证题方法浅谈

在数学中大多数的命题,是需要证明的。给了一个证明题,不少的中学生往往感到无从下手。本文通过几个例子,简单谈谈数学中的证题方法,也许对读者会有一定的帮助。数学中的证明方法很多,不胜枚举,一一列举,详细论说,并非一两篇文章可做到的。本文仅以初等数学为例,概括地从逻辑的角度来阐述数学的证题方法。证明按命题是一般和特殊来划分可分为演绎的证明和归纳的证明。如果一个命题是一个特殊判断,就要从一般原理原则方面去探求立论的根据,加以证明,这样的证明叫做演绎的     

一题多种证法一例

命题:O是正方形ABCD内部一点,且∠OAB=OBA=15°。求证:△COD是正三角形。大家知道,这是平面几何里一个较难的题,用反证法证明较易,如下证法(一),用直接证法较难,下面提出证法(二)—(七),并留四个题作为练习。     

几类多项式命题的反证法证明

多项式理论中涉及许多命题的证明 ,其中有些命题无法或不易用直接证法证明 ,而用反证法来证明十分简捷有效     

几何命题的面积证法

熟练掌握面积定理、公式、性质,不仅对解决有关面积计算问题十分必要,而且对于解决一些几何命题的证明也是非常重要的,不少几何命题的证明若用面积知识进行证明则显得直观、简捷、合理,往往收到事半功倍的效果。因此,利用面积知识证明几何命题是一种较好的重要方法,但有的学生对此证法掌握不好,遇到问题不知考虑面积证法,往往费时较多,这里归纳几种类型的问题,举例说明几何命题的面积证法。     

不等式的证明

本文总结了不等式证明的常用的几种初等证法和高等证法证明时要认真观察,适当选择证明方法使题更简便。     

关于Cantor定理的新证法

Ｃａｎｔｏｒ定理的证明，除了对角线法外，其他所有证明实质上都类同于Ｔａｋｅｕｔｉ在１９８２年给出的证法现应用共尾数和不可达基数给出了新的证法，这个证法不同于以往各种证明     

关于欧拉定理的另一证明

费尔马(在17世纪时)发现的一个定理历史上叫做Fermat小定理。后来欧拉(在18世纪时)给以证明并推广了它,推广后的定理历史上叫做Euler定理。这两个定理过去曾有过多种不同的证法,本文将给出另外一种证法。为此先证明引理1 设p是素数,而h_1,h_2,…,h_a都是整数(a为正整数),则 (h_1 h_2 … h_a)~p≡h_1~p h_2~p … h_a~p(modp)。证明:对a进行归纳。当a=1时,显然引理成立。     

关于多连域内Cauchy积分定理的两种新证法

本文给出了多连域内Cauchy积分定理的两种新证法,一是以双连域内Cauchy积分定理为基础,并用数学归纳法加以证明;二是把问题转化为单连域的情形,并且应用单连城内的Cauchy积分定理,在此基础上,证明多连域内Cauchy积分定理,这两种新证法比通常的证法简明,推导颇为简捷,方法也易于掌握。     

一道初等几何题的解析与高等证法

给出了一道初等几何题的特殊证法——解析与高等证法．这对于拓展证明思路，知识点的横向联系，大有益处．     

浅谈反证法在高等数学中的应用

反证法是一种间接证法,其思维特点是逆向思维,这种方法不从命题的题设出发,而是从命题题断的反面入手,通过合理论证找出矛盾,从而确认命题的真实性.反证法的思想非常深刻,方法也相当灵活.但因它是一个逆向思维,初学者常常不习惯,也不得要领,有的甚至避而不用,其实反证法是证题术中一个有力的论证手段,它除了论证的功能外,还有发现的功能,本文就高等数学中几类常见的例题谈谈反证法在高等数学中的应用.     

关于命题“若A则B”的否定形式的讨论

数学中为了证明命题“若 A 则 B”为真,有时要采用反证法.所谓反证法,是要证明这个命题的否定形式为假.这里就有一个正确写出命题“若 A 则 B”的否定形式的问题.然而有很多人把一个命题的否定形式与这个命题的否命题混淆,因而把命题“若 A 则”(简记为“A→B”)的否定形式错误地写成它的否命题:“若 A 则非 B”(简记为“A→B”).这类错误在一些已出版的书籍中也时有所见.下面摘录一段某书在证明原命题和它的逆否命     

关于欧拉圆的证明方法

<正> 命题:三角形三边的中点,三高线的足,垂心与各顶点连线的中点共九点位于同一个圆上。(此圆称为三角形的欧拉圆或九点圆)。 此命题在十九世纪初已被发现,其证明方法以学科而论,可分为初等几何证法与高等几何证法两种。所谓初等几何证法,即是从欧氏几何的公理体系纯逻辑地进行推证,但一般地我们也把向量法列入欧氏几何之中;所谓高等几何证法,即是从射影几何学的公理系统中纯逻辑地论证命题。然     

几种反证法的转换问题

引言反证法是数学证明的重要方法之一,也是中学数学教学的难点之一。反证法与直接证法在一定条件下能否互相转化,怎样使学生在熟悉直接证法的基础上,很快地理解和掌握反证法,都是应当探讨的问题。本文将从数理逻辑角度探讨几种类型的反证法与直接证法之间、     

论柯西定理的证法

柯西定理是复变函数论中的重要定理之一,教材中有多种证法,大多数是在附加导函数连续的条件下给出的,证明不够严密,为此,讨论了一种取消该附加条件后的证法,过程虽复杂,但证明严密、思路清晰.     

(-∞,+∞)■(a,b)的几种证法及推广

使用投影方法巧妙地解决了“如何找到一维离散空间与它的任意子空间之间的拓扑变换”这一问题,从而给出了命题“（-∞,＋∞）≌（a,b）”的几种证法．受证法的启迪,又将这一命题推广到任意有限维空间中．     

互反命题等价与反证法

反证法是数学证题中常用的方法。互反命题等价在一些书中也被论及。本文进一步给出了一个“互反命题等价”的较规范完善的逻辑证明方法。同时,深入揭示了反证法的各种推理形式都能化为原命题的反命题形式。从而使人们深刻理解到“互反命题等价”是反证法的基础定理,它“间接证明”的可靠性也是不容置疑的。     

数学解题研究——数学归纳法

数学归纳法是一种常用的数学方法,在不少问题的证明中,它有着其他证明方法所不能代替的作用.通过本文的介绍.力求能够更好地理解教学归纳法的实质,并能够熟练地应用数学归纳法解题.什么是数学归纳法呢?先证明当n取第一个值n_0时命题成立,然后假设当n=k(k ∈N,k≥n_0)时命题成立.证明当n=k 1时命题也成立.这种证明方法就叫做数学归纳法.     

积分上限函数的一些应用

通过构造积分上限函数,给出积分第一中值定理的另一证法,并结合微积分中值定理证明积分等式、积分不等式与定积分的中值命题。     

柯西积分定理的一些新证法

本文首先给出一个不同于传统的二分法的柯西积分定理的直接证法;其次给出一个不用约当曲线定理而仅用同伦曲线概念的更为简洁的证法。     

素数无限多定理的又一证法

素数理论是数论的重要基石.素数无限定理的解决是这块基石赖于支撑的关键.关于这个重要的定理,中外数学家为此作了研究,数学家欧拉、欧几里得、国内学者单墫、熊全淹均给出了漂亮的证法,方法不下六种.本文在欧几里得证法的基础上,得到了又一证法.