一道数学竞赛题的推广

记Ｂ是由１，２，…，ｎ的循环排列组成的集合，Ａ＿３（ｎ）＝ｍａｘｍｉｎ（ａ＿（ｉ＋１）＋ａ＿（ｉ＋２）＋ａ＿（ｉ＋３）），其中ｉ＝０，１，２，…．ｎ－１，ａ＿（ｎ＋１）＝ａ＿１，ａ＿（ｎ＋２）＝ａ＿２；ａｉ取１．２，…，ｎ中的任意值，ｉ＝１，２，…，ｎ．本文讨论了Ａ＿３（ｎ）的上界：除ｎ＝３，５．６外，当３｜ｎ－１时，Ａ３（ｎ）≤　；当３｜ｎ时，Ａ３（ｎ）≤　；当３｜ｎ＋１时．Ａ＿３（ｎ）≤．     

时间序列引出的数学问题（三）

若Ｘ′＝（ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ）,问在ｎｉ＝１ｘ２ｉ≤１条件下,ａ３＝ｎ－２ｉ＝１ｘｉｘｉ＋２,ａ５＝ｎ－１ｉ＝１ｘｉｘｉ＋１,当ｘ取遍ｎｉ＝１ｘ２ｉ≤１的点,（ａ３,ａ５）在平面上构成怎样的图形．该文对ｎ＝５给出解析解．     

自相似分形的Hausdorff测度

研究了自相似分形的Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度的上界估计问题,得到以下结果：设Ｓ是Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ垫,ｓ＝ｌｏｇ２３是Ｓ的Ｈａｕｓｄｏｒｆ维数,对任一ｘ,０＜ｘ＜１２,将ｘ表为ｘ＝１２ｉ１＋１２ｉ２＋…,ｉ１＜ｉ２＜…,ｉ１,ｉ２,…∈Ｎ．则Ｓ的Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度Ｈｓ（Ｓ）满足Ｈｓ（Ｓ）≤１１－３２∞ｊ＝１２ｊ３ｉｊ（１－ｘ）ｓ．取ｘ＝１２３＋（１２４＋１２６＋…＋１２２ｋ＋…）,ｋ＝２,３,…．则得到Ｈｓ（Ｓ）＜０．８７０１．记Ｈ（ｘ）＝１１－３２∞ｊ＝１２ｊ３ｉｊ（１－ｘ）ｓ则ｉｎｆ０＜ｘ＜１２｛Ｈ（ｘ）｝≥ｍｉｎ｛Ｈ（ｉ２ｎ）（２ｎ－ｉ－１２ｎ－１）Ｓ：ｉ＝１,２,…,２ｎ－１－１｝．取ｎ＝２０,上机运算得ｉｎｆ０＜ｘ＜１２｛Ｈ（ｘ）｝＞０．８７００．由此可知０．８７０１是本文这种方法估计Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ垫的Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度的相当好的上界．     

ζ（2m）的一个递推关系式

给出了ζ（２ｍ）的一个递推关系式ζ（２ｍ）＝（－１）ｍ－１ｍπ２ｍ（２ｍ＋１）！＋ｍ－１ｋ＝１（－１）ｋ－１ζ（２ｍ－２ｋ）π２ｋ（２ｋ＋１）！（１）其中ｍ、ｋ为正整数     

平均差

对于一组数据ｘ１、ｘ２、…、ｘｎ,把各数据与它们的平均数的差的平方的平均数Ｓ２＝１ｎ［（ｘ１－ｘ）２＋（ｘ２－ｘ）２＋…＋（ｘｎ－ｘ）２］叫做这组数据的方差,公式简记作：Ｓ２＝１ｎｎｉ＝１（ｘｉ－ｘ）２（１）在实践中,针对不同的数据为了简化计算,式（１）有几个变形：Ｓ２＝１ｎ（ｎｉ＝１ｘ２ｉ－ｎｘ２）（２）Ｓ２＝１ｎ（ｎｉ＝１ｘ′２ｉ－ｎｘ′２）（３）其中ｘ１′＝ｘ１－ａ,ｘ２′＝ｘ２－ａ,…,ｘｎ′＝ｘｎ－ａ,这里ａ是接近这组数据的平均数的常数－在实践中,对一般的组数据,方差的计算非常麻…     

