g(x)h(x)≠0,于是多项式的次数集     

黎曼引理的推广

在研究Fourier级数的收敛性时,用到这样一个结论。黎曼引理若f(x)在〔a,b〕上可积,则(?)其证明可见〔1〕、〔2〕。本文将首先利用同〔1〕类似的方法证明更为广泛的结论(定理1、定理2),其次对瑕义积分的情况,也给出了类似的结论(定理3)。定理1 若g(x,y)在R:a≤x≤b,y_0-η相似文献   

《关于有限群的一个性质》证明的简化

常青同志在〔1〕中证明了有限群的一个性质: 定理:设G是有限群,a是G的一个自同构,由a定义的集合I={g∈G|a(g)=g~(-1))。|I|=3/4G|的充分必要条件是,G是非阿贝尔的,且可写G=HK=KH,这里H、K都是G的指数为2的阿贝尔子群。其次,若群G满足上述条件,则G的中心C=H∩K,〔G:C〕=4。 现在给出这个定理的一个较简单的证明。     

多功能逐步回归程序

条l程序(用BCY语言编写)始过程NUCLE(M,N,XY,Fl,FZ,L,B,Tl,RYM,F,SY,E612五63,E64,FAIL); 值M,万,F一,FZ,E612,E63,E64: 简变L,RYM,F,SY,FAIL, 场xy,B,T八 始简变K,K12,F12,Y,D,S,MAX, H,RYY,NN,AAA, 场R〔1,M+1,1,M+l〕,XBA,SGM,月BC, 左I丫〔1,M+1〕, 过程MA, 始若R〔K,K〕<小一5则始(一l)今FAIL, 661303030303030(8)今AAA, 传码J犷,月A月,咨J犷(2,K), 转L15终否则, 尸〔尤,K〕半D;1净R〔K,K〕,’ 对子了‘1步长1次数Y执行 R〔K,月/刀令R〔K,了〕, 对于i=l步长1次数Y执行 若i=K则否则始R〔i…     

一类齐性概复空间(摘要)

<正> 这里只给出文章的要,所有定理和推论的证明都没有写出。 设G是一个紧致连通李群,K是它的一个最大秩连通子群。可以证明,K为一闭子群,因而X=G/K是一个齐性流形。设g和k分别是G和K的李代数,根据〔1〕的结果,G/K上具有G—不变概复结构当且仅当存在g的内自同构组成的奇数阶有限群F,使k=g_F,此处g_F表示g在群F下的不动点子代数。若t是g的一个奇数m阶内自同构,g_t表示g在t下的不动点子代数,令k=g_t,则G/K上当然具有G—不变概复结构。本文讨论这一类齐性空间上不变概复结构的数目(限于G为单纯情形),从而得到这类齐     

关于第二积分中值定理

在数学分析中第二积分中值定理的基本形式是: 定理1 设f(x)在〔a,b〕(a〈b)上单调下降(即使广义的也可以),并且非负,则对〔a,b〕上的任意可积函数g(x),有integral from n=a to b (f(x)g(x)dx)=f(a) integral from n=a to b (g(x)dx) (1)其中ξ∈〔a,b〕。其证明可参见〔1〕、〔2〕、〔3〕。定理1仅告诉我们其中的ξ∈〔a,b〕,那么能否恰当地选取ξ,使之属于开的区间(a,b)呢?我们说,不一定!且看下面的例题。考虑〔0,(3/2)π〕上函数 f(x)=1与g(x)=cosx,显然它们满足定理1的条件,于是按照定理1,(1)式应该成立。然而     

整函数复合增长性的一些关系

即.引言设f(幻,g(幻是超越整函数,那么,limr叶COT(:,f(g)) T(r,g)这个结果是由J.clunie导出(见〔1〕P.54)。在同样假设条件下,A.P.Singh在〔2〕提出limr~,O)logT(r,f(g))T(r,g)是否存在?本文将指出,如果对了,g不再增加其它假设条件,lfm丛孕立卒必不能确r-.1气r,g夕定。关于1‘用T(r,f(g)) T(r,夕)OO,Hayman与Gross分别在〔1〕与〔6〕中仅给出粗略的证明,本文将给出一个完整的证明,此证法不同于〔1〕,〔6〕,P。82)。 A.P.singh在〔2〕中建立的定理2: 设f与g是有穷级的整函数,且p,>p,(这里的p,也不同于J.elunie的证法(见〔3〕,几表示…     

