用矩阵理论判定多项式的整除性

在高等代数及线性代数中矩阵和多项式都是主要的研究对象,特别是随着计算机应用的普及与推广,矩阵已成为众多学科研究的重要工具。例如我们已经学习了用矩阵来研究线性方程组、线性变换、二次型、线性空间、欧氏空间;除这些问题以外,还有大量的问题也都提出矩阵的概念,并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究,这就使矩阵成为数学中一个极其重要且应用广泛的工具,因此也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象。那么矩阵理论在表面上与其毫无联系的多项式理论中是否也能得到应用呢?为此本文着重研究用矩阵理论判定多项式的整除性给出了定理、方法,并对这些定理和方法给予了详细的推理证明以及举例说明。     

高等代数的数学思想在矩阵分解中的应用

高等代数不仅包含丰富的数学知识,而且蕴含着许多重要的基本数学思想.矩阵是高等代数的重要组成部分,不仅成为课程中主要的研究对象而且作为数学工具贯穿于高等代数的始终.矩阵的分解问题又是矩阵研究的重中之重,它在线性代数及计算数学中都有广泛的应用.该文主要探究高等代数的数学思想在矩阵分解中的应用及实现,从中说明矩阵分解的相关理论及应用.     

高等代数中的反例研究

恰当的反例能很好地帮助学生正确地理解和掌握相关数学概念及定理.本文研究了高等代数中有关矩阵、多项式和线性变换中的典型问题,并通过修改命题的条件或结论构造了反例,深入探讨了特殊矩阵及其联系、多项式的整除性等方面的命题.高等代数的反例研究对于高等代数教学具有较好的指导意义.     

浅谈高等代数的知识体系

高等代数是高校数学专业的一门骨干基础课．它的重要性不仅在于它在数学各分支、基础科学、工程技术、经济管理等领域的广泛应用，还在于它体现了现代数学的观点和方法．从数学教学的知识体系上看，正如张禾瑞先生所说：“高等代数是中学代数的继续和提高”．所谓继续主要是研究问题的继续．高等代数从中学代数已介绍过的多项式，线性方程组的简单知识入手，从定义出发，通过严格的逻辑推理，建立了这两类问题的理论体系．所谓提高，主要是观点和方法的提高，在研究了多项式，矩阵两类具体的数学对象后，并未沿用旧方法继续讨论其它具体的数…     

关于第三类Chebyshev多项式的若干恒等式

Chebyshev多项式在数值分析、近似理论、傅里叶级数、组合数学等领域中有着非常重要的作用,Riordan矩阵作为一种研究工具在组合图论、组合数论、代数、特殊函数和组合恒等式的证明中有着广泛的应用。该文给出两个下三角形的Riordan矩阵,并借助其生成函数将这两个矩阵和第三类Chebyshev多项式结合起来,给出了两个矩阵方程,将矩阵方程展开取第n行,得到关于第三类Chebyshev多项式的若干组合恒等式。     

一个矩阵多项式求逆问题的推广

矩阵求逆是高等代数研究的重要问题,建立在此基础上的矩阵多项式求逆问题,因其复杂灵活的形式而成为一个研究难点.从一个二次矩阵多项式的求逆问题出发,运用逆矩阵定义、多项式互素、线性方程组理论给出了该问题的三种解法,并通过第三种方法进一步推得了此类矩阵多项式的求逆公式.     

反例在高等代数中的应用

高等代数是一门重要的数学课程,由于其知识的抽象性,使得学生的学习与老师的教学较为困难.研究了反例在高等代数教学中的重要性.结果表明,针对命题的特点构造出适当的反例,可以降低命题证明的难度,增强学生学习的信心,提高效率,使得高等代数的多项式、矩阵、线性空间、二次型等重要知识的证明和理解变得较为简单.     

矩阵多项式及其算法评述

近年来非线性数值代数的一个重要方向是对矩阵多项式的算法及其理论体系的研究。并且,取得了不少成果。见Ddnnis,Traub和Weber。这方面的研究课题,除矩阵多项式的代数理论外,还有诸如矩阵多项式的算法,矩阵多项式解的收敛性(局部收敛和全局收敛)、矩阵多项式特征根的求法、矩阵主解与特征根的关系以及主特征根     

M-矩阵平方根的一类保结构迭代法

矩阵的平方根在数学的很多应用中起着重要的作用,有关其理论和数值算法的研究是近年来的一个热点问题.文章研究了M-矩阵平方根的计算问题.基于简单位移变换,将矩阵平方根问题转化为代数Riccati方程,进而提出了一类新的保结构的迭代法以计算非奇异M-矩阵的平方根.理论分析和数值实验表明,新方法是可行的,而且在一定情况下要优于现有的若干算法.     

