关于Opial——华罗庚不等式

本文对于(0,a)上绝对连续函数y(x),y(0)=0,以及任意实数l>0,证明华罗庚提出的一个积分不等式:(?)这里当且仅当y=bx 时等号成立(b 是常数)。而常数a/(l 1)是可能最好者.     

减弱定理条件拓宽应用范围

<正> 在微积分中,为解决含参量积分的求导与积分顺序可交换的问题,教科书上多采用下述定理1与定理2。 定理1 若函数f(x,y)与f_y(x,y)在R[a,b;c,d]上连续,则函数φ(y)=integral from n=a to b(f(x,y)dx)在[c,d]上可导,且 φ′(y)=integral from n=a to b(f_y(x,y)dx) (1)     

积分中值定理中“中间点”的渐近形态

本文讨论了当f(t)∈C~(n-1)[a,b],f~(l)(a)=0(i=1,2,…,n-1),f~n(a)存在且不为0(n≥1);g(t)∈c~(m-1)[a,b]g~j(a)=0(j=0,l,2,…,m-1),g~m(a)存在且不为0(m≥1)或g(t)∈c[a,b],g(a)≠0,g(t)或f~l(f)在[a,b]上不变号时,积分第一与第二中值定理中“中间点”的一般估计,即当x→a时,其中间点的渐近状态。     

O-H不等式的另一证明

设y(x)是〔0,a〕上的绝对连续函数,y(0)=0,那么,有Opial不等式■(1)并且等号成立的充分必要条件是y=bx,b为常数。华罗庚把(1)予以推广,证得■(2)其中l为正整数,并且(2)中等号成立的充分必要条件是y=bx,b为常数。华罗庚猜想(见〔2〕)(2)式中应对任意l>0成立。侯明书把(2)作了某种方式的推广。王斯雷以及梁肇基曾分别用相当简捷     

Opial不等式的再推广

若y(x)为绝对连续函数,y(O)二o,则百 J:!y(X)y,(X)}dX《言I;,y,‘x,,2“一(1)当且仅当y’(x)=b时取等一号。 (工)称为opial不等式,华罗庚在〔1〕中推广了(1),得到}“ly,(x)y,(x)一dx(粤.【‘}y,(x)}上·:dx.JO名十IJ。(2)共中I为自然数.但估计l为大于。的任挟数时(2)也成立,并不难证明.候明书在(2)中对此作了讨论,但所得形式与(2)不同.王斯雷在〔3〕中就l为任意正数的情形证实丁‘2). 我们在这篇文章里将给出比(2)更一般的形式。 定理若yK一’(x)绝对连续,y卜‘(0)=·一y‘(o)=y(o)二0,l。,丈J,…l、一,是任意正数,则有‘卜淤索‘.‘…     

关于一般Liénard系统解的唯一性问题的注记

研究dxdt=h(y)-F(x),dydt=-g(x)关于初值问题解的唯一性问题,给出了如下定理:定理A,设系统(2)仅有有限奇点,若F(x)和g(x)在R上连续,h(y)在R上具有连续导数且h′(y)>0,则系统(2)满足初始条件x(t0)=x0,y(t0)=y0的解唯一.其中M0(x0,y0)不为奇点.同时,当h(y)为严格下凸函数时,给出了类似的定理B.     

方程dy/dx=(q_(00)+q_(10)x+q_(01)y+q_(20)x~2+q_(11)xy+q_(02)y~2)/(p_(00)+p_(10)x+p_(01)y+p_(20)x~2+p_(11)xy+p_(02)y~2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅳ):Ⅲ类方程

文将所研究的方程可能存在极限环的情况分为三类,本文考察其中的Ⅲ类方程,它的最一般形式为 (dx)/(dt)=-y+dx+lx~2+mxy+ny~2=P(x, y), (dy)/(dt)=x(1+ax+by)=Q(x, y) (1)当d=0时,(1)以原点为焦点且当m(l+n)-a(b+2l)>0时为不稳定,当m(l+n)-a(b+2l)<0时为稳定。首先可从d=m=0时的方程     

