基于自对偶码的S-链构造

研究具有某种最优性质的码的存在性、结构和构造是编码研究的中心问题,为构造量子纠错码开始研究具有特定对偶距离的二元自正交码。研究了码长n满足12≤n≤20的二元不可分解自对偶码B12、D14、E16、F16、H18、I18、J20、K20、L20、M20和S20的两类子码,即对偶距离最优或对偶距离拟最优的子码,以及相应的S-链的构造。依据不可分解自对偶码的生成矩阵,利用组合方法构造出对偶距离为2、3和4的对偶距离最优或拟最优的子码生成矩阵。在此基础上研究了这些子码构成的子码链,以及由它们的对偶构成的S-链。最后,利用得到的S-链构造出好的量子纠错码,这些量子码都是给定码长和维数时距离达到最大值的量子码。     

自正交码的组合构造与应用

量子纠错码是量子计算和量子通信可靠运行的保障,构造具有很好参数的量子纠错码是重要的研究问题之一.用二元线性码构造量子码的方法有CSS(Calderbank-Shor-Steane)方法和Steane方法,这两种方法都建立在如何构造给定对偶距离的自正交码上,研究了用组合方法构造二元自正交码问题.由已知对偶距离的二元自正交码链,用组合方法构造对偶距离为3、4、5和6的二元自正交码, 以及对偶距离为3、4、5和6的二元自正交码构成二元自正交码链的条件.在此基础上, 对每个满足47≤n≤70的 , 构造出参数为[n, n-s-t, 5][n, n-s, 3]和[n, n-u-v, 6][n, n-v, 4]的S-链.利用所得到的码链,由Steane构造法构造出距离为5和6的具有很好参数的量子纠错码,改进了前人得到的几个量子纠错码的参数.     

利用经典码构造大码长量子MDS码

构造具有良好参数的量子码是量子纠错码研究的一个重要问题。量子M DS码达到了量子Singleton界,参数达到最优。已知的非平凡量子MDS码的码长较小,构造具有较大码长的非平凡量子M DS码是一个公开的热点问题。改进了构造自对偶码的building‐up方法,通过这种改进的新的构造方法获得了关于欧氏内积或者 Hermitian内积的自正交码,反复迭代构造具有较大码长的量子M DS码,具体给出了针对2种参数的构造方法。还讨论了迭代的技巧和方法,并给出了迭代的步骤和适当的初始码,反复迭代获得较好性质的量子码。     

PG（k-1,4）中的自正交cap和量子纠错码的构造

目的 构造量子纠错码.方法 随机试验和组合方法.结果 利用随机搜索算法.得到一些PG(k-1,4)中完备且正交的cap,从而构成F4上6个对偶距离为4的自正交码.结论 构造出具有较好参数的自正交码和量子纠错码,改进了已有量子纠错码的参数.     

一类量子码的组合构造

利用满足一定嵌套关系的2个q~2-元线性码,给出一种构造自正交码的组合方法,并由各成分码的参数确定出所构造的新自正交码的维数和对偶距离下界。进一步用q~2-分圆陪集理论讨论码长n=q~2+1的常循环BCH码。刻画满足所需嵌套关系的2个q~2-元常循环BCH码的定义集合、设计距离和参数,从而由常循环BCH码构造出码长2n的q~2-元自正交码和q-元量子码。这一方法可得到许多距离dq+1的量子码,而这样参数的量子码是用已知的构造方法不能获得的。方法和结果对于构造更多参数良好的量子码以及给出最优量子码的距离下界都具有借鉴作用。     

用四元循环码构造的线性量子码

用模奇数n的4-分圆陪集和生成多项式刻划四元循环码,得到一般四元循环码的对偶码为自正交码的充要性判别准则,将前人关于自正交四元单根循环码和四元BCH码的对偶码为自正交判别准则推广到任意四元循环码,包括四元单根循环码和重根循环码.利用单根循环码与重根循环码关系,确定出所有能由短码长的四元循环码构造的线性量子码。     

最优二元自正交码

构造一般二元自正交码是经典纠错码和量子纠错码研究的难点。研究基于并置二元循环矩阵的1-生成子拟循环码结构。以向量移位等价、线性码等价以及二元自正交码码字偶重量特点等为基础,设计特殊二元拟循环码结构,构造了28个最优或已知最优二元拟循环自正交码。提出自正交码截短-删除方法,构造出所获得自正交码的62个衍生码。文中的90个二元自正交码与文献[13]中最优或已知最优线性码比较,分别有67和23个二元自正交码是最优和已知最优。构造结果验证2个方法对一般二元自正交码构造的有效性,同时能较好解决量子纠错码构造中具有尽可能大对偶重量自正交码的设计问题。     

