S~7上无Lie群构造

广义特征值问题 Ax=λBx (1.1)其中A,B是n×n实对称矩阵,是矩阵论和计算数学中的基本问题之一。熟知,当B是正定矩阵时,(A—λB)的顺序主子式形成一Sturm序列。基于这个性质产生了一些著名的算法,如Givens方法,Gupta方法。     

矩阵正定性的分块判定

本文研究实矩阵(未必对称)和复矩阵(未必是Hermite阵)在下述意义下的正定性分块判定法或称逐次降P(≥2)阶判定法。 定义 设A∈R~(n×n),若对任何0≠x∈ R~(n×1)都有x~TAx>0,则称A为(实)正定阵。一般地,设A∈C~(n×n),若对任何0≠     

增长曲线模型中存在UMRU估计的充要条件

本文采用下列记号.对于矩阵 A 和 B,A>B 表示 A—B 是正定对称阵;AB 表示A 和 B 的 Kronecker 乘积;R(A),A′和 A~-分别表示 A 的列空间、转置和广义逆;P_A=A(A′A)~-A′;对于 s×t 矩阵 B=(b_1…6b),用 vec(B)表示 st 维向量(6_1~′…6_~′)′.trA 表示方阵 A 的迹.由 Potthoff 和 Roy 提出的增长曲线模型定义为     

Wielandt不等式的矩阵形式及其统计应用

设A为n×n正定Hermite阵 ,X和Y分别为n×p和n×q的矩阵 ( p + q≤n) ,满足X Y =0 .证明了如下不等式 :X AY(Y AY) -Y AX ≤ λ1-λnλ1+λn2 X AX ,这里 ,M-表示M的广义逆 .λ1和λn 分别为A的最大和最小特征根 .这个不等式是著名的Wieldandt不等式的矩阵形式 .利用此不等式 ,得到关于协方差矩阵、典则相关系数以及复相关系数的一些有意义的不等式 .     

强主元稀疏阵的近似求逆

如何用较少的计算量得到高精度的近似逆矩阵,是数值计算的重要问题。文献[1]给出了对称三对角阵的近似求逆法。文献[2]进一步给出了对称五对角阵的近似求逆法。文献[1]和[2]的方法只适用于对称的对角优势阵,且难以向多对角阵的情形推广。文献[3]将求逆化成级数展开,并应用于椭圆型方程数值解的计算。级数展开法是向量化算法,但其计算量较大。本文应用文献[4]和[5]提出的矩阵元素阶的概念,在消去法计算中进行高阶截断,给出强主元稀疏阵的近似求逆法。在强主元条件下,该法适用于任意稀疏结构的矩阵。     

具有特殊协方差结构的SURE模型中UMRU估计的存在性

本文始终使用下述记号.对于矩阵A,A>0为A是正定对称的;R(A),A′和A分别表示A的列空间、转置和广义逆;P_A=A(A′A)-A′且(?)_A=I_K-P_A,此处I_K是k阶单位阵,k是A的行数.R~(m×n)是m×n实矩阵的全体考虑m个似乎不相关回归方程(SURE)模型     

布尔矩阵广义逆的一个充要条件

β={0,1}为二元布尔代数,矩阵A=(a_(ij)),a_(ij)∈β,称A为布尔矩阵。给定矩阵A,若存在矩阵G使AGA=A。称G是A的广义逆。如果A有一个广义逆B=(b_(ij)),对A的任何广义逆G=(g_(ij))     

保持广义可合数值域的线性算子

设G是对称群S_m的子群.记CG是所有函数f:G→C的集合.称f是半正定的,如果存在c∈CG,使得对任意的r∈G有f(r)=sum from σ∈G (c(στ)c(σ)特别地,G的不可约特征标是半正定的.记C_n×m为n×m复矩阵集.对于f∈CG,广义矩阵函数d_f:C_m×m→C定义为d_f(A)=sum from σ∈G (f(σ))multipy fromu=l to a_iσ(i),其中A=(a_i,)∈C_m×m 设 1≤ m≤n,f∈CG,A∈C_n×n.如果f是非零的和半正定的,则定义A的f可合数值域为集合W_f(A)=|d_f(X~*AX)|X∈C_n×m,d_f(X~*X)=1|当m=1且f=1时,W_f(A)即是A的经典数值域外W(A)=|x~*Ax|x∈C_n×1,x~*x=1|.f-可合数值域相关于张量对称类的可合元素.设c∈CG对任意的,τ∈G满足(1)式记V为带有标准内积的向量空间C_n×1.则张量空间(?)V是酉空间,其诱导内积满足(x(?),     

关于Powell方法理论基础的探讨

Powell直接方法是求解无约束最优化问题的一个重要方法。它是从研究正定二次目标函数■(其中G是n×n阶正定对称矩阵,b是常向量,c是常数)导出的。Powell先后在文献[1]、[3]中两次证明了下列定理:n个非零向量D:d_1,…,d_n的函数     

不可分的正定Hermite型

设(m>0,无平方因子)为虚二次域,R_m为它的代数整数环。本文的目的是构作具有判别式为自然数a的R_m上n秩不可分的正定整Hermite型。设L为R_m上正定Hermite格,如果有:L=M⊥N(?)M=o或N=0,则称L为不可分格。设h(X_1,…,X_n)为R_m上正定Hermite型,如果不存在表示式:     

标准特征值问题扰动分析的精确方法

在扰动量存在的情况下,准确计算特征值的扰动量是确保结构安全性的重要问题.针对标准特征值问题扰动分析提出了一种精确方法,能够高效地计算特征值扰动量的准确值,克服了矩阵摄动级数展开法忽略高阶项导致的计算精度不足的缺点.提出的方法推导得到了标准特征值问题扰动分析求解方程.求解方程推导过程中没有经过近似处理,将求解标称系统标准特征值问题方程得到的特征值标称值代入,就能求得特征值扰动量的准确值,从而能够有效满足高精度和高效率要求.3个数值算例分别对所提出的精确方法进行了验证,与矩阵摄动级数展开法的计算结果相比,能够准确高效地计算特征值的扰动量,具有精确和高效的双重优势.     

