关于p阶临界h边连通图的一个注记

文［１－４］分别给出了ｐ阶临界２边连通图ｐ阶临界３边连通图以及ｐ阶临界ｈ（≥４）边连通图的最大边数及其结构。本文相应给出了ｐ阶临界ｈ（≥３）边连通图最大边数更为简捷的结果。可应用于改进和提高通讯网络的可靠性     

关于临界图的若干结果

Ｖｉｚｉｎｇ’ｓ猜想：ｎ阶Δ－临界图的边数ｍ满足ｍ≥（ｎΔ－ｎ＋３）／２。本文证明了当ｎΔ＝３时猜想也成立以及当５≤Δ〈ｎ／２，ｎΔ＝４时猜想也成立。同时给出了临界图的两个新的性质。     

k对等图与Ore—范条件

本文证明了：若ｋ≥３,Ｇ为ｎ阶２－边连通图且ｎ≥４ｋ＋１,ｋｎ为偶数,δ（Ｇ）≥ｋ＋１,ｗ≠Ｅ（Ｇ）时ｍａｘ（ｄ（ｕｘ））≥ｎ／２,则Ｇ是ｋ－对等图,除非Ｇ为一类例外图。     

图的升分解问题的两个新结果

Ａｌａｖｉ等人在１９８７年定义了图的一种新分解,即“升分解”（ＡｓｃｅｎｄｉｎｇＳｕｂｇｒａｐｈＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ）,并且猜想：任意有正数条边的图都可升分解．该文证明了下面两个新结果：（１）Ｈｉ是ｉ条边的Ｋｎ的子图,当ｎ＋１≤ｉ≤２ｎ－２ｎ／３［］２－２时,Ｇ＝Ｋｎ－Ｈｉ可升分解为Ｋ１,１,Ｋ１,２,…,Ｋ１,ｎ－５,Ｋ１,ｎ－４,Ｇｎ－３（ｎ≥６）,其中Ｋ１,ｎ－４Ｇｎ－３．（２）Ｈｉ是ｉ条边的Ｋｎ的子图,当ｉ≥２ｎ－２ｎ／３［］２时,Ｇ＝Ｋｎ－Ｈｉ不一定有定理１形式的升分解．     

最小度为3k／2—1（k为偶数）的k连通图的可收缩边

最小度δ（Ｇ）＝３ｋ／２－１（ｋ为偶数）的ｋ连通图Ｇ至少有｜Ｇ｜＋５（ｋ＾２－１０ｋ）／４条可收缩边,且当｜Ｇ｜是ｋ的整数倍时,这一界是最好的。     

交叉立方体互连网络的Hamilton连通性

交叉立方体互连网络是超立方体的一个变型,它有一些比超立方体更好的性质．本文证明了ｎ维交叉立方体ＣＱｎ的又一个超立方体所不具备的性质,即当ｎ≥１,ｎ≠２时,ＣＱｎ是Ｈａｍｉｌｔｏｎ连通的,并给出了当ｎ≥４时ＣＱｎ中任意两个顶点间Ｈａｍｉｌｔｏｎ路条数的一个下界４（２ｎ－１－２）∏ｎ－２ｉ＝３（２ｉ－２）２．     

图的度序列与Hamilton连通性

引进图的弱闭包的概念，证明了：设ｎ阶３－连通图Ｇ的度序列为ｄ１≤ｄ２≤…≤ｄｎ，如果对任意ｋ由，ｄｋ≤ｋ＋１可推出ｄｎ－ｋ≥ｎ－ｋ，那么Ｇ是Ｈａｍｉｌｔｏｎ连通图。     

D—闭迹存在的一个充分条件

所获主要结果是：设Ｇ是ｎ≥３阶几乎无桥的简单连通图，Ｇ≌Ｋ１，ｎ－１，若对Ｇ中任何互不相交的三条边ｅ１，ｅ２及ｅ３有ｄ（ｅ１）＋ｄ（ｅ２）＋ｄ（ｅ３）≥２ｎ＋１则Ｇ有一个Ｄ－闭迹，从而Ｌ（Ｇ）是哈密顿图，此结果推广了Ｂｅｎｈｏｃｉｎｅ Ａ等人的结果。     

