第一类边界混合问题离散现象的注记

本文讨论了混合问题主要结果是下面二个定理: 定理1 当p=4k+3(k=1,2,…)时混合问题 (2)_p=(2)_(4k+3)存在唯一解的充要条件是此时,解的表达式为 u(x,t)=F_(4k+3)F_(4k-1)…F_7(?)(x,t) 定理2 1°当p≠1,3,5,…时,混合问题(2)_p存在唯一解。 2°当p=4k+1(k=1,2,…)时混合问题(2)_p=(2)_(4k+1)存在唯一解,其表达式为 u(x,t)=F_(4k+1)F_(4k-3)…F_(?)(?)(x,t)     

从一道数学竞赛题谈起

1978年全国数学竞赛有这样一道题:对多项式x~(12)+x~9+x~6+x~3+1进行因式分解。具结果是x~(12)+x~9+x~6+x~3+1=(x~4+x~3+x~2+x+1)(x~8-x~7+x~5-x~4+x~3-x+1)。这个结果恰好是将等式左边x~(12)+x~9+x~6+x~3+1中的x~3换为x就是等式右边的第一个因式x~4+x~3+x~2+x+1,我们知道,x~4+x~2+1=(x~2+x+1)(x~2-x+1),这道题的结果也是将等式左边的x~2换为x就是等式右边的第一个因式x~2+x+1。由这两道题的结果使人想到:上述两例是否具有普遍性?对于这个问题的回答,我们有如下定理:     

方程+f(X,)+g(X)=0的极限环

书[1]对84年以前国内外有关极限环理论的重要成果作了总结和介绍,文[2]和文[3]是纳入[1]的两个定理,分别给出了方程+f(x,)+g(x)=0和方程+F()+G(x)=0存在稳定极限环的充分条件。本文给出更加广泛的二阶非线性方程+f(x,)+g(x)=0存在稳定极限环的一组充分条件。文[2]对f(x,)所加条件主要是针对x给出,本文则主要针对给出,且估值方法有所不同。而文[3]可认为是本文定理的特例或推论,文[3]的方法较繁。     

关于丢番图方程x±1=3Dy_1~2,x~2■x+1=3y_2~2

本文用初等方法研究了丢番图方程x±1=3Dy_1~2,x~2x+1=3y_2~2,得到了定理1和定理2。     

二阶具有偏差变元的微分方程属于极限圆型的判定

利用文献 [1]的一个重要结果 (引理 1) ,首先得出了比之更广泛的一类积分不等式的解(引理 2 ) ,然后利用引理 2证明了文中的两个定理 .本文主要研究二阶微分方程 :(r(t)x′)′ +[a(t) +b(t) ]x =f(t,x(t) ,x(φ(t) ) )其中｜f(t,x ,x(φ(t) ) )｜≤f1(t) +f2 (t) ｜x｜α +f3 (t) ｜x(φ(t) )｜β定理 1、定理 2给出了上述方程属于极限圆型且为拉格朗日稳定的两个充分条件 ,并分别举例说明了两个定理的应用 .     

一类微分差分方程的周期解和全局吸引性

讨论一类微分差分方程 x(t) =gradG(x(t) ) +f(t,x(t-r) )的周期解问题 ,其中x(t) =(x1(t) ,… ,xn(t) ) T 是n维连续向量 ,G(x)为连续可微函数 ,r>0 ,f(t,x)是n维连续向量函数 ,且f(t+ω ,x) =f(t,x) ,ω>0。利用重合度理论中的延拓定理并构造Lyapunov泛函得到了周期解的存在性和全局吸引性定理。改进并扩充了文 [3]的有关结果。     

关于整系数不可约多项式的判别法

本文给出了n次整系数多项式在有理数域上存在次数至少为k+1(k相似文献   

中值定理“中间点”的渐近性

本文对Taylor中值定理的“中间点”的渐近性提供了证明,改进了有关论文所提出的假设条件,将定理需设函数f(x)的n+1阶导数f~((n+1))(x)在点α不仅存在而且连续的条件降低为f~((n+1))(x)只在点α存在。     

两个关于Liénard方程极限环存在性定理

研究Lienard方程x+f(x)x+g(x)=0或其等价方程组dy/dt=g(x),dx/dt=y-F(x)(F(x)=∫_o~xf(ξ)dξ)的极限环存在性的文章很多,迄今为止,仍以定理为最好,最有代表性,在一定意义下其所加的条件是最少的。本文给出两个新的保证(*)存在极限环的定理,有别于定理和定理。问题的实质是,定理所加的条件保证:在整个(x,y)平面上,轨线皆绕     

关于“Bellman问题的一个证明”一文的注记

指出文[8]中主要结论证明中的问题,证明了如下定理:设x1,x2,…,xn为正整数,且x1+x2+…+xn=m,则存在正整数a1,a2,…,an,使(a1+a2+…+an)tr(A1x1A2x2…Axnn)(A1x1A2x2…Anxn)H≤a1trA12m+a2trA22m+…+antrA2nm对所有Hermite矩阵A1,A2,…,An成立,并由此得到Bell man问题的一个证明。     

一类三次Kolmogorov系统的定性分析

研究一类三次Kolmogorov系统:{=x(A0+A1x-A3x2+A2y+A4xy)=y(-1+x2-y)(*)其中:A0>0,A3>0,A1,A2,A4不定号.对A1>0,A2<0,A4<0的情形,利用环域定理、Dulac函数法和张芷芬唯一性定理等手法得到系统(*)在第一象限内极限环存在、不存在及极限环的唯一性的充分条件.     