(C_9H_8N)_2[MoO(S_2C_2(CN)_2)_3]·2H_2O的晶体和分子结构

（Ｃ９Ｈ８Ｎ）２［Ｍ０Ｏ（Ｓ２Ｃ２（ＣＮ）２）３］．２Ｈ２Ｏ晶体属于三斜晶系，空间群Ｐ， 晶胞参数：ａ＝ １１．３０５（６），ｂ＝１４．３８４（３），ｃ＝１４．２７８（３）Ａ，ａ＝５６．８６（２），β＝１１４．１１（２），ｙ＝１１１．１２（３） ｐ０ｂｓ＝１．６５４克／厘米３，Ｚ＝２（ρｃａｌｃ＝１．５７６克／厘米３）．晶体结构用Ｐａｔｔｅｒｓｏｎ函数法和Ｆｏｕｒｉｅｓ 合成法解出，经全矩阵最小二乘方精修，偏离因子Ｒ＝０．０４７．结构分析结果说明Ｍｏ原子与三个配 位基的六个硫原子和一个端基氧形成扭歪五角双锥结构．结晶水与［Ｍｏ０（Ｓ２Ｃ２（ＣＮ）２）３］２－络阴 离子和喹啉阳离子之间存在Ｏ－Ｈ…Ｎ和Ｎ－Ｈ…Ｏ氢键。     

一类奇次微分系统的极限环的存在唯一性

运用Ｇ Ｓａｎｓｏｎｅ定理和旋转向量场理论，研究奇次微分系统ｘ＝－ｙ（１－ａｘ）（１－ｂｘ）＋δｘ－ｌｘ＾２ｎ＋１，ｙ＝ｘ（１－ａｘ）（１－ｂｘ）的极限环的存在唯一性。证明了：当δｌ≤０时不存在极限环，当δｌ〉０，│δ│〈│ｌ│／ｍａｘ｛ａ＾２ｎ，ｂ＾２ｎ｝时存在唯一的极限环；当δｌ〉０，│δ│≥│ｌ│／ｍａｘ｝ａ＾２ｎ，ｂ＾２ｎ｝，时不存在极限环。     

一类具有二阶细焦点的二次系统

对如下一类具有二阶细焦点的二次系统进行了研究， ｄｘ／ｄｔ＝－６＋ａｘ＾２， ｄｙ／ｄｔ＝ｘ＋ｌｘ＾２＋ｍｘｙ＋ｎｙ＾２，其中ｗ１＝－２ａｌ－ｍ（ｌ＋ｎ）＝０，ｗ２＝ａ（２ａ＋ｍ）（３ａ－ｍ０［ｎ（ｌ＋ｎ）＾２－ａ＾２（ａｌ＋ｎ）］≠０。证明了当－１＜ｌ／ｎ≤时，系统（１）在０外围     

∑cos~3A／2＜2与Kooistra不等式

证明了若－π≤Ａ，Ｂ，Ｃ≤π且Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，则（４＋２３）ｃｏｓ３Ａ２＋（５－２３）ｃｏｓ２Ａ２≤１８，由此导出了陈计１９９２年的猜测ｃｏｓ３Ａ２＜２及推广了Ｋｏｏｉｓｌｔｒａ不等式ｃｏｓ２Ａ２＞２     

最好可能的森谱界

证明了森或树的任一正特征值λｑ－ｉ（ｉ＝ｑ－１，ｑ－２，…，０）满足λｑ－ｉ≥２ｃｏｓ［ｔｉπ／（２ｔｉ＋１）］（ｔｉ＝［［２ｑ／（ｉ＋１）］／２］），并指出这个下界对于边独立数为ｑ的森或者顶点数为ｎ、边独立数为ｑ的森是最好可能的；对于边独立数为ｑ的树或者顶点数为ｎ、边独立数为ｑ的树当ｉ＝ｑ－２，ｑ－３，…，ｑ－［（ｑ＋１）／２］或当ｉ＝ｑ－［（ｑ＋１）／２］－１，ｑ－［（ｑ＋１）／２］－２，…，１（ｑ０（ｍｏｄｉ＋１））时，这个下界是最好可能的     