压缩映射原理的扩充

本文推广了[2]中的结果,证得如下定理,并以[2]中的主要结论为其推论。定理:用F表示满足下列条件的函数族α(ρ):l)α(ρ)定义在[0, ∞]上,且当ρ>0时,0≤α(ρ)<1;2)对于任给的ρ_0∈(0, ∞)或ρ_0= ∞,有limα(ρ)≠1.又设A是将完备的度量空间X映入自身的压缩写像,且对任何x,y∈X,有 ρ(Ax,Ay)≤α(ρ(x,y)ρ(x,y),其中α(ρ(x,y)≡α(ρ)∈F,则A在X中存在唯一不动点。     

富里埃级数的蔡查罗求和

1.假如f(x)∈L[0,2π],且在[0,2π]的子区间[a,b]上是连续的,那末我们写着f(x)∈L[0,2π]·C[a,b], ω_2(f,δ;a,b)= sup |f(x+h)+f(x-h)-2f(x)|.关于这类函数的富里埃级数f(x)～a_0/2+sum form n=1 to ∞(1/n)(a_n COS nx+b_n sin nx),Flett,Sunouchi等作者讨论了蔡查罗局部逼近问题。本文的目的是在详尽地讨论这个局部逼近问题,指出局部性与整体性的差别,并且解决了局部饱和问题。我们建立两个定理。定理1.设f(x)∈L[0,2π],ω_2(f, δ;a,b)=O(δ~β),f(x)的富里埃系数a_n,b_n=O(n~(a-β)).则(i)当0<β<1时,在[α+2ε,b-2ε]中均匀地成立着σ_n~α(f;x)-f(x)=O(n~(-β));(ii)当β=1时,f′(x)在[a,b]中是有界的话,在[a+2ε,b-2ε」中均匀地成立着     

Opial不等式的简短证明

假定y(x)是在(0,a)上的绝对连续函数,y(0)=0,我们给出下面不等式∫_0~a|y~l(x)y′(x)|dx≤a~1/l+1∫_0~a|y′(x)|~(1+1)dx的简短证明。此处l是任意正数。     

二阶线性方程的振动问题

考虑二阶线性常微分方程 y″(x)+P(x)y(x)=f(x), (1)称方程(1)的某一解y(x)在[0,+∞)上振动,如果对任意的T>0,则y(x)在[T,+∞)上必有零点。否则,如果存在T>0,使当x>T时y(x)>0(<0),就称y(x)为最终正解(负解)。文献[1]证明了若在[0,+∞)上P(x)>0,f(x)>0,P′(x)≥0,f′(x)≤0,则方程(1)的满足初值条件y(0)=y′(0)=0的解必振动。本文建立了一个判定方程(1)满足初值条件y(0)=y′(0)=0的解振动的不等式,这一不等式并不要求P′(x)≥0一定成立,另外,我们给出P(x)>0,P′(x)≤0时的比较定理。     

一类变系数非线性波方程的能量估计

用Holder不等式,Cauchy不等式和Gronwall不等式,证明变系数非线性波方程{y″-div(c(x)▽y)+a(x,t)y=b(x,t),(x,t)∈Ω×[0,T]y(0,t)=y(1,t)=0,t∈[0,T]y(0)=y0,y′(0)=y1,x∈Ω}在空间L2(Ω)×L2(Ω)上的能量估计.     

确定非线性椭圆型方程的未知系数

一、引言本文考虑下面的非线性问题(a(u)u)_x+(a(u)u_y)y=0 (1.1)a(u(0,y))u_x(0,y)=p_0(y) (1.2)a(u(1,y))u_x(1,y)=p_1(y)u(x,0)=0,u(x,1)=f(x) (1.3)a(u(x,1))u_y(x,1)=g(x).(1.4)其中 a(u)为介质的热传导系数,u(x,y)为介质的温度,都是未知函数.p_0(y),p_1(y),f(x),g(x)为已知函数.在研究二维板材的定常热流时,如果板材的热传导系数与温度有关,就会提出上面的问题.J.R.Cannon 和 P.Duchateau 在[1]中研究了线性问题     

一类一阶非线性方程组初边值问题的适定性

§1 引言Bellman 在论文[1]中藉助 Laplace 变换研究了下列描述散射过程的偏微分方程组x_t-x_r=Ax+Dyy_t+y_r=Bx+Cy (1.1)满足边界条件x(l,t)=0,y(0,t)=d (1.2)及初始条件x(r,0)=y(r,0)=0 (1.3)的解的渐近性质和定常状态解的关系。这里x=x(r,t),y=y(r,t),c,d 是 n 维欧几里得     