用判别式法求根式函数的值域

本文在文〔1〕、〔2〕的基础上研究单值函数 y=mx+n+l(ax~2+bx+c)~(1/2) (1) y=mx+m-l(ax~2+bx+c)~(1/2) (2) 的值域与由它们经变形得到的二次曲线 (y-mx-n)~2=l~2(ax~2+bx+c) (3) 的y的取值范围的关系。先用数形结合的方法提出定理,然后用数学分析的方法给予证明。 在 y=mx+n+l(ax~2+bx+c)~(1/2) y=mx+n-l(ax~2+bx+c)~(1/2)中,如果m=0,其值域可直接求解;如果a、b同时为零,则(1)、(2)实际上是一次函数,因此,不失一般性,下文约定l>0,m≠0,a、b不同时为零。     

关于两类具有拟共形扩张函数族的FitzGerald型不等式和Bazilevi不等式

本文证明了函数族S_(K,R)和∑_(K,r)的Fitz Gerald型不等式和Bazilevic不等式.主要建立了以下的定理。定理1 设f∈S_(K,R),{Z_μ|Z_μ|<1,μ=1,2,…,N},N=1,2,….令P_m(z)表示f(Z)的第m次Faber多项式, g_m~((τ))(Z)=P_m(1/f(Z))-(Z~(-n) (r/α_n)(?)~n) r=1,-1, 又若对于复数列{η_μ;μ=1,2,…,N},sum from n=μ:V=1 to N (α_(μV)η_μ(?)_V≥0) ,α_(μV)=(?)_(μV)则对于l>0, 有定理2 若f∈S_(K,R)且|Z|<1,则有对于F(ζ)∈∑_(k,r,)有类似的结果。     

局部域上的导数及最佳逼近

本文给出了一般局部域 K 的导数定义,证明了 K 的特征即为微分算子的特征向量,并证明了关于这个导数的 Bernstein 型定理以及第一与第二型 Jackson 定理:1.(Bernstein):若 f∈L~p(K),E_L(f,L~p)≤M(q~(-L(r α)),L=1,2,…,则 D_(L~p)~(r)(f)存在且属于Lip(α,L~p).2.(第一型 Jackson 定理):若f∈L~p(K),则 E_L(f,L~p)≤ω)(f,L;L~p).3.(第二型 Jackson 定理):若 f,D_L~(1)(f),…,D_L~(r)(f)∈L~p(K)存在,则E_L(f,L~p)=O(q~( -Lr)ω(D_(L~p)~(r)(f);L;L~p)).     

矩阵条件数的估计(摘要)

本文对〔1〕中关于矩阵条件数下界估计式(28)做出了一点推广。并给出了行列式的估计方法,还讨论了等矩及chebyshev插值问题的条件数。一、矩阵条件数的估计〔1〕中不等式(28) K(Ar)≥E〔ar|a_1,a_2…a_(r-1)〕~(1/2)是在向量‖a_i‖=1(i=1,2…r)的条件下推得的。其中:E〔a_r|a_1、a_2…a_(r-1)〕=‖a_r-sum from ‖=1 to r-1 K_ra_i‖~2是向量a_r关于向量a_1,a_2…a_(r-1)的相对性指标。     

A~B上自然拓扑ω_μ的度量化

设A是一个集合,B是一个良序集,A.K.Steiner和E.F.Steiner于文〔1〕研究了A~B上的所谓自然拓扑N.对于每一x∈A~B以及α∈β,定义x(α)={y∈A~B、对于B的所有β≤α,y_β=xβ},那么A~B上的自然拓扑N定义为由基B={x(α):x∈A~B,a∈β}所产生的拓扑。显然当A为单点集或者B(表示良序集B的序型)为孤立数时,(A~B、N)为离散空间。又,(A~B、N)是正规空间.A.K.Steiner还研究了拓扑N的度量化问题,得到定理1(定理7,Steiner)如果B是可数良序集,则(A~B,N)可度量化。H.C.Reichel于文〔2〕专门研究了空间(A~B,N)的度量化问题,得到其可度量     