cis-(QH)_2[M_0O_2(C_2O_4)_2](Ⅵ)的晶体和分子结构

草酸与钼（Ⅵ）反应可以生成多种络合物。根据文献［１］方法，我们制得无色透明块状的ｃｉｓ－（ＱＨ）２［ＭｏＯ２（Ｃ２Ｏ４）２］晶体（式中ＱＨ＋＝Ｃ９ＮＨ８＋）。该晶体属斜方晶系，空间群为Ｐｃｃ２；晶胞参数：ａ＝１２．４９７（４），ｂ＝１０．２６２（３），Ｃ＝１６．７５０（３）Ａ；Ｖ＝２１４８．０８Ａ；Ｍ＝５６４．３２；晶体密度：ｄｏｂｓ＝１．７３ｇｃｍ－３；晶胞分子数Ｚ＝４（ｄｃａｌｃ＝１．７４５ｇｃｍ－３）。晶体在ＣＡＤ－４ 四园衍射仪上用Ｍ０Ｋａ射线收集三维衍射点强度数据，通过三维Ｐａｔｔｅｒｓｏｎ函数和Ｆｏｕｒｉｅｒ函数合成方法，确定了ｃｉｓ－（ＱＨ）２［ＭｏＯ２）Ｃ２Ｏ４）２］的晶体和分子结构。最后，根据Ｉ＞２σ（Ｉ）的１３６３个独立衍射点的强度数据、用最小二乘法把结构精修到Ｒ＝０．０６０，Ｒｗ＝０．０５９。该晶体的阴离子由六个氧原子围绕着Ｍ０原子形成扭曲的八面体。分子具有Ｃ２对称性（ＱＨ）＋和［Ｍ０Ｏ２）Ｃ２Ｏ４）２］２－之间组成了Ｎ－Ｈ…Ｏ类的氢键。     

关于不完整三角和的估计

本文改进了华罗庚关于不完整三角和的著名结果，我们主要证明了：│Σ＾ｍｘ＝１ｅｑ（ｆ（ｘ））－ｍ／ｑＳ（ｑ，ｆ（ｘ））│〈４／ｘ＾２（ｌｏｇｑ＋γπ＋３／４－ｌｏｇπ／２）ｅ＾２ｋｑ＾１－１／ｋ＋２／π（２－１／π）ｅ＾２ｋｑ＾－１／ｋ。其中ｆ（ｘ）＝ａｋｘ＾ｋ…＋ａ１ｘ＋ａ０为一整系数多项式，且（ａ１，ａ２……＋ａｋ，ｑ）＝１，γ为Ｅｅｎｌｅｒ常数，ｑ≥２整数。     

关于二项式系数的一个计数问题

对任意给定的素数ｐ和非负整数Ｎ，给出了边长为Ｎ的杨辉三角形所含的１／２（Ｎ＋１）（Ｎ＋２）个二项式系数（＾ｎｒ），ｎ＝０，１，…，Ｎ；ｒ＝０，１，…，ｎ中与ｐ互素者之个数ｆｐ（Ｎ）的精确计算公式，即有ｆｐ（Ｎ）＝１／２Σ＾ｋｉ＝０ａｉП＾ｋｊ＝ｉ（ａｊ＋１）Ｐ＾ｉ，其中Ｐ＝１／２ｐ（ｐ＋１），Ｎ＋１＝ａｋｐ＾ｋ＋…＋ａ１ｐ＋ａ０，０≤ａｉ〈ｐ。特别地，边长为Ｎ的杨辉三角形中所含奇数的个数恰为Σ＾ｔ     

分担两个值的亚纯函数

该文主要证明如下的定理１ 　设ｆ 和ｇ 为非常数亚纯函数,ａ１ , …,ａｎ 为互异复数,若（ｉ） ｆ 和ｇ ＣＭ 分担ａ１ ,ａ１ ,（ｉｉ） δ（ ∞,ｆ）＝ δ（ ∞,ｇ） ＝１ ,（ｉｉｉ） ａ３ ,…,ａｎ 为ｆ 的亏值,满足ｎｊ＝３δ（ａｊ ,ｆ） ＞ ｎ － ２ｎ ,则（ａ） 当ｎ ＝ ３ 时,有ｆ ≡ｇ 或（ｆ － ａ３）（ｇ ＋ ａ３ － ａ１ － ａ２） ≡（ａ３ － ａ１）（ａ２ － ａ３）且有δ（ ａ３ , ｆ） ＝ １, δ（ａ１ ＋ ａ２ － ａ３ , ｇ） ＝ １,（ｂ） 当ｎ ＞ ３ 时,有ｆ ≡ｇ 。     