一类高阶非线性微分方程解的稳定性

本文对高阶非线性微分方程组x=f_1(x,y,x,y,x,y)…y=f_2(x,y,x,y,x,y)的某些特殊类型,研究了平凡解的全局渐近稳定性[1],用类比法[2]构造李雅普诺夫函数,得到了全局渐近稳定性的一些充分条件。主要结果为定理2、定理3和定理4。文中具体研究了如下三种类型的方程:和x a_1x a_2y a_3x a_4y f(x)=0…y b_1x b_2y b_3x b_4y g(y)=0x a_1x a_2y f(x) a_4y a_3x=0…y b_1x b_2y b_3x g(y) b_6y=0x f(x) a_2y a_3x a_4y a_5x=0…y b_1x g(y) b_3x b_4y b_6y=0其中ai,bi(i=1.2.…,6)均为常数,f和g具有保证解对初值唯一性的条件。     

四阶非线性特征值问题正解的存在性

运用Leray-Schauder不动点定理证明了四阶边值问题y^(4)(x)=λa(a)f(y(x)),0＜x＜1,y(0)=y(1)=y‘(0)=y‘(1)=0对充分小的λ＞0存在正解。其中,a:[0,1]→R连续,f(0)＞0。     

一个广义矩问题的注记

设L[a,b]表示有限区间[a,b]上可积函数的全体,{f_n(x)}为定义在[a,b]上的一个函数列。若对任意的g(x)∈L[a,b],只要integral from n=a to b f_n(x)g(x)=0,n=1,2,3,……就有g(x)在[a,b]上几乎处处为零,则称{f_n(x)}在[a,b]上是完全的。著名的Müntz—Sz'asz定理指出:幂函数列{x~(n_p)}在[a,b]上完全的充分必要条件是sum from p=1 to ∞ 1/n_p=+∞。其中a≥0,0相似文献   

一类离散SIRS传染病模型的持久性

考虑具有非线性发病率及分布时滞h∑k=0Pkf(Sn+1,In-k)的离散SIRS模型,利用差分不等式理论得到模型持久性的充分条件。当f(x,y)=βxG(y)时,对应模型持久的充分条件为:G(y)在[0,∞)连续单增,G(0)=0,函数G(y)/y在(0,∞)单减有界。该结论改进了[生物数学学报,2013,38(2):274-259]中的相关结论。当易感者输入率等于死亡率时,本文结论是[Appl Math Comput,2012,39:15-34]中定理4.1的离散化形式。     

关于指数計算

设X,Y为(B)型空间,研究非线性完全连续作用于X带参数y的方程Ф_yx=x—F(x,y)=0设Ф_y0=0(有时φ_y0=0)。若F对x在x=0可微,则Ф_yx=x-F′(0,y)x T(x,y)=0 表Ω为正则值集合,Π为奇异值集合,则i[Ф_y,0]当y在Ω的连通区域D时为常数。设A=F′(0,y_0),y_0∈ΠX_1真为相应于固有值1的固有子空间,由完全连续线性算子理论,有X=X_1 X_2,相应一对投影P_1P_2且存在有逆线性算子R使R(I—A)x=x_2。本文得到如下结论,若y_0∈Πh=y-y_0。足够小F′(0,y)=A—S(h)。 y∈Ω充要条件为Ю_y=P_1RS(h)P_1—P_1RS(h)P_2[P_2 P_2RS(h)P_2]~(-1)P_2RS(h)P_1在X_1中有逆,此时i[Ф_y,0]=i[R,0]i[Ю_y,0]_(X_1)。 x=0是Ф_(y_0)x的孤立零点之充要条件为x_1=0是L_(x_1)=P_1RT(x_1 f(x_1,y_0)y_0)=0的孤立零点,其中x_2=f(x_1,y_0)是P_2x P_2RT(x_1 x_2,y_0)之解。此时i[Ф_(y_0),0]=i[R,0]i[L,0]X_1。最后,我们应用上述结果到非线性方程的分枝解问題。     

非线性方程的极限环问题

本文首先研究非线性方程x=φ(y)-F(x),y=-g(x)的极限环存在问题,放弃了φ(±∞)=±∞的条件,包含了[3—7]的有关定理。然后对形如x F(x,x) g(x)h(x)=0的二阶非线性方程,利用[8]及本文§1的结果,给出了若干存在极限环的条件,包含了[9]的定理2及[10]p.374的Reissig定理。