关于Tumura-Clunie定理的一个推广

给出Tumura-Clunie定理的一个推广.结果如下定理.设ω(z)是亚纯函数,F≡αxωn+αn-1ωn-1+…+α0满足lim →∞ r(+)E -N(r,1/F)+-N(R,ω)/T(r,ω) ＜1/2,那么 F =αn(ω+αn-1/nαn)n.     

关于拟次加泛函的一点讨论

本文的目的是:1、指出文〔1〕§4.6定理1证明中的某一步可以简化;2、文〔2〕§2定理1和定理2关于泛函拟次加性的要求实际上可以放宽;3、给出在某种条件下广义拟次加泛函的一个特征。 下面分别说明以上三点。 一、在文〔1〕§4.6的定理1中,定义,而在文〔2〕中定义V_1=     

特征p=2的域上的Cartan型李代数（KF,μ_i）及其子代数

本文在特征 p=2的域 F 上构造了一类 Cartan 型 K 型李代数 K(F,μ_i),其中是某个 fiag,{μ_i}是一组参数。并且证明了当对{μ_i}加上适当限制条件之后,K(F,μ_i)或者它的导代数是单代数。另外,本文还通过讨论 K(F,μ_i)的零次项代数 L_0及其理想,构造了两类单子代数 G 和 L′,并计算了它们的维数。     

图生成树棵数的一种求法

本文提出了对给定图 G来说 ,计算它的所有的生成树棵数的一种方法 ,即由 Cayley定理与 Binet-Cauchy定理来推导一个公式τ(G) =det(KKT) ,为了证明此公式的成立 ,还证明了从一个图的完全关联矩阵 M(G)中删去任意一行后 ,得到的矩阵 K和 K的转置 KT满足 Binet-Cauchy条件。公式τ(G) =det(KKT)的证明是由一个图的生成树的棵数公式τ(G) =τ(G -e) τ(G . e)与具有以上性质的矩阵 K与 KT且 det(KKT) =∑ Ki Ki=∑K2i 合起来证明。     

Lienard型方程的转化研究

文献〔11对Lienard型方程 . x f(x)x x=0·(1)的研究成果作了很多介绍,文【2〕又重新研究了方程(l)的极限环存在唯一性定理,并且包含了众所周知的Lienard定理及Lev主son一Smith‘“’、Sansone“,、Barbalad‘“’、余澎祥’。’的存在唯一性定理。 本文着垂研究方程 x [f(x) 小(x)二Ix x二0‘(2)的极限环存在唯一性定理。很明显,在方程(2)中,若令小(x)=0,就是文〔2〕中所研究的方程(1),我们已证明的定理及推论可包含文〔21中的定理及推论。 为使本文成为一篇完整的阅坎资料,我们仍将与文【2〕中相同的部分叙述在本文中。 借助文〔1」中…     

考虑保证金的期货价格与远期价格的关系

在保证金为零的情况下，期货价格F0与远期价格G0相等是一个熟知的结果。本文证明，如果保证金非零，则（1 μ）^nF0=G0，其中μ=K(e^δ-e^r),n为投资天数，K为保证金率，δ为无风险利率，r为保证金利率。     

一个概率不等式

概率不等式是证明大数定律和中心极限定理的重要工具,因此在概率论研究中占有重要的地位。本文推广了〔1〕中的概率不等式。引理设y_1,y_2,…,y,y_(u+1),…,y_v是独立随机变量,f_1和f_2分别是u元、v-u元Borel可测函数,则f_1(y_1,…,y_u)和f_2(y_(u+1),…y_v)相互独立。引理的证明,可参看〔2〕。定理一设y_1,y_2,…,y_v是独立随机变量,且 My_i=0,Dy_1=σ_i~2(i=1,2,…,v,)。又C_1≥C_2≥…≥C_v≥0,则对任意ε>0和任意正整数对u,v,有