关于Stolz定理的推广的注记

本文将指出《数学分析中的典型例题和解题方法》一书(以下简称*)中,关于Stolz定理的推广的一个疏忽,并提出修改意见,同时给出该定理证明的一些补充. 兹将*中(∞/∞型)Stolz定理的推广引述如下: 设T为正常数,若函数g(x),f(s),x∈[a,+∞)满足: (1)g(x+T)>g(x),x∈[a,+∞); (2)lim g(x)=+∞,f(x),g(x)在[a,+∞)的任意子区间上有界;x→+∞ (3)lim{[f(x+T)-f(x)]/[g(x+T)-g(x)])=l.     

带临界指数非线性椭圆方程非平凡解的存在性

讨论了有界区域上的Dirichlet问题-△u-λu=α(x)│u│~(p-1)u+f(x,u),x∈Ω,u=0,x∈Ω非平凡解的存在性。其中 p=(n+2)/(n-2),n≥3,f(x,u)是关于│u│的增涨阶低于p的连续函数,λ是正参数。我们先证明了一个不具(PS)条件的临界点定理。据此并利用Sobolev嵌入定理的最优常数,克服了失去紧性的困难,从而得到非平凡解的存在性。与Brezis—Nirenberg结果不同的是,我们没有假设λ<λ_1,λ_1是-△:H_0~1(Ω)→H~(-1)(Ω)的第一本征值。     

几个不动点定理

本文推广了MAU-USIANG SHIH与CHEH-CHIH YEN在文[1]中定理2,CHI SONG WONG在文[2]中定理1,Banach不动点原理,CHI SONG WONG文[3]中公共不动点定理.定理1 设x是紧致度量空间,f是x到x的连续映射,p代表正整数,若对x,y∈x,x≠y满足下面条件     

非线性差分方程的全局吸引性

研究了差分方程xn+1-xn+Pnf(x\{n-k\})=0n∈N(1)的渐近性态,得出了方程零解全局吸引的充分条件.定理设f为不减函数,且当x≠0时,|f(x)|＜|x|,∑∞n=0Pn=∞.若∑ni=n-kPi≤β=(3)/(2)+(1)/(2(k+1))n∈N(n0)成立,那么方程(1)的零解是全局吸引的.     

分式递推数列x_(+1)=Ax+B+C/(X_n),x_1=K,(AC≠0)的变换性质

2‘资+au、+西斌麟数列“一-一五再不~,“‘一’,介0的求通项问题尚未完全解决。为利于这一问题的探讨,本文研究递推数列 x十;一Ax:十B十C/x。,二:一K,(AC特0)的变换性质.实际上,利用简单的线性变换即可将(1)变为(2). 首先假定递推数列(2)的特征方程、~Ax十B一卜c/x(AC铸0)有两相异根a,吕.显见,哪铸0.(1)(2) 定理1递推数列(2)满足的充分必要条件是A一告,B一。X,十生一ax二+,一另=(兰二q、2 、丫一吕,(3) 定理2递推数列(2)的通项为x的充分必要条件是(3)式成立,一;+‘日一,/[(寒)“一‘一1〕(4分式递推数列x_(+1)=Ax+B+C/(X_n),x_1=K,…     

一类平面微分系统极限环的存在惟一性

借助Poincare切性曲线法、旋转向量理论、环域定理和张芷芬定理对平面微分系统x=-y+δx+(a+bx)φ(x),y=x2n-1(1+c2x2m)(m,n∈N)进行全面分析,得到其极限环的存在性、惟一性与不存在性的完整结果。     

一个四阶微分方程解的全局稳定性

本文在一般情形下给出了一方程x+α(x)x+b(x,x)x+c(x)+d(x)=0(1)的零解为全局渐近稳定的一个充分条件.[1～5]所讨论的四阶非线性方程都是方程(1)的特殊情形,本文定理所得结果都包含了[1～5]的结果,且当b(x,x)=b(常数)、d(x)=dx(d为常数)时和当α(x)=α(常数)、b(x,x)=b(常数)时,该文所得相应结果分别比[1～3]的结果好. 为了方便起见,将(1)写成下面的等价方程组:     

测度链上二阶边值问题多个正解的存在性

讨论测度链上二阶边值问题,xΔΔ+k(t)f(t,x(σ(t)))=0,t∈[t1,t2],αx(t1)-βxΔ(t1)=0,γx(σ(t2))+δxΔ(σ(t2))=0正解的存在性,[t1,t2]T,T是测度链,利用Leggett-Williams不动点定理,可得该问题至少存在3个正解.     

微分方程组(dx)/(dt)=P_3(x,y),(dy)/(dt)=Q_3(x,y)的週期解与极限环

討論题目中P_3(x,y)与Q_3(y,x)是具实系数的三次多項式时的方程組的週期解与极限环問题。設方程組至少有一指标为+1的初等奇点且可写成下列形式 dx/dt=-y+xF_1(x,y)+gy~2+hy~3,dy/dt=x+yF_2(x,y)+rx~2+sx~3其中,F_1(x,y)与F_2(x,y)均为二次多項式。当g=h=r=s=0时,在F_1(x,y)≡F_2(x,y)或F_2(x,y)≡0的假設下,就上列方程組建立了极限环的存在唯一性定理。此外,对上列方程組本身以及其他一些特殊情况分別給出了存在极限环或不存在週期解的充分性条件。