关于n—可扩偶图一个极值问题的注记

本文讨论了ｎ－可扩偶图的一个极值问题，证明了任意具有ｐ≥２（ｎ＋１）个顶点、ｑ条边的有完美匹配的偶图是ｎ－可扩的充分条件是ｑ≥ｐ／２（ｐ／２－１）＋ｎ＋１。     

双循环，对集和树

令Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）为一个图，它的节点数为ｎ，不仅是一个双循环也是一个上循环．记β（Ｇ）为Ｇ的双循环空间的维数．对于Ｇ的一个子图Ｈ，用φ（Ｇ，Ｈ）表示Ｇ的支撑森数目，使得它的每个树均恰含Ｈ的一条边．图Ｇ的Ｈ扩张Ｘ（Ｇ，Ｈ）在Ｇ上增添一个新节点ν，连ν与Ｈ的每一个奇次节点以一边所得到的图．本文证明，φ（Ｇ，Ｈ）是个偶数，要么Ｘ（Ｇ，Ｈ）不连通，要么Ｘ（Ｇ，Ｈ）有一个非零双循环．对于一个欧拉图Ｇ，令λ（Ｇ）为Ｇ中这样边的最小数目，使得在将它们从Ｇ中收缩掉而得到的图Ｇ中，所有那些落在奇数个完满对集上的边，形成一个非零双循环．同时还得到，在Ｇ的最大对集中边数为μ（Ｇ）的一个下界，即μ（Ｇ）≥（ｎ－｜β（Ｇ）－１｜）／２．对于非欧拉图Ｇ，令ψ（Ｇ）＝β（Ｘ（Ｇ，Ｇ）），和用γ（Ｇ）表示这样边的最小数目，使得在将它们从Ｇ中收缩掉而得到的图上，有边属于奇数个完满对集．我们证明，γ（Ｇ）＝ψ（Ｇ）以及μ（Ｇ）≥（ｎ－ψ（Ｇ））／２．     

X—可迹图的两个推论

在［２］中的结果：如果Ｇ是ｎ阶２－连通图，Ｘ∪→－Ｖ（Ｇ）并且ＮＣ２（Ｘ）≥ｎ－１／２，则Ｇ是Ｘ－可迹图。本文利用该结果推广了Ｄｉｒａｃ和Ｏ．Ｏｒｅ分别在文献［３］和［４］中有关可迹图方面的结论。     

最好可能的森谱界

证明了森或树的任一正特征值λｑ－ｉ（ｉ＝ｑ－１，ｑ－２，…，０）满足λｑ－ｉ≥２ｃｏｓ［ｔｉπ／（２ｔｉ＋１）］（ｔｉ＝［［２ｑ／（ｉ＋１）］／２］），并指出这个下界对于边独立数为ｑ的森或者顶点数为ｎ、边独立数为ｑ的森是最好可能的；对于边独立数为ｑ的树或者顶点数为ｎ、边独立数为ｑ的树当ｉ＝ｑ－２，ｑ－３，…，ｑ－［（ｑ＋１）／２］或当ｉ＝ｑ－［（ｑ＋１）／２］－１，ｑ－［（ｑ＋１）／２］－２，…，１（ｑ０（ｍｏｄｉ＋１））时，这个下界是最好可能的     

图的线图是Hamiltonian的一个充分条件

证明顶点数ｎ≥３的几乎无桥连通图Ｇ,Ｇ≠Ｋ１,ｎ－１,对Ｇ中任意互不相邻的３条边ｅ１、ｅ２,ｅ３满足ｄＧ（ｅ１）＋ｄＧ（ｅ２）＋ｄＧ（ｅ３）≥２ｎ＋１,则Ｇ有一条Ｄ－迹,从而其线图Ｌ（Ｇ）是Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ。     