对称正定弱对角占优线性系统的多重网格法的收敛性

考虑线性系统Au=f的代数多重网格法(AMG)的求解问题。目前AMG收敛性理论仅适用于A为对称正定弱对角占优L-矩阵的情形。以下采用文献[1]中的记号。本文的立足点是我们所发现的新公式(1)。     

各类有限单元稳定的充要条件研究

引入了独立应力、应变和不协调位移参数的多变量有限元,在刚度阵计算中有可能出现多余零能模式(ZEM)而使单元不稳定.文献[1—6]对一些多变量有限元的稳定性或多余零能模式进行了讨论.本文利用广义单元刚度阵和分离函数思想,根据矩阵理论给出基于最小势能原理的(不协调)假设位移有限单元、基于广义驻值变分原理的假设应力有限单元和假设     

可积辛映射的r-矩阵及代数几何解

引入可积辛映射的新Lax阵 ,首次得到了它的非动态 (即 :常数 )r 矩阵 ,并且以Toda格为例 ,系统地给出一条由Lax阵、r 矩阵及‘非线性化理论’去构作孤子系统或非线性发展方程显式解 (这里系指用Rie mann Theta函数表出的代数几何解 )表示的有效途径 ,提供的代数几何解是概周期的 ,包含了周期解及有限带势解 .     

可积辛映射的r-矩阵及代数几何解

引入可积辛映射的新Lax阵 ,首次得到了它的非动态 (即 :常数 )r- 矩阵 ,并且以Toda格为例 ,系统地给出一条由Lax阵、r-矩阵及‘非线性化理论’去构作孤子系统或非线性发展方程显式解 (这里系指用Rie mann Theta函数表出的代数几何解 )表示的有效途径 ,提供的代数几何解是概周期的 ,包含了周期解及有限带势解.     

矩阵之弱不可约性及谱的包含域

设Γ(A)为n阶矩阵A的方向图,若Γ(A)的每一顶点都属于Γ(A)的某一环路,则称A为弱不可约矩阵,一矩阵是弱不可约的当且仅当存在一n阶置换阵P使     

退化矩阵β分布

作为与正态样本有关的分布,矩阵β分布(也称多元β分布)在文献中有大量的研究.令A～W_m(n_1,Σ)和B～W_m(n_2,Σ)为两个独立的维希特分布矩阵,Σ为一正定矩阵. 令C=A B.分解C=T′T,其中T为一具正对角元的上三角阵 令U=(T′)~(-1)·AT~(-1).则U的分布称为矩阵β分布并记为B_m((n_1)/2,(n_2)/2)其中n_1 n_2>m-1. 如果n_i是实数,则还要求n_i>m-1(i=1及/或2).如果n_1,n_2都大于m一1,则U是非退化的并具有在m×m正定矩阵空间上的密度.本文采用文献[2]中的记号,并记A(S)=diag(λ_1(S),…,λ_n(S)),其中λ_i(S)为S的第i大(非零)特征根,S∈_(m,n)~1·S_(m,n)~(?)上的微分形式定义为(dS)=2~(-n)|L|~(m-n)×     

四元数矩阵的特征值与奇异值不等式

如所周知,矩阵特征值理论是矩阵论中极其重要的研究方向,复阵情形已有系统、深入的结果。四元数阵情形,文[2,3]曾研究过,但由于四元数体H的非交换性限制,简单的多项式x~2 1在H就有无穷多个根,因而其实质     

主成分分析、神经网络及矩阵特征值

主成分分析(PCA)是数据压缩及待征提取的一个基本方法. 近年来,主成分分析的神经网络算法引起众多学者的兴趣.设x是一个均值为0的n维输入随机向量,PCA的目的是找出p(p<< n)个向量ω_1,…,ω_p使(1)E[(ω_i~Tx)~2]为极大;(2)ω_i~Tω_i=δ_(i,j~i),j-1,…p.记A=E(xx~T)为相关矩阵,则上述ω_1,ω_2,…,ω_p即为A的最大的p个特征值所对应的特征向量.因此,PCA问题的求解与求正定矩阵A的最大特征值及相应的特证向量有关.在众多的算法中,收敛性的讨论都归结成相应微分方程的稳定性和渐近稳定性,但对全局稳定性讨论甚少. 正如Oja在文献[2]中指出,对于任意初始条件下的整体收敛的讨论是一个挑战性的问题,另一方面,几乎所有文章都假设A的特征值满足λ_1>λ_2>…>λ_n. 很自然地要问,当某些λ_i为重根时结果又如何. 本文的目的就是回答上述两个问题.     

广义弱对角占优矩阵的特征值分布

若|Rea_(ii)Rea(jj)l≥∧_i∧_j对~∨i,j∈N,i≠j都成立,则称A为实部广义弱对角占优矩阵,~~