物理计算的保真与代数动力学算法——I.动力学系统的代数动力学解法与代数动力学算法

用常微分方程描述的动力学系统的演化方程的数值求解及其保真问题．首先引进时间平移算子,把经典动力学系统的常微分方程的初值问题提升为偏微方程的初值问题,纳入量子物理的代数动力学框架；将动力学系统的时间演化的局域微分规律和整体积分规律,用李代数和李群的语言具体表示出来；用代数动力学方法求得了用Taylor级数表示的局域收敛的常微分方程的偏微分形式的精确解和Taylor级数系数函数的解析表达式．在Taylor级数表示的局域精确解的有限项截断近似下,建立起一种基于时间平移偏微分算子的常微分方程的数值求解方法．代数动力学算法．从代数动力学算法的观点考察了辛几何算法和Runge-Kutta算法的保真问题．     

物理计算的保真与代数动力学算法--Ⅰ.动力学系统的代数动力学解法与代数动力学算法

用常微分方程描述的动力学系统的演化方程的数值求解及其保真问题.首先引进时间平移算子,把经典动力学系统的常微分方程的初值问题提升为偏微方程的初值问题,纳入量子物理的代数动力学框架;将动力学系统的时间演化的局域微分规律和整体积分规律,用李代数和李群的语言具体表示出来;用代数动力学方法求得了用Taylor级数表示的局域收敛的常微分方程的偏微分形式的精确解和Taylor级数系数函数的解析表达式.在Taylor级数表示的局域精确解的有限项截断近似下,建立起一种基于时间平移偏微分算子的常微分方程的数值求解方法-代数动力学算法.从代数动力学算法的观点考察了辛几何算法和Runge-Kutta算法的保真问题.     

物理计算的保真与代数动力学算法——Ⅳ．偏微分演化方程的代数动力学解法与算法

讨论了非线性偏微分动力学系统的演化方程的代数动力学解法与算法．首先,引进时间平移泛函偏微分算子,把偏微分方程的初值问题提升为泛函偏微分方程的初值问题,建立起泛函空间的代数动力学运动方程;把物理场的动力学系统的时间演化的局域微分规律和整体积分规律,用泛函空间的李代数和李群的语言表示出来;在泛函空间的代数动力学的框架内求得了用时间的Taylor级数表示的局域收敛的偏微分方程的精确解．在时间的Taylor级数表示的精确解的有限项截断近似下,建立起一种新的偏微分方程的数值求解方法．泛函空间的代数动力学算法．讨论了偏微分方程的数值求解中时间因果关联与空间地域关联之间的交织及其处理方案．     

物理计算的保真与代数动力学算法——Ⅱ．代数动力学算法与其他算法计算结果的比较

基于常微分方程的偏微分形式的代数动力学精确解，在Taylor级数表示的局域精确解的有限项截断近似下，建立起代数动力学算法．在四阶近似下实现了常微分方程的数值求解，在12个典型的动力学系统的计算机实验中比较了三种算法的精度及其优缺点．结果表明，代数动力学算法是独立于辛几何算法和Runge—Kutta算法的第三种算法，它有可能克服辛几何算法的动力学失真和Runge—Kutta算法的人为耗散，在可预期和可控制的精度下兼顾运动学代数一几何保真和动力学守恒律保真．     

物理计算的保真与代数动力学算法--II.代数动力学算法与其他算法计算结果的比较

基于常微分方程的偏微分形式的代数动力学精确解,在Taylor级数表示的局域精确解的有限项截断近似下,建立起代数动力学算法.在四阶近似下实现了常微分方程的数值求解,在12个典型的动力学系统的计算机实验中比较了三种算法的精度及其优缺点.结果表明,代数动力学算法是独立于辛几何算法和Runge-Kutta算法的第三种算法,它有可能克服辛几何算法的动力学失真和Runge-Kutta算法的人为耗散,在可预期和可控制的精度下兼顾运动学代数-几何保真和动力学守恒律保真.     

物理计算的保真与代数动力学算法水——Ⅲ．辛代数动力学算法

在常微分方程的代数动力学精确解的基础上，对Hamilton系统，设计出保持局域辛几何结构的各阶代数动力学算法-辛代数动力学算法．讨论了辛代数动力学算法与辛几何算法和Runge—Kutta算法的关系．对N阶辛代数动力学算法，估计了相空间轨道、运动学变量的代数关系和代数-几何不变量以及动力学守恒量的精度．在6个模型的计算实验中，比较了辛代数动力学算法与辛几何算法，发现四阶辛代数动力学算法比四阶辛几何算法在精度和轨道相位失真两方面都有所改进．     

物理计算的保真与代数动力学算法——Ⅲ. 辛代数动力学算法

在常微分方程的代数动力学精确解的基础上,对Hamilton系统,设计出保持局域辛几何结构的各阶代数动力学算法-辛代数动力学算法.讨论了辛代数动力学算法与辛几何算法和Runge-Kutta算法的关系.对N阶辛代数动力学算法,估计了相空间轨道、运动学变量的代数关系和代数-几何不变量以及动力学守恒量的精度.在6个模型的计算实验中,比较了辛代数动力学算法与辛几何算法,发现四阶辛代数动力学算法比四阶辛几何算法在精度和轨道相位失真两方面都有所改进.     

物理计算的保真与代数动力学算法——V．非线性对流方程的代数动力学解法与算法

把非线性偏微分方程的代数动力学解法和算法用于非线性对流方程,检验了这一方法对非线性对流方程的解析求解和数值求解的有效性．     

物理计算的保真与代数动力学算法——V.非线性对流方程的代数动力学解法与算法

把非线性偏微分方程的代数动力学解法和算法用于非线性对流方程,检验了这一方法对非线性对流方程的解析求解和数值求解的有效性.     