关于二部图的圈的几个结果

高图Ｇ－（Ｘ，Ｙ；Ｅ）是二部图，ｈ＝ｍｉｎ（／Ｘ／，／Ｙ／）且ｈ≥３，δ（Ｇ）≥２，则（１）图Ｇ的周长Ｃ（Ｇ）≥ｍｉｎ（２ＮＣ２，２Ｈ），（２）若Ｇ是连通的，／Ｘ／＝／Ｙ／＝ｎ≥，且ＮＣ２＝ｎ，则Ｇ是偶圈可扩张的图且是偶泛圈图。     

2－连通简单MCD图边数的一个新的下界

设Ｇ是具有ｎ个顶点的２－连通简单ＭＣＤ图，ｆ２（ｎ）表示Ｇ的边数．本文证明了当ｎ≥８时，其中ｘｍ＝ｕｍ－２ｕｍ－５，ｕｍ是Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数．     

连通简单MCD图边数的一个新的下界

设Ｇ是具有ｎ个顶点的２－连通简单ＭＣＤ图，ｆ２（ｎ）表示Ｇ的边数．本文证明了当ｎ≥８时，其中ｘｍ＝ｕｍ－２ｕｍ－５，ｕｍ是Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数．     

关于Faudree－Schelp定理的改进

一个图Ｃ＝（Ｖ，Ｅ）是［ｌ，ｍ］－泛连通的，如果在Ｇ的任意一对节点ｘ与ｙ之间有长为Ｋ—１的路Ｐｋ（ｘ，ｙ），Ｋ＝ｌ，ｌ＋ｌ，…，ｍ。Ｇ具有性质Ｐ（Ｋ），如果对Ｇ的任何一对距离为２的节点ｘ和ｙ，有ｄ（ｘ）＋ｄ（ｙ）≥Ｋ。作者探讨了一类产（Ｋ）图的路连通性，改进了Ｆａｕｄｒｅｅ－Ｓｃｈｅｌｐ定理，得到两个定理：定理１设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是ｎ阶Ｐ（ｎ—１）图。如果Ｇ是［ｎ—１，ｎ］－泛连通的，则Ｇ是［８，ｎ］－泛连通图（ｎ≥８）．定理２设Ｇ是３－连通ｎ阶Ｐ（ｎ）图。如果Ｇ的独立数α（Ｇ）＜ｎ／２，则Ｇ是［５，ｎ］－泛连通图，ｎ≥５．     

关于Faudree定理的一个注记

假定Ｇ是顶点数的ｎ的２－连通图，Ｇ中顶点数为４且包含爪Ｋ１．３的子图称为爪型子图。本文证明了对Ｇ的任一爪型图Ｆ，任何ｕ，ｖ属于Ｖ（Ｆ），由距离ｄ（ｕ，ｖ）＝２＝│Ｎ（ｕ）ＵＮ（ｖ）│≥２ｎ－１／３，则Ｇ是哈密顿图。     

关于图的圈覆盖

Ａ．Ｉｔａｌ和Ｍ．Ｒｏｄｅｈ给出了两个关于图的圈覆盖的猜想：（ｉ）任意２－边连通图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）有困覆盖Ｃ，使ｌ（Ｃ）≤｜Ｅ｜＋｜Ｖ｜－１；（ｎ）任意２－边连通图有困覆盖，使图的每条边至多被覆盖两次．本文证明了猜想对平面图和２－边连通没有３－边割的图成立，并给出了一与两猜想等价的条件．同时也对著名的２－圈覆盖猜想作了讨论．     

领域并与点泛圈偶图

设Ｇ是连通偶图，（Ｘ１，Ｘ２）是其顶点的二分类，│Ｘ１│＝│Ｘ２│＝ｎ，δ（Ｇ）≥ｔ≥３。证明了若任意ｕ，ｖ∈Ｘｉ→│Ｎ（ｕ）∪Ｎ（ｖ）│≥ｎ－〔ｔ－１／２〕，ｉ＝１，２，则Ｇ是点泛圈图。