二元最优自正交［15s+10,4］码的分类

自正交码是一类重要的纠错码,其中的特殊类型——自对偶码一直是研究的重点。研究二元域码长为n=15s 10(s≥0)的四维最优自正交码的特征,并且确定其完整分类。建立了最优[15s 10,4]自正交码的生成矩阵与两个线性方程组之间的联系,将确定最优[15s 10,4]自正交码的问题转化为求解线性方程组的问题。确定出所有最优[15s 10,4]自正交码的生成矩阵,并进一步得到互不等价的最优自正交码的完整分类,给出了互不等价且不含全零坐标的最优[15s 10,4]自正交码的生成矩阵和重量多项式。因此,二元域上最优[15s 10,4]自正交码的参数、结构特征和等价问题得到了完全解决。     

四维最优二元自正交码及其构造

研究了四维二元自正交码的码长与距离之间的关系,证明了参数为[15m 5,4,8m 2]及[15m 12,4,8m 6]自正交码的不存在性,从而对每个n≥8确定了最优自正交码的极小距离,再构造出相应的最优[n,4]自正交码的生成阵,计算出它们的重量多项式。     

F4上的3维最优自正交码

目的研究F4上维数为3的最优(或拟最优)自正交码的码长与极小距离之间的关系。方法组合方法。结果构造出码长n≥21的3维最优(或拟最优)自正交码的生成矩阵,确定出了其中达到Griesmer界的码。结论给出了3维的最优自正交码码长与距离的规律。     

F4上二维最优自正交码的分类

根据四元自正交码的重量特点,研究二维最优自正交码的生成矩阵与重量分布之间的关系.通过引入二维四元码的定义向量和射影重量概念,利用Simplex码的码字构成的矩阵,建立二维最优自正交码的存在性与整数方程组的非负解之间的联系,将确定二维最优正交码的生成矩阵问题转化为求解整数方程组的非负解.对于给定码长,首先由Griesmer界确定二维最优自正交码的距离;然后,通过求解整数方程组的非负解,确定出所有二维最优自正交码的生成矩阵和重量多项式;依据二维最优自正交码的生成矩阵,利用矩阵的初等行变化、向量的坐标置换和元素的共轭变换,判断二维最优自正交码的等价性;最后,完全解决了二维最优自正交码的分类问题,给出互不等价的二维最优自正交码的生成矩阵与重量多项式.     

关于Z_8-码的几点研究

研究了Z8-码的重量计数器以及广义的MacWilliams恒等式,同时研究了两个与Z8-码C相关的码C(1)和C(2)的特性,得到了如下结论:若Z8-码C是自正交的,则C(1)和C(2)是自正交的四元码;若Z8-码C是类型为8n2的自对偶码,则C(1)是自对偶四元码。     

利用射影Cap构造极大纠缠的纠缠辅助量子纠错码

依据经典四元线性码理论和纠缠辅助量子纠错码理论,由四元线性码的生成矩阵给出四元线性码稳定极大纠缠的纠缠辅助量子码的几何特征。在给定几何特征基础上,由射影空间的Cap理论,设法用组合数学方法和搜索算法构造出给定几何特征的Cap,确定Cap码的参数。利用所得到的参数优良的Cap码,结合纠缠理论,构造出一些参数优良的极大纠缠的纠缠辅助量子码。其中,所构造的极大纠缠的纠缠辅助量子码有许多是最优码,还有一些纠缠辅助量子码改进了前人所得到的纠缠辅助量子码的参数,这些纠缠辅助量子纠错码是无法用已有方法得到的。这也证明了结合组合与搜索的方法来构造极大纠缠的纠缠辅助量子纠错码是有效的。     

F4上2维和3维的最优自正交码

研究了F4上维数为2和3的最优（或拟最优）自正交码的码长与极小距离之间的关系，用组合方法构造相应维数的最优（或拟最优）自正交码的生成矩阵，确定出其中达到Griesmer界的码，并计算出所构造的2维最优（或拟最优）自正交码的重量多项式。