物理计算的保真与代数动力学算法 ——Ⅵ. Burgers方程的代数动力学解法与算法

把非线性偏微分方程的泛函空间的代数动力学解法和算法用于流体力学中的Burgers方程, 检验了这一理论方法对Burgers方程解析求解和数值求解的有效性.     

偏微分演化方程的代数动力学解法中无穷小时间平移算子的等价构造

我们给出了王顺金等提出的偏微分演化方程的代数动力学解法中关于时间平移的无穷小算子L的等价构造形式,我们的形式只涉及简单的偏导数运算,避免了在运用王-张时间平移算子进行计算的时候出现的大量的δ函数的导数.我们给出了两种表示的等价性,即王顺金等价性定理的证明.作为应用,利用我们给出的无穷小算子L的构造,处理了非线性对流方程,Burgers方程,非线性Schrdinger方程,KdV方程以及sine-Gordon方程等几个典型方程,并计算到至少二阶展开项,这些例子包括了实场量和复场量情形以及对时间的一阶导数和二阶导数情形.     

一阶常微分方程数值解中四种算法的实例比较

常用的求解一阶常微分方程初值问题的单步方法有:Euler法、梯形法、Taylor级数法、Rungue-Kutta法.本文借助VC软件,用四种方法求一个实例方程的数值解,通过比较求解结果来分析验证四种解法的误差精度.     

Heun方法中用Simpson公式校正的改进

针对求解常微分方程初值问题的Heun方法,利用Simpson公式进行校正,其中采用二次Taylor级数展开,改进了数值近似解的精度,并进行了实例说明.     

Rosenau方程的显式行波解及动力学行为

找到Rosenau方程的显式精确解十分困难,研究方法常采用数值离散求解技术.首先,采用李群分析法给出了Rosenau方程的对称群、约化常微分方程和群不变解;其次,构造了一种精确求解非线性偏微分方程的exp(-φ(ξ))展式法,利用此方法找到了Rosenau方程的显式行波解,分析了解的动力学行为;最后,所获得的显式行波解既证明了Rosenau方程显式精确解的存在性,又可用于验证数值解的精度、检验数值离散方案的优劣,为工程领域的实际应用提供理论依据和参考.     

非线性椭圆问题的非精确牛顿代数多重网格法

采用基于矩阵图集的粗化算法形成粗点集,构造改进的插值算子,结合V型多重网格法和瀑布型多重网格法的算法结构,提出了一种改进的代数多重网格（IAMG）法,并估计了该算法的计算量。将IAMG法运用于求解牛顿算法中线性校正方程,提出了求解非线性椭圆型问题的非精确牛顿代数多重网格（IN-AMG）法。数值实验表明与对比算法相比,IN-AMG法在求解线性校正方程方面的整体计算量更少、计算时间更短。     

非线性椭圆问题的非精确牛顿代数多重网格法

采用基于矩阵图集的粗化算法形成粗点集,构造改进的插值算子,结合V型多重网格法和瀑布型多重网格法的算法结构,提出了一种改进的代数多重网格(IAMG)法,并估计了该算法的计算量。将IAMG法运用于求解牛顿算法中线性校正方程,提出了求解非线性椭圆型问题的非精确牛顿代数多重网格(IN-AMG)法。数值实验表明与对比算法相比,IN-AMG法在求解线性校正方程方面的整体计算量更少、计算时间更短。
     

广义统一代数Lyapunov方程的亚正定解

给出基于Delta算子的广义统一代数Lyapunov方程（GUALE）具有亚正定解的必要和充分条件,建立求解GUALE亚正定解的迭代算法并用数值算例验其有效性.该算法收敛而且所得的算例结果与理论值相符.     

一类热传导方程逆时反问题的数值解法

讨论一类热传导方程逆时反问题(BHCP)的数值解法.中心差分法的思想是基于对原问题只进行空间离散,转化为一个不适定的常微分方程组的初值问题,然后利用变量变换把该问题转化为一个适定的常微分方程组的初值问题,最后利用Runge-Kutta方法进行数值求解.数值结果说明了数值解与精确解吻合良好.     

忒塔函数在求解非线性演化方程中的应用

建立了求解非线性演化方程精确解的忒塔函数展开法，并在计算机代数系统上得以实现，推导出若干非线性波方程的双周期精确解．方法的基本思路是把方程的解表示为忒塔函数构成的多项式，从而将非线性演化方程的求解问题转化为非线性代数方程组的求解问题．利用计算机代数系统可求解所得非线性代数方程组，最终得到非线性演化方程的双周期精确解．     

厚板弯曲与拉伸振动精化理论及其求解新途径

利用弹性动力学中Boussinesq—Galerkin一般解,基于微分算子谱和算子代数理论,采用了适当的规范条件,建立了推演厚板结构动力学方程的新途径．首次给出了考虑横向荷载作用的平板弯曲和拉压振动的两类动力学方程具体形式．为推导动力学方程方便和利用微分算子谱分解理论,引进了虚微分算子（i ）的概念．并将本文得到的平板结构振动方程与各种平板结构的弯曲方程作了对比分析．由于本文推导时没有采用任何工程假设,因此本文提出的平板动力学方程是精确的,可用于求解厚壁平板的振动和设计平板振动主动控制策略．本文为不采用几何方法,而是采用分析和代数的方法精确推导低维结构的动力学支配方程提供了一种统一规范的方法．