一排列问题的推广及其计数公式

对“全国大学生数学建模竞赛（１９９７）”的一道题进行推广：将ａｉｊ（１≤ｉ≤ｎ,１≤ｊ≤ｍ）排成一排或一个圆圈,当ａｉ１,ａｉ２,…,ａｉｍ（ｉ＝１,２,…,ｎ）相邻时,则将其看作一个整体而不考虑它们之间的顺序,则这种排列的个数Ｌｎ,ｍ与Ｒｎ,ｍ分别为：Ｌｎ,ｍ＝∑ｎｉ／０（－１）＾ｉ（ｍ！－１）＾ｉＣ＾ｉｎ（ｍｎ－（ｍ－１）ｉ）！,Ｒｎ,ｍ＝∑ｎｉ＝０（－１）＾ｉ（ｍ！－１）＾ｉＣ＾ｉｎ（ｍｎ－     

极限^lim n→∞（1＋1／n）^n=e的一种证明

利用柯西不等式ｎ√ａ１ａ２…ａｎ≤１／ｎ（ａ１＋ａ２＋…ａｎ） （ａｉ〉０，１≤ｉ≤ｎ）， ＾ｌｉｎ ｎ→（１＋１／ｎ）ｎ＝ｅ的存在性证明。     

关于乘积空间上的Marcinkiewicz积分

该文给出了如下定义乘积空间Ｒｎ×Ｒｍ上一类带粗糙核的Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分算子μΩ，ｂ（ｆ）的Ｌ２（Ｒｎ×Ｒｍ）有界性：μΩ，ｂ（ｆ）（ｘ，ｙ）＝（∫∞０∫∞０｜Ｆｂ，ｔ，ｓ（ｘ，ｙ）｜２ｄｔｄｓｔ３ｓ３）１／２，这里，Ｆｂ，ｔ，ｓ（ｘ，ｙ）＝｜ｘ－ｕ｜≤ｔ｜ｙ－ｖ｜≤ｓΩ（ｘ－ｕ，ｙ－ｖ）ｂ（｜ｘ－ｕ｜，｜ｙ－ｖ｜）｜ｘ－ｕ｜ｎ－１｜ｙ－ｖ｜ｍ－１ｆ（ｕ，ｖ）ｄｕｄｖ，且Ω为原子Ｈａｒｄｙ空间Ｈ１ａ（Ｓｎ－１×Ｓｍ－１）中的函数，ｂ为空间ｌ∞（Ｌｑ（Ｒ＋×Ｒ＋）中的径向函数     

一类动力系统的大范围定性研究

本文考虑动力系统：ｄｘ／ｄｔ＝Ｐ３（ｘ，ｙ），ｄｙ／ｄｔ＝ｘ（１（．研究系统（１）具有代数曲线解：Ｘ２一ｋｙ２＝１ （ｋ＞０）（２）全局结构。 容易得到这时系统（１）等价于系统,ｄｘ／ｄｔ＝ａ１ｘ＋ａ２ｙ－ａ１ｘ３＋（ｋ－ａ２）ｘ２ｙ＋ｋａ１ｘｙ３＝ｋ（ａ２－ｋ）ｙ３，ｄｙ／ｄｔ＝ｘ（３）．由（３）我们得到所有奇点（有限远和无穷远）的类型。并用Ｄｕｌａｃ函数证明 （３）不存在极限环。进而得出（３）的所有可能的全局相图（ｌ）－（１３）．     

M/M/1 排队模型的谱隙公式

研究Ｍ／Ｍ／１排队矩阵Ｑ的特征值的分布状况,得到一个谱隙公式：λ１＝２（ａ＋ｂ）－γ（Ｑ）,其中ａ,ｂ〉０分别是顾客的到达率和服务率,γ（Ｑ）是Ｑ的谱半径;并证明了－Ｑ特征值（除０外）关于ａ＋ｂ对称分布。     

最好可能的森谱界

证明了森或树的任一正特征值λｑ－ｉ（ｉ＝ｑ－１，ｑ－２，…，０）满足λｑ－ｉ≥２ｃｏｓ「ｔｉπ／（２ｔｉ＋１）」（ｔｉ＝「「２ｑ／（ｉ＋１）」／２」，并指出这个下界对于边独立的数为ｑ的森或者顶点数为ｎ、边独立数为ｑ的森是最好可能的；对边边独立的数为ｑ的树或者顶点数为ｎ、边独立数为ｑ的树当ｉ＝ｑ－２，ｑ－３，…，ｑ－「（ｑ＋１／２」或当ｉ＝ｑ－「（ｑ＋１）／２」－１，ｑ－「（ｑ＋１）／２」－２，…，