关于函数σ(n)的一个问题

2个不相同的正整数 m 和n,如果满足σ(m)=σ(n)=m n,则称之为一对亲和数,这里σ(n)=∑d|nd. 给出了Sn=62n 1不与任何正整数构成亲和数对的结论,即方程σ(Sn)=σ(x)=Sn x不存在正整数解.     

形如1/2(72n+1)的孤立数

讨论形如Sn=1/2(72n+1)的数,证明了Sn=1/2(72n+1)的数都是孤立数,其中n是任意的正整数.     

亲和数的一种求法

讨论了亲和数的一种求法,并得出了求亲和数的一个公式,即当m=atpq,n=at(pq+p+g)时,m和n为一对亲和数.     

Mersenne数Mp都不是拟亲和数

设p为素数,Mp=2p-1为Mersenne数Mp.证明了Mp不与任何正整数构成拟亲和数.     

奇合数n不是完全数的一些命题

奇完全数问题是数论中的一著名难题.探讨形如4 m+1的奇正整数n=παq2β11 q2β22…q2βss是否为完全数问题,给出其在σ(πα)≡2(mod8)条件下不是完全数的一些命题,由此可以类似地讨论其在σ(πα)≡6(mod8)条件下的情形,从而可以给出4 m+1型合数不是完全数的一系列条件.     

关于完全数的一点注记

如果正整数n适合σ(n)=2n,则称n为完全数.奇完全数的存在性问题是一个著名的数论难题,本文给出奇完全数的几个结论,由此推出Fermat数及形如6 m+5的正整数都不是完全数.     

关于数论函数σ(n)的一个注记

对于两个不相同的正整数m和n,如果满足σ(m)=σ(n)=m+n,则称之为一对亲和数,这里σ(n)=∑d|nd。本文给出了f(x,y)=x2x+y2x(x>y≥1,gcd(x,y)=1),当x,y同为奇数时,f(x,y)和f(x2,y)不与任何正整数构成亲和数对的结论。     

关于一类方程解的存在性

两个不相同的正整数m和n,如果满足σ(m) σ(n)=m n,则称之为一对亲和数,这里σ(n)表示为n的所有正约数之和.文章给出了sn=22n 32n(n∈Z ),不与任何正整数构成亲和数的结论,即关于x的方程σ(sn)=σ(x)=sn x不存在正整数解.     

图的色数与着色数的上界

证明了对于围长不少于2k1的图G,其色数X(G)≤c((bk,2k+1+2)n)1/k+1+2,其中c=c(k)且limk→∞ c(k)=1,bt,k是G的booksize.另外还证明了对于围长不少于2k+1的图G,其着色数σ(G)≤[bk,2k+1+1)n/2]1/k+2.     

一类正整数是否为孤立数研究

设σ( n )是正整数n的所有正约数之和。如果正整数n,m满足σ( n )=σ( m )= m +n,则( m,n)被称为一对相亲数。相反地,对于给定的正整数n,若不存在任何正整数m满足σ(n)=σ(m)= m+n,则称n为一个孤立数。讨论了正整数Sn =12(92n +1)是否为孤立数的问题,证明了其是孤立数的结论,其中n是任意的正整数。     

两类与Lah数和Stirling数相关的数

本文从函数［ａｘ］ｎ／ｍ诱导出两类新数，并给出这两类数的若干重要性质及其同Ｌａｈ数和Ｓｔｉｒｌｉｎｇ 数的相关性．     

Bernoulli数与Stirling数

应用形式幂级数的方法 ,研究Bernoulli数与Stirling数 ,指出它们之间的关系 ,获得几个包含Bernoulli数和Stirling数的恒等式 .     

广义Fermat数中的孤立数

设n是正整数,a是大于1的正整数,论文证明了广义Fermat数F(a,n)当n>max(8,loga/log 2)时都是孤立数.     

可拓实数与可拓复数

引进了可拓实数和可拓复数等概念,给出了可拓实数和可拓复数刻划定理,建立了可拓实数和可拓复数度量空间,该空间是完备的,在该空间上可讨论可拓实数列和可拓复数列的极限、度量收敛和水平收敛,还可进一步研究可拓实函数和可拓复函数的连续性和可拓连续性,从而丰富了可拓数学的内容和方法,为可拓数学的研究开辟了一条新的途径,为可拓分析学的进一步研究打下了一定基础。     

广义Mersenne数中的奇完全数

设p是奇素数,a和b是适合a>b,gcd(a,b)=1的正整数.设f(a,b,p)=(ap-bp)/(a-b).运用初等数论方法证明了当log a≤max(7log p,(2p-1-1)log p)时,f(a,b,p)不是奇完全数.     

Bernoulli数与素数的判别

利用等幂和与判别素数的充要条件,获得了Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数与判别素数的充要条件,得到了整除Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数分子的判别方法。     

Bernoulli数和Euler数的关系

本文给出了Bernoulli数和Euler数之间的关系，从而深化和补充了文献[1—6]中的相关结果。     

有关Fibonacci数和Lucas数的几个恒等式

利用母函数的方法,研究了以Fibonacci数和Lucas数为系数的指母生成函数,揭示了Fibonacci数和Lucas数之间的内在联系,得到了几个关于Fibonacci数和Lucas数的有趣的恒等式.     

有关Bernoulli数和Euler数的关系式

根据Euler数、Bernoulli数及Bernoulli多项式的定义,利用函数方程,研究了Bernoulli数和Euler数的母函数之间的关系,得到了一些新的函数及其幂级数展开,通过比较幂级数对应项的系数的方法,揭示了Bernoulli数和Euler数之间的内在联系,得到了几个关于包含Bernoulli数、Euler数和Bernoulli多项式之间有趣的恒等式.