浅谈高等代数教学中一些问题

高等代数是现代代数学的基础知识,是学习掌握其它数学学科及科学技术的基础,是数学专业的一门重要基础课程,是中学代数的继续和提高。但由于代数学研究问题的一个基本方法——所谓公理化的方法,使得高等代数具有抽象、逻辑性强的特点,又由于高等代数研究的对象不是单一的,这样给教学带来一定的困难。据我们的教学实践,为了使学生较系统地掌握高等代数课程内容,熟悉本课程中某些重要的观点与方法,在本文中论述如何在教学中用等价关系、分类、标准形、不变量、完备不变量及矩阵的初等变换的观点和方法来处理高等代数中的部分教材内容的。     

椭圆系边值问题

椭圆型偏微分方程组的边值问题在数学、物理学中有许多应用，本书是关于这个主题的专著，主要目的是应用伪微分算子和矩阵多项式的谱理论中的新方法将指标理论简化和代数化。指标理论为有效应用椭圆型和边值算子的主象征提供了重要工具，     

关于高等代数中命题的反例研究

反例在高等代数命题研究中有着独特的作用,然而,在高等代数教学及理论研究中,人们往往忽视了反例的效用。通过综合论述高等代数中命题的反例,对高等代数中若干命题通过消弱命题条件或变换命题条件和结论进行研究,得出了关于向量组、矩阵、线性变换、多项式等方面的命题的反例,深入探讨了关于多项式的不可约性、子空间的直和判定及矩阵相似性三方面的命题,从而深化了对原命题的理解和认识。高等代数中命题的反例研究有利于提高批判性思维和创造性思维能力,有利于提高对命题的深层次理解,对于高等代数教学及理论研究均有一定的指导意义。     

基于计算机代数系统环境下的数学分析教学研究

数学分析课程是高等院校数学专业一门最重要的基础课程,学生对此门课程的学习效果直接影响对后续课程的学习。所以如何上好数学分析这门课程,是任课教师应该积极思考,认真反思的问题。对计算机代数系统应用到教学中的情况进行分析讨论。计算机代数系统在数学分析教学中是一种重要的认知工具,对教师和学生都有很大的影响,计算机代数系统不仅是有效的运算、作图工具,并且为数学实验及其他数学实践教学提供了的强有力保障,对数学思维的培养有很大作用。数学分析教学利用计算机代数系统不但可以使学生掌握数学知识,而且可以提高学生的创造力及应用能力。     

两类四元数矩阵方程的可解性研究

矩阵的Kronecker积是一种重要的矩阵乘积,矩阵的Kronecker积不仅在矩阵的理论研究和计算方法中有着广泛的应用,而且在工程技术领域与系统理论中也是一种基本的数学工具.利用四元数矩阵的Kronecker积和矩阵的（按行）拉直,研究了两类四元数矩阵方程的可解性问题.     

高等代数中的不变性探讨

讨论了高等代数中多项式理论、行列式理论、线性方程组与矩阵理论、二次型理论等各知识部分中的不变性,通过这些不变性理论,解决了某些重要的问题。     

矩阵在信息编码中的应用

矩阵是高等代数的基本概念之一,是线性代数的核心内容。它借助于几何概念分析纯代数问题,是基础学科中求解线性方程组的理论工具。随着科技的进步与发展,矩阵在物理学、计算机科学、数学建模、密码学以及统计分析学等应用数学类学科中都作为重要工具发挥着越来越广泛的作用。本文通过论述矩阵在密码学方面应用的系列特性,简要分析并掌握信息编码的加密、解密技术和思想,从而提高对于公安网络安全与执法工作的能力。     

融数学建模思想于高等代数课堂教学之探索

高等代数是数学专业的一门重要的专业基础课之一,是学习后续数学课程的基石.对于数学专业大多数学生而言,高等代数的学习是枯燥、乏味的,最主要一点是就缺乏应用实例.本文阐述了融数学建模思想于高等代数课堂教学的重要性与途径,希望对教育工作者有所帮助.     

逻辑代数浅谈

<正> 逻辑代数是新增加到中学数学教材中的现代数学知识。它是新的知识,但学习和掌握它并不难。目前,大纲安排暂作为选学内容。本文力图紧扣中学教材,简要地侧重介绍一下逻辑代数的基本知识,仅供中学数学教师在备课和教学中参考。什么叫逻辑代数?逻辑代数是用代数方法研究人类思维规律的一门学科。它是以命题为运算对象,包含三个逻辑运算的一种代数。本来数学就是建立在逻辑学的法则之上的,反过来数学又促进了逻辑学的发展。由于在逻辑学的研究中引入了数学的成果,遂产生了一门新     

多项式理论中的标准分解式结构

多项式理论是《高等代数》中重要组成部分,标准分解式是因式分解理论中的重要表现形式,而《高等代数》教材对标准分解式用途和方法很少涉及,本文主要就是讨论一元多项式的标准分解式以及妙用标准分解式定性的解决多项式的整除,最大公因式,互素和最小公倍式等问题.从而在因式分解式结构理论的角度来研究和理解多项式.     

交换环上全矩阵代数的迹恒等式

在ＰＩ－理论关于Ｒａｚｍｙｓｌｏｖ及Ｐｒｃｃｅｓｉ发现的ｎ×ｎ矩阵的迹恒等式（这些迹恒等式把通常的多项式恒等式作为一个真子集包含在内，从而给ｎ×ｎ矩阵的所有多项式恒等式集一个明显的解释）的基础上，研究了交换环上全矩阵代数的迹恒等式，特别研究了积的迹为零的多项式，它好比矩阵或多项式正交，在现代物理学中有着十分